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2012高考理科数学三角函数试题及答案


2012 年高考理科数学三角函数
一、选择题 1 .(2012 年高考(天津理)) 在 ?ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别是 a,b,c ,已知

8b =5c , C =2 B ,则 cos C ? 7 7 A. B. ? 25 25

( C. ?



7 25

D.

24 25

2 .(2012 年高考(天津理))设 ? ? R ,则“ ? =0 ”是“ f (x)= cos (x+? ) (x ? R ) 为偶函

数”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

( B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件



3 .(2012 年高考(新课标理))已知 ? ? 0 ,函数 f ( x ) ? sin(? x ?

?

) 在 ( , ? ) 上单调递 4 2
( )

?

减.则 ? 的取值范围是 A. [ , ]

1 5 2 4

B. [ , ]

1 3 2 4

C. (0, ]

1 2

D. (0, 2]

4 .(2012 年高考(浙江理))把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2

倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

5 . (2012 年高考 (重庆理) 设 tan ? , tan ? 是方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的两个根,则 tan(? ? ? ) )
2

的值为 A. ?3

( B. ?1 C.1
2 2



D.3
2

6 .(2012 年高考(上海理))在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状是

A.锐角三角形.

B.直角三角形.

C.钝角三角形.

( D.不能确定.



7 . 2012 年高考 ( (陕西理) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,若 a ? b ? 2c , )
2 2 2

则 cos C 的最小值为 A.

( B.



3 2

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2
( )

8 .(2012 年高考(山东理))若 ? ?

3 7 ?? ? ? ? 4 , ? , sin 2? = 8 ,则 sin ? ? ? 2?
C.

A.

3 5

B.

4 5

7 4

D.

3 4


9 .(2012 年高考(辽宁理))已知 sin ? ? cos ?

? 2 , ? ?(0,π ),则 tan ? = (
2 2
D.1 ( D.

A. ? 1

B. ?

2 2

C.

10.(2012 年高考(江西理))若 tan ? +

A.

1 5

B.

1 4

1 =4,则 sin2 ? = tan ? 1 C. 3



11.(2012 年高考(湖南理))函数 f(x)=sinx-cos(x+

? )的值域为 6

1 2
( )

A.[ -2 ,2]

B.[- 3 , 3 ]

C.[-1,1 ]

D.[-

3 , 2

3 ] 2

12.(2012 年高考(大纲理)) 已知 ? 为第二象限角, sin ?

? cos ? ?

3 ,则 cos 2? ? 3
( )

A. ?
二、填空题

5 3

B. ?

5 9

C.

5 9

D.

5 3

13 . ( 2012 年 高 考 ( 重 庆 理 ) ) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且

3 5 cos A ? , cos B ? , b ? 3, 则 c ? ______ 5 13
14.(2012 年高考(上海春))函数 f ( x ) ? sin(2 x ?

?
4

) 的最小正周期为_______.

15.( 2012 年高考(江苏))设 ? 为锐角,若 cos ? ? ?

? ?

? ?? 4 ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的值为____. 6? 5 12

16.(2012 年高考(湖南理))函数 f(x)=sin ( ? x ? ? )的导

函数 y ? f ?( x) 的部分图像如图 4 所示,其中,P 为图像与 y 轴的交点,A,C 为图像与 x 轴的两个交点,B 为图像的最低 点. (1)若 ? ?

y P

O A

C

x

?
6

,点 P 的坐标为(0,

3 3 ),则 ? ? ______ ; 2

B

图4

(2)若在曲线段 ? ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC 内的概率为 _______.
17.(2012 年高考(湖北理)) 设△ ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c . 若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab ,则角 C ? _________. 18.(2012 年高考(福建理))已知 ?ABC 得三边长成公比为

2 的等比数列,则其最大角

的余弦值为_________.
19 . ( 2012 年 高 考 ( 大 纲 理 ) ) 当 函 数

y ? si n x ?

3 cos ( ? x ? ? 2 取 得 最 大 值 x 0 )
1 ,则 4

时, x ? _______________.
20 . ( 2012 年 高 考 ( 北 京 理 ) ) 在 △ABC 中 , 若 a ? 2 , b ? c ? 7 , cos B ? ?

b ? ___________.
21.(2012 年高考(安徽理))设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ;则下列命题正确

的是 _____
2 ①若 ab ? c ;则 C ?

?
3

②若 a ? b ? 2c ;则 C ?

?
3

3 3 3 ③若 a ? b ? c ;则 C ?

?
2

④若 (a ? b)c ? 2ab ;则 C ?

?
2

2 2 2 2 2 ⑤若 (a ? b )c ? 2a b ;则 C ?

