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椭圆知识点总结及经典习题


圆锥曲线与方程--椭圆
知识点
一.椭圆及其标准方程 1.椭圆的定义:平面内与两定点 F1,F2 距离的和等于常数 2a?? F1 F2 ? 的点的轨迹叫做椭 圆,即点集 M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|=2c}; 这里两个定点 F1,F2 叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距 2c。 ( 2a ? F1 F2 时为线段 F1

F2 , 2a ? F1 F2 无轨迹) 。 2.标准方程:

c 2 ? a 2 ? b2
焦点 F(±c,0)

x2 y2 ①焦点在 x 轴上: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) ; a b
y2 x2 ②焦点在 y 轴上: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) ; a b

焦点 F(0,

±c)

注意:①在两种标准方程中,总有 a>b>0,并且椭圆的焦点总在长轴上; ②两种标准方程可用一般形式表示: 二.椭圆的简单几何性质: 1.范围 (1)椭圆 (2)椭圆 2.对称性 椭圆关于 x 轴 y 轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称 中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点 (1)椭圆的顶点:A1(-a,0) ,A2(a,0) ,B1(0,-b) ,B2(0,b) (2)线段 A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于 2a,短轴长等于 2b,a 和 b 分别叫做椭 圆的长半轴长和短半轴长。 4.离心率
1

x2 y 2 ? ? 1 或者 m n

mx2+ny2=1

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0) 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b a2 b2

y2 x2 ? ? 1 (a>b>0) 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a a2 b2

(1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比
2

2c c ,即 称为椭圆的离心率, 2a a

c2 b 2 记作 e( 0 ? e ? 1 ) , e ? 2 ? 1? ( ) a a
e ? 0 是圆;

王新敞
奎屯

新疆

e 越接近于 0 (e 越小) ,椭圆就越接近于圆; e 越接近于 1 (e 越大) ,椭圆越扁; 注意:离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。 小结一:基本元素 (1)基本量:a、b、c、e、 (共四个量) , 特征三角形

(2)基本点:顶点、焦点、中心(共七个点) (3)基本线:对称轴(共两条线) 5.椭圆的的内外部
x2 y 2 (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? a b x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? a b
2 2 x0 y0 ? ? 1. a 2 b2
2 2 x0 y0 ? ? 1. a 2 b2

6.几何性质 (1)点 P 在椭圆上, 最大角 ? ?F 1PF 2 ?max ? ?F 1B2 F 2, (2)最大距离,最小距离 7.直线与椭圆的位置关系 (1)位置关系的判定:联立方程组求根的判别式; (2)弦长公式: (3)中点弦问题:韦达定理法、点差法

2

例题讲解: 一.椭圆定义: 1.方程

? x ? 2 ?2 ? y 2

?

? x ? 2 ?2 ? y 2

? 10 化简的结果是

2.若 ?ABC 的两个顶点 A? ?4,0? , B ? 4,0? , ?ABC 的周长为 18 ,则顶点 C 的轨迹方程是 3.已知椭圆
x2 y 2 + =1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则 P 到另一焦点距离为 16 9

二.利用标准方程确定参数 1.若方程
x2 y2 + =1(1)表示圆,则实数 k 的取值是 5?k k ?3

. . . .

(2)表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是 (3)表示焦点在 y 型上的椭圆,则实数 k 的取值范围是 (4)表示椭圆,则实数 k 的取值范围是 2. 椭 圆 4 x2 ? 25 y 2 ? 100 的 长 轴 长 等 于 是 心率等于 3.椭圆 , 。 。 ,焦点的坐标是

,短轴长等于

, 顶点坐标 ,焦距是 , 离

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 2 ,则 m = 4 m

4.椭圆 5x 2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k ? 三.待定系数法求椭圆标准方程

1.若椭圆经过点 (?4, 0) , (0, ?3) ,则该椭圆的标准方程为 2.焦点在坐标轴上,且 a 2 ? 13 , c 2 ? 12 的椭圆的标准方程为 3.焦点在 x 轴上, a : b ? 2 : 1 , c ? 6 椭圆的标准方程为



4. 已知三点 P(5,2) 、 F1 (-6,0) 、 F 2 (6,0) ,求以 F1 、 F 2 为焦点且过点 P 的椭圆的标 准方程; 变式:求与椭圆 4 x2 ? 9 y 2 ? 36 共焦点,且过点 (3, ?2) 的椭圆方程。

3

四.焦点三角形 1.椭圆
x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 、 F2 , AB 是椭圆过焦点 F1 的弦,则 ?ABF2 的周长是 9 25



2.设 F1 , F2 为椭圆 16x 2 ? 25y 2 ? 400的焦点, P 为椭圆上的任一点,则 ?PF1 F2 的周长是多 少? ?PF1 F2 的面积的最大值是多少? 3 .设点 P 是椭圆 为 。
x2 y 2 ? ? 1 上的一点, F1 , F2 是焦点,若 ?F1PF2 是直角,则 ?F1PF2 的面积 25 16

变式:已知椭圆 9x 2 ? 16y 2 ? 144,焦点为 F1 、 F2 , P 是椭圆上一点. 求 ?PF1 F2 的面积.

若 ?F1 PF2 ? 60? ,

五.离心率的有关问题 1.椭圆
x2 y2 1 ? ? 1 的离心率为 ,则 m ? 4 m 2

2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为 1200 ,则此椭圆的离心率 e 为 3.椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形,则椭圆的离心率为

4.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰 直角三角形,求椭圆的离心率。 5.在 △ ABC 中, ?A ? 300 ,| AB |? 2, S?ABC ? 3 .若以 A, B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆 的离心率 e ? 六、最值问题:
x2 ? y 2 ? 1 , A(1 , 0) , P 为椭圆上任意一点,求 |PA| 的最大值 1 、已知椭圆 4



最小

值 2.椭圆


x2 ? y 2 ? 1 两焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆上,则|PF1|?|PF2|的最大值为_____, 4
4

七、弦长、中点弦问题 1、已知椭圆 4 x 2 ? y 2 ? 1 及直 y ? x ? m 线. (1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为
2 10 ,求直线的方程. 5

2 已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1, 2

(1)求过点(1,0)且被椭圆截得的弦长为 2 2 的弦所在直线的方程
?1 1? (2)求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在直线的方程; ? 2 2?

同步测试 1 已知 F1(-8,0),F2(8