?
3

三、解答题 22. (2012 年高考 (天津理) 已知函数 f (x)= sin (2 x + )

?
3

)+sin(2 x ?

?
3

)+2cos 2 x ? 1, x ? R .

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f (x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 4 4

23 . ( 2012 年 高 考 ( 浙 江 理 ) ) 在 ? ABC 中 , 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c. 已 知

2 cosA= ,sinB= 5 cosC. 3

(Ⅰ)求 tanC 的值; (Ⅱ)若 a= 2 ,求 ? ABC 的面积.

24.(2012 年高考(重庆理))(本小题满分 13 分(Ⅰ)小问 8 分(Ⅱ)小问 5 分)

设 f ? x ? ? 4 cos(? x ?

?
6

) sin ? x ? cos(2? x ? ? ) ,其中 ? ? 0.

(Ⅰ)求函数 y ? f ? x ? 的值域 (Ⅱ)若 f ? x ? 在区间 ? ?

? 3? ? ? 上为增函数,求 ? 的最大值. , ? 2 2? ?

25.(2012 年高考(四川理))函数 f ( x) ? 6cos

2

?x
2

? 3 cos ? x ? 3( ? ? 0) 在一个周期内

的图象如图所示, A 为图象的最高点, B 、 C 为图象与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角 形. (Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的值域; (Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

10 2 8 3 ,且 x0 ? ( ? , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值. 3 3 5

26.(2012 年高考(上海理))海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为

原点,以正北方向为 y 轴 正方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向 12 海 里 A 处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线 y P y ? 12 x2 ;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救 49 援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为 7t . (1)当 t ? 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时 两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向; (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?

O A

x

27.(2012 年高考(陕西理))函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
6

) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3,

其图像相邻两条对称轴之间的距离为 (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设 ? ? (0,

? , 2

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值. 2 2

?

28.(2012 年高考(山东理)) 已知向量 m ? (sin x ,1), n ? ( 3A cos x ,

??

?

A cos 2x )(A ? 0), 3

函数 f ( x) ? m ? n 的最大值为 6. (Ⅰ)求 A ;

?? ?

? 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为 12 1 5? ] 上的值域. 原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象.求 g ( x) 在 [0, 2 24
(Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移

29.(2012 年高考(辽宁理))在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等

差数列. (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值.

30 . ( 2012 年 高 考 ( 江 西 理 ) ) 在 △ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c. 已

知, A ?

?

, b sin( ? C ) ? c sin( ? B) ? a . 4 4 4

?

?

(1)求证: B ? C ?

?

2
??? ??? ? ? ??? ??? ? ?

(2)若 a= 2 ,求△ABC 的面积.
31.(2012 年高考(江苏))在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC .

(1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

5 ,求 A 的值. 5

32





2012



















已 ,

知 设

向 函

量 数

a ? (cos ? x ? sin ? x, sin ? x)

,

b ? (? cos ? x ? sin ? x, 2 3 cos ? x)

1 f ( x) ? a ? b ? ? ( x ? R ) 的图象关于直线 x ? π 对称,其中 ? , ? 为常数,且 ? ? ( , 1) . 2 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期;
3π π (Ⅱ)若 y ? f ( x) 的图象经过点 ( ,0) ,求函数 f ( x) 在区间 [0, ] 上的取值范围. 5 4

33. (2012 年高考 (广东理) (三角函数)已知函数 f ? x ? ? 2cos ? ? x ? )

? ?

??

? (其中 ? ? 0 x? R ) 6?

的最小正周期为 10? . (Ⅰ)求 ? 的值;

? ?? (Ⅱ)设 ? 、 ? ? ?0, ? , ? 2?

5 ? 6 ? f ? 5? ? ? ? ? ? , 3 ? 5 ?

5 ? 16 ? f ? 5? ? ? ? ? ,求 cos ?? ? ? ? 的值. 6 ? 17 ?

34.(2012 年高考(福建理))某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于

同一个常数. (1) sin 13? ? cos17? ? sin13? cos17?
2

(2) sin 15? ? cos15? ? sin15? cos15?
2

(3) sin 18? ? cos12? ? sin18? cos12?
2

(4) sin 2 (?18?) ? cos 48? ? sin(?18?)cos 48? (5) sin 2 (?25?) ? cos55? ? sin(?25?)cos55? Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.
35.(2012 年高考(大纲理))(注意:在试卷上作答无效) .. ........ .

?ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,已知 cos( A ? C ) ? cos B ? 1, a ? 2c ,
求C .

36.(2012 年高考(北京理))已知函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x . sin x

(1)求 f ( x ) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x ) 的单调递增区间.

37.(2012 年高考(安徽理))设函数

f ( x) ?

2 ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x 2 4

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (II) 设 函 数 g ( x) 对 任 意 x ? R , 有 g ( x ?

?

) ? g ( x) , 且 当 x ? [ 0 , 时 , ] 2 2

?

g ( x) ?

1 ? f ( x) ,求函数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式. 2

2012 年高考理科数学三角函数参考答案 一、选择题 1.

【答案】A 【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、 转化与计算等能力. 【解析】∵ 8b =5c ,由正弦定理得 8sin B =5sin C ,又∵ C =2 B ,∴ 8sin B =5sin 2 B , 8 B s iB B 易 = 所 以 ,n 知1

0

s
2.

4 7 B ? ,∴ cos B = n, cos C = cos 2 B=2cos 2 B ? 1 = . i 0 5 25

【答案】A 【命题意图】 本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判 定. 【解析】∵ ? =0 ? f (x)= cos (x+? ) (x ? R ) 为偶函数,反之不成立,∴“ ? =0 ”是 “ f (x)= cos (x+? ) (x ? R ) 为偶函数”的充分而不必要条件.

3.

【解析】选 A

? 5? 9? ? ? 2 ? (? x ? ) ? [ , ] 不合题意 排除 ( D)

? ? ? ? ? 3? ) ? ? ? ? ? 2 , (? x ? ) ? [ ? ? , ?? ? ] ? [ , ] 2 4 2 4 4 2 2 ? ? ? ? 3? 1 5 ? ?? ? 得: ? ? ? , ?? ? ? 2 4 2 4 2 2 4
另: ? (? ?

4 4 3? 5? ? ? 1 ? (? x ? ) ? [ , ] 合题意 排除 ( B)(C ) 4 4 4

?

4

?

4.

【答案】A 得 :y1=cosx+1, 向 左 平 移 1 个 单 位 长 度 得 :y2=cos(x+1)+1, 再 向 下 平 移 1 个 单 位 长 度

【 解 析 】 把 函 数 y=cos2x+1 的 图 像 上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍 ( 纵 坐 标 不 变 )

?
得:y3=cos(x+1).令 x=0,得:y3>0;x= 2 5. 【答案】A

?1

,得:y3=0;观察即得答案.

tan ? ? tan ? ? 3, tan ? tan ? ? 2 ? tan(? ? ? ) ?
【解析】

tan ? ? tan ? 3 ? ? ?3 1 ? tan ? tan ? 1 ? 2

【考点定位】此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切公式化简求值. 6.

cosC ? [解析] 由条件结合正弦定理,得 a ? b ? c ,再由余弦定理,得
2 2 2

a 2 ?b 2 ?c 2 2 ab

? 0,

所以 C 是钝角,选 C.

cos C ?
7. 解析:由余弦定理得,

a 2 ? b2 ? c2 a 2 ? b2 1 ? ? 2ab 4ab 2 当且仅当 a = b 时取“=”,选 C.

? ? ? ?[ , ]
8. 【 解 析 】 因 为

4 2

2? ? [ , ? ] 2 , 所 以 , cos 2? ? 0 , 所 以 cos 2? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? ? 1 8

?

c o2? ? ? 1 ? s i 2 n? ? ? s 2

1 8

,



,





sin 2 ? ?
9.

9 3 sin ? ? 16 , 4 ,选 D.

【答案】A

? sin ? ? cos ? ? 2,? 2 sin(? ? ) ? 2,? sin(? ? ) ? 1 4 4 【解析一】 ?? ? (0,? ),?? ? 3? ,? tan ? ? ?1 4 ,故选 A

?

?

【解析二】?sin ? ? cos ?

? 2,?(sin ? ? cos ? )2 ? 2,?sin 2? ? ?1,
3? 3? ,?? ? ,? tan ? ? ?1 2 4 ,故选 A

?? ? (0, ? ),? 2? ? (0, 2? ),? 2? ?

【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算 求解能力,难度适中. 10. D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.

tan ? ?
因为

1 sin ? cos ? sin 2 ? ? cos 2 ? 1 ? ? ? ? ?4 1 1 tan ? cos ? sin ? sin ? cos ? sin 2? ? sin 2? 2 2. ,所以.
t a n? ? s i n? c o s? 转 化 ; 另

【点评】本题需求解正弦值,显然必须切化弦,因此需利用公式 外, sin
2

? ? cos 2 ? 在转化过程中常与“1”互相代换,从而达到化简的目的;关于正弦、余

弦的齐次分式,常将正弦、余弦转化为正切,即弦化切,达到求解正切值的目的. 体现考纲中 要求理解三角函数的基本关系式,二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用,逆用等. 11. 【答案】B 【 解 析 】

f(x)=sinx-cos(x+

? 6

? sin x ?
)

3 1 ? cos x ? sin x ? 3 sin( x ? ) 2 2 6

,

? sin( x ? ) ? ? ?1,1? ? f ( x) 值域为[- 3 , 3 ]. 6 ,
【点评】利用三角恒等变换把

?

? f ( x) 化成 A sin(? x ? ? ) 的形式,利用 sin(? x ? ? )??? 1,1 ,求



f ( x) 的值域.

12. 答案 A 【命题意图】本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式的运 用.首先利用平方法得到二倍角的正弦值,然后然后利用二倍角的余弦公式, 将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题.
2?

?

1 2 3 1 ? sin 2? ? ? sin 2? ? ? sin ? ? cos ? ? 3 3 3 ,两边平方可得 【解析】

?? 是第二象限角,因此 sin ? ? 0,cos ? ? 0 ,
cos ? ? sin ? ? ? (cos ? ? sin ? )2 ? ? 1 ?
所以

2 15 ?? 3 3
5 3 法二:单位圆中函数线+估

? cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ? ?
算,因为 ? 是第二象限的角,又

sin? ? cos? ? 1 ? 1 3 2

所以“正弦线”要比“余弦线”长一半多点,如图,故 cos2? 的“余弦线”应选 A . 二、填空题

c?
13. 【答案】

14 5 3 5 4 12 a b , cos ? B ? sin ? A , s iB ? n ? 5 13 5 13, 由 正 弦 定 理 si n A si n 得 B

cosA ?
【解析】由

4 3? b sin A 5 ? 13 a? ? 12 sin B 5 13

,











a 2 ? c 2 ? b2 ? 2bc cos A ? 25c 2 ? 90c ? 56 ? 0 ? c ?

14 5

【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系求出 sin B 的值是本题的突破点,然后利用正弦定 理建立已知和未知之间的关系,同时要求学生牢记特殊角的三角函数值. 14.

?

17 2 15. 【答案】 50 .
【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数.

【解析】∵ ? 为锐角,即

0 <? <

?

?

2 ,∴ 6

<? ?

?
6

<

?
2

?

?

2? 6 3 . =
?? 3 ? sin ? ? ? ? ? 6? 5 ?



?? 4 ? cos ? ? ? ? ? 6? 5 ?

,∴

.∴

?? ?? ?? 3 4 24 ? ? ? sin ? 2? ? ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? =2? ? = 3? 6? 6? 5 5 25 . ? ? ? ?? 7 ? cos ? 2? ? ? ? 3 ? 25 . ? ∴ sin(2a ?


?
12

)=sin(2a ?

?

? ?? ? ?? ? ? ? ? )=sin ? 2a ? ? cos ? cos ? 2a ? ? sin 3 4 3? 4 3? 4 ? ?

=

24 2 7 2 17 ? ? ? = 2 25 2 25 2 50 .

16.

? 【答案】(1)3;(2) 4
y ? f ?( x) ? ? cos(? x ? ? ) ,当

??

?

【解析】(1)

3 3 6 ,点 P 的坐标为(0, 2 )时

? cos

?
6

?

3 3 ,?? ? 3 2 ;

2? 1 ? T ? S? ABC ? AC ? ? ? AC ? ? ? ? 2 2 ,设 A, B 的横坐标分别为 a , b . 2 2 ?, (2)由图知
设 曲 线 段

? ABC


b a

x























S



S?

?

b

a

f ?( x)dx ? f ( x)

? sin(? a ? ? ) ? sin(?b ? ? ) ? 2
,由几何概型知该点在

S ? P ? ? ABC ? 2 ? S 2 4. △ABC 内的概率为
【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等,(1)利用点 P 在图像上求 ? , (2)几何概型,求出三角形面积及曲边形面积,代入公式即得. 17.考点分析:考察余弦定理的运用. 解析:由 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab ? a
2

?

? b2 ? c2 ? ?ab

cos C ?
根据余弦定理可得

a 2 ? b2 ? c 2 1 2? ?? ?C ? 2ab 2 3

?
18. 【答案】

2 4

【解析】设最小边为 a ,则其他两边分别为

2a, 2a ,由余弦定理得,最大角的余弦值为

a 2 ? ( 2a)2 ? (2a)2 2 cos ? ? ?? 4 2a ? ( 2a)
【考点定位】 此题主要考查三角形中的三角函数,等比数列的概念、 余弦定理,考查分析推理能力、 运算求解能力.

5? 19.答案: 6
【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题.首先化为单一三角函数, 然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点.

y ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) 3 【解析】由 0 ? x ? 2? ? ?


?

?
3

? x?

?
3

?

5? ? ?2 ? 2sin( x ? ) ? 2 3 可知 3

x?
当且仅当

?
3

?

3? 11? ? ? 5? x? x? ? x? 2 即 6 时取得最小值, 3 2 时即 6 取得最大值.

20. 【答案】 4 【 解 析 】 在

?ABC



,













cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 1 4 ? (c ? b)(c ? b) 4 ? 7(c ? b) ?? ? ? 2ac 4 4c 4c ,化简得 8c ? 7b ? 4 ? 0 ,

a ? 2, b ? 4, c ? 3 ,答案为 4 . 与题目条件 b ? c ? 7 联立,可解得
【考点定位】 本题考查的是解三角形,考查余弦定理的应用.利用题目所给的条件列出方程组求 解. 21. 【解析】正确的是①②③

ab ? c 2 ? cos C ?


a 2 ? b2 ? c 2 2ab ? ab 1 ? ? ? ?C ? 2ab 2ab 2 3 a 2 ? b2 ? c 2 4(a 2 ? b2 ) ? (a ? b)2 1 ? ? ? ?C ? 2ab 8ab 2 3

a ? b ? 2c ? cos C ?


C?
③当

?
2 时, c2 ? a2 ? b2 ? c3 ? a 2c ? b2c ? a3 ? b3 与 a3 ? b3 ? c3 矛盾 C?

a ? b ? 2, c ? 1满足 (a ? b)c ? 2ab 得: ④取

?
2 C?

⑤取

a ? b ? 2, c ? 1满足 (a ? b )c ? 2a b 得:
2 2 2 2 2

?
3

三、解答题 22. 【命题意图】本题考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式,三角函数的最小周期, 单调性等知识.

? ? ? ? ? cos 2 x sin ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? cos 2 x 3 3 3 3 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ) 4
f (x)= sin 2 x cos
所以,

f ( x) 的最小正周期

T?

2? ?? 2 .

(2) 因 为

f ( x) 在 区 间

[?

? ?

, ] [ , ] 4 8 上是增函数,在区间 8 4 上是减函数,又

? ?

? ? ? ? ? [? , ] f (? ) ? ?1 f ( ) ? 2, f ( ) ? 1 f ( x) 在区间 4 4 上的最大值为 2 , 8 4 4 , ,故函数
最小值为 ?1 . 【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为 模型的图像与性质进行解题即可. 23. 【解析】本题主要考察三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点.

y =A sin (? x+? ) 的数学模型,再根据此三角

2 5 1 ? cos2 A ? 3 , (Ⅰ) ∵cosA= 3 >0,∴sinA=
又 5 cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA

2 5 = 3 cosC+ 3 sinC.
整理得:tanC= 5 .
5 (Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC= 6 .

a c ? 又由正弦定理知: sin A sin C ,
故 c ? 3 . (1)

b2 ? c 2 ? a 2 2 ? 2bc 3 . (2) 对角 A 运用余弦定理:cosA=
解(1) (2)得: b ? 3 or

3 b= 3 (舍去).

5 ? ABC 的面积为:S= 2 . ∴ 5 2 .

【答案】(Ⅰ)

5 ;(Ⅱ)

24. 【考点定位】 本题以三角函数的化简求值为主线,三角函数的性质为考查目的的一道综合题,

? ? 3? ? ? 2 ? ? 4? ? ? ? ?? ? 2 ? 4? 考查学生分析问题解决问题的能力,由正弦函数的单调性结合条件可列 ? ,从
而解得 ? 的取值范围,即可得 ? 的最在值.

? 3 ? 1 f ? x? ? 4? cos ? x ? sin ? x ? sin ? x ? cos 2? x ? 2 ? 2 ? ? 解:(1)

? 2 3 sin ? x cos ? x ? 2sin 2 ? x ? cos2 ? x ? sin 2 ? x ? 3 sin 2? x ? 1
因 ?1 ? sin 2? x ? 1 ,所以函数

y ? f ? x?

的值域为 ?

?1 ? 3,1 ? 3 ? ?

? ?? ? ? 2k? ? 2 , 2k? ? 2 ? ? k ? Z ? y ? sin x 在 每 个 闭 区 间 ? ? (2) 因 上 为 增 函 数 , 故
? k? ? k? ? ? ? ? ? 4? , ? ? 4? ? ? k ? Z ? f ? x ? ? 3 sin 2? x ? 1 ?? ? 0? ? 在每个闭区间 ? 上为增函
数.

? 3? ? ? ? k? ? k? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? 4? , ? ? 4? ? ? ? 对某个 k ? Z 成立,此时必有 k ? 0 ,于是 依题意知 ? 2 2 ?

? ? 3? ? ? 2 ? ? 4? ? ? 1 1 ?? ? ? ?? ? 2 4? ? 6 ,故 ? 的最大值为 6 . ,解得
f ( x) ? 6 cos 2
25. [解析](Ⅰ)由已知可得:

?x
2

? 3 cos ? x ? 3(? ? 0)

3 sin ?x ? 2 3 sin(?x ?
=3cosω x+ 又由于正三角形 ABC 的高为 2

?
3

)

3 ,则 BC=4
2?

f ( x)的周期T ? 4 ? 2 ? 8,即
所以,函数 所以,函数

?

? 8,得 ? ?

?
4

f ( x)的值域为 ?2 3,2 3] [
8 3 ,由 5 (Ⅰ)有

(Ⅱ)因为

f ( x0 ) ?

f ( x0 ) ? 2 3sin (
? ? (
由 x0

?x0
4

?

?
3

)?

?x ? 4 8 3 , 即sin ( 0 ? ) ? 4 3 5 5

?x 10 2 ? ? ? , ),得( 0 ? ) ? (? , ) 3 3 4 3 2 2

即cos(
所以,

?x0

? 4 3 ? ) ? 1 ? ( )2 ? 4 3 5 5
2 3sin (



f ( x0 ? 1) ?

?x0
4

?

?
4

?

?
3

) ? 2 3sin[(

?x0
4

?

?
3

)?

?
4

]

? 2 3[sin(

?x0

4 3 4 4 2 3 2 ? 2 3( ? ? ? ) 5 2 5 2

?

?

) cos

?

? cos(

?x0
4

?

?
3

) sin

?
4

?

7 6 5
公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想.

[点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、 两角和的正(余)弦公式、 二倍角

7t 26. [解](1) t ? 0.5 时,P 的横坐标 xP=

? 7 ,代入抛物线方程 y ? 12 x2 2 49

中,得 P 的纵坐标 yP=3 由|AP|=
949 2

,得救援船速度的大小为
7 2

949 海里/时
7

由 tan∠OAP= 3 ?12

?
7

7 30

,得∠OAP=arctan 30 ,故救援船速度的方向

为北偏东 arctan 30 弧度 (2)设救援船的时速为 v 海里,经过 t 小时追上失事船,此时位置为 (7t , 12t 由
2

).

vt ? (7t ) 2 ? (12t 2 ? 12) 2

,整理得

v 2 ? 144(t 2 ? t12 ) ? 337

因为

t 2 ? t12 ? 2
2

,当且仅当 t =1 时等号成立,
2

所以 v ? 144? 2 ? 337 ? 25 ,即 v ? 25 . 因此,救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船 27.解析:(1)∵函数

f ( x) 的最大值为 3,∴ A ? 1 ? 3, 即 A ? 2
,∴最小正周期为 T ? ?

? ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 2

y ? sin(2 x ? ) ? 1 f ( x) 的解析式为 6 ∴ ? ? 2 ,故函数 f ( ) ? 2sin(? ? ) ? 1 ? 2 2 6 (2)∵

?

?

?

? 1 sin(? ? ) ? 6 2 即
0 ?? ?


?

2 ,∴ 6

?

?

?? ?

?
6

?

?
3

??
∴ 28. 解 析

?
6

?

?
6 ,故

??

?
3

:(Ⅰ)

f ( x) ? m ? n ? 3 A cos x sin x ?
则 A ? 6;

A 3 A ?? ? cos2 x ? A sin 2 x ? cos2 x ? A sin? 2 x ? ? 2 2 2 6 ?, ?

? ? ? y ? 6 sin[ 2( x ? ) ? ] 12 6 的图象, (Ⅱ)函数 y=f(x)的图象像左平移 12 个单位得到函数 1 ? g ( x) ? 6 sin( 4 x ? ) 3 . 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数

x ? [0,


5? ? ? 7? ? 1 ] 4 x ? ? [ , ], sin( 4 x ? ) ? [? ,1] 24 时, 3 3 6 3 2 , g ( x) ? [?3,6] . [0, 5? ] 24 上的值域为 [?3,6] .

故函数

g ( x) 在

g ( x) ? 6 sin( 4 x ?
另解:由

?

3 可得

)

g ?( x) ? 24 cos( 4 x ?

?

) 3 ,令 g ?( x) ? 0 ,

4x ?


?
3

? k? ?

?
2

(k ? Z )
,而

x ? [0,

? 5? x? ] 24 , 24 ,则

g (0) ? 6 sin
于是

?
3

? 3 3, g (

?
24

) ? 6 sin

?
2

? 6, g (

5? 7? ) ? 6 sin ? ?3 24 6 ,



? 3 ? g ( x) ? 6 ,即函数 g ( x) 在

[0,

5? ] 24 上的值域为 [?3,6] .

29. 【答案及解析】

2 B =A+C ,A+B +C =? , ? B =
(1)由已知

?
3

, cos B =

1 2 3 4

(2)解法一: b =ac ,由正弦定理得

2

sin A sin C = sin 2 B =

1 a 2 +c 2 -b2 a 2 +c 2 -ac = cos B = = 2 2 2 2ac 2ac ,由此得 a +c -ac=ac, 得 a=c 解法二: b =ac , 2
A= B = C =
所以

?
3,

sin A sin C =

3 4

【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定 义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转 化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果. 30. 【解析】

b sin( ? C ) ? c sin( ? B) ? a 4 4 解:(1)证明:由 及正弦定理得:

?

?

sin B sin( ? C ) ? sin C sin( ? B) ? sin A 4 4 ,

?

?

sin B(


2 2 2 2 2 sin C ? sin C ) ? sin C ( sin B ? sin B) ? 2 2 2 2 2
0 ? B, C ? 3? 4

sin( B ? C ) ? 1 ,又 整理得: sin B cos C ? cos B sin C ? 1 ,所以
B ?C ?
所以

?
2 3? 5? ? ? B? ,C ? A ? ,a ? 2 4 可得 8 8 ,又 4

B?C ?
(2) 由(1)及

b?
所以

a sin B 5? a sin C ? ? 2sin ,c ? ? 2sin sin A 8 sin A 8,

1 5? ? ? ? 2 ? 1 ? bc sin A ? 2 sin sin ? 2 sin cos ? sin ? 8 8 8 8 2 4 2 所以三角形 ABC 的面积 2
【点评】本题考查解三角形,三角形的面积,三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用. 高考中,三角解答题一般有两种题型:一、 解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长,角度, 周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行 三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来年需要注意第二种 题型的考查. 31.

??? ???? ??? ??? ? ? ? AB ? AC ? 3BA? BC ,∴ AB?AC ?cos A=3BA?BC ?cos B , 即 【 答 案 】 解 :(1)∵
AC ?cos A=3BC ?cos B .

AC BC = 由正弦定理,得 sin B sin A ,∴ sin B ?cos A=3sin A?cos B . sin B
又∵ 0 < A ? B < ? ,∴ cos A > 0, cos B > 0 .∴ cos B
2

sin A =3? cos A 即 tan B ? 3tan A .

? 5? 2 5 5 sin C ? 1 ? ? cos C ? , <C < ? 0 ? 5 ? = 5 ? ? ? 5 (2)∵ ,∴ .∴ tan C ? 2 .



tan ?? ? ? A ? B ?? ? 2 ? ?

,即

tan ? A ? B ? ? ?2

tan A ? tan B ? ?2 .∴ 1 ? tan A?tan B .

1 4tan A ? ?2 tan A=1 tan A= ? , 2 3. 由 (1) ,得 1 ? 3tan A ,解得

∵ cos A > 0 ,∴ tan A =1 .∴

A=

?
4.

【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形.

??? ???? ??? ??? ? ? ? AB ? AC ? 3BA? BC 表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式证 【解析】(1)先将
明.

cos C ?
(2)由

5 , tan ?? ? ? A ? B?? ? ? ,从而根据两角和的 5 可求 tan C ,由三角形三角关系,得到

正切公式和(1)的结论即可求得 A 的值. 32.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质.
2 2 解析:(Ⅰ)因为 f ( x) ? sin ? x ? cos ? x ? 2 3sin ? x ? cos ? x ? ?

? ? cos 2? x ? 3sin 2? x ? ?

π ? 2sin(2? x ? ) ? ? 6 . π sin(2? π ? ) ? ?1 6 ,

y ? f ( x) 由直线 x ? π 是 图象的一条对称轴,可得
所以 又

2? π ?

π π k 1 ? kπ ? (k ? Z) ? ? ? (k ?Z) 6 2 2 3 ,即 .
, k ? Z ,所以 k ? 1 ,故

? ? ( , 1)
f ( x)

1 2

??

5 6.

6π 所以 的最小正周期是 5 . π π ( , 0) f( )?0 y ? f ( x) (Ⅱ)由 的图象过点 4 ,得 4 ,


? ? ?2sin( ? ? ) ? ?2sin ? ? 2

5 π 6 2

π 6

π 4

,即 ? ? ? 2 .

5 π f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 2 3 6 故 , 3π π 5 π 5π 0? x? ? ? x? ? 5 ,有 6 3 6 6 , 由 1 5 π 5 π ? ? sin( x ? ) ? 1 ?1 ? 2 ? 2sin( x ? ) ? 2 ?2 ? 2 3 6 3 6 所以 2 ,得 , 3π [0, ] f ( x) 5 上的取值范围为 [?1 ? 2, 2 ? 2] . 故函数 在

33.解析:(Ⅰ)

T?

2?

?

? 10?

,所以

??

1 5.

(Ⅱ)

?1 ? 5 ? 5 ? ?? ?? 6 ? ? f ? 5? ? ? ? ? 2cos ? ? 5? ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ?2sin ? ? ? 3 ? 3 ? 6? 2? 5 ? ? ?5 ?

,





?1 ? 5 ? 5 ? ?? 16 ? 3 8 s ? ? n f ? 5? ? 6 ? ? ? 2cos ? 5 ? 5? ? 6 ? ? ? 6 ? ? 2cos ? ? 17 i cos ? ? ? ? ? ? ? ? 5. 17 .因为 ,所以

? 、

? ?? ? ? ?0, ? ? 2?

, 所 以

c o?s ?

?1

2

?i n s ?

4 15 sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 5 , 17 , 所 以

c o?? ? ? ? s ?

c o s ?

c?o s ?

?s i? ? n

4 5

8 3 1 5 1 3 s i n? ? ? ? ? 1 7 5 1 7 . 8 5

34. 【考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、考查 运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想.

1 3 sin 2 15? ? cos15? ? sin15? cos15? ? 1 ? sin 30? ? 2 4 解:(1)选择(2)式计算如下
(2)证明: sin
2

? ? cos2 (30? ? ? ) ? sin ? cos(30? ? ? )

? sin 2 ? ? (cos30? cos ? ? sin 30? sin ? )2 ? sin ? (cos30? cos ? ? sin 30? sin ? )
3 3 1 3 1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sin ? cos ? ? sin 2 ? ? sin ? cos ? ? sin 2 ? 4 2 4 2 2
3 3 3 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 4 4 4
35. 【命题意图】本试题主要考查了解三角形的运用,给出两个公式,一个是边的关系,一个角的 关系,而求解的为角,因此要找到角的关系式为好. 【解析】由

A ? B ? C ? ? ? B ? ? ? ( A ? C) ,

由正弦定理及 a ? 2c 可得 sin A ? 2sin C 所以

cos( A ? C ) ? cos B ? cos( A ? C ) ? cos(? ? ( A ? C)) ? cos( A ? C) ? cos( A ? C)

? cos A cos C ? sin A sin C ? cos A cos C ? sin A sin C ? 2sin A sin C
故由

cos( A ? C ) ? cos B ? 1 与 sin A ? 2sin C 可得 2sin A sin C ? 1 ? 4sin 2 C ? 1
0?C ?

?
2 ,所以

而 C 为三角形的内角且 a ? 2c ? c ,故

sin C ?

1 ? C? 2 ,故 6.

【点评】 该试题从整体来看保持了往年的解题风格,依然是通过边角的转换,结合了三角形的内角 和定理的知识,以及正弦定理和余弦定理,求解三角形中的角的问题.试题整体上比较稳定, 思路也比较容易想,先将三角函数关系式化简后,得到 两角的二元一次方程组,自然很容易得到角 C 的值. 36. 【考点定位】 本题考醒三角函数知识,此类型题在平时练习时练得较多,考生应该觉得非常容 易入手.

A, C 角关系,然后结合 a ? 2c ,得到

f ( x) ?
解:

(sin x ? cos x) sin 2 x (sin x ? cos x)2sin x cos x 2(sin x ? cos x) cos x = sin x sin x = =

sin 2 x ? 1 ? cos 2 x

2 sin(2 x ? ) ? 1 {x | x ? k? , k ? Z } 4 = ,
(1) 原函数的定义域为

?

{x | x ? k? , k ? Z } ,最小正周期为 π ;
[?

?
8

? k? , k? ) k ? Z ( k ? ,
,

(2)原函数的单调递增区间为 37. 【解析】

3? ? k? ]k ? Z 8 .

f ( x) ?

1 1 2 ? 1 1 1 cos(2 x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? ? sin 2 x 2 2 2 4 2 2 2 T? 2? ?? 2

f ( x) 的最小正周期 (I)函数

? 1 1 x ? [0, ] g ( x) ? ? f ( x) ? sin 2 x 2 时, 2 2 (2)当
x ? [?


?
2

, 0]

? ? ? 1 ? 1 ( x ? ) ? [0, ] g ( x) ? g ( x ? ) ? sin 2( x ? ) ? ? sin 2 x 2 2 2 2 2 2 时,

? ? 1 1 x ? [?? , ? ) ( x ? ? ) ? [0, ) g ( x) ? g ( x ? ? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x 2 时, 2 2 2 当

? ? 1 ? sin 2 x( ? ? x ? 0) ? 2 ? 2 g ( x) ? ? 1 ? sin 2 x( ?? ? x ? ? ) ? 2 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式为 ? 2 得:函数


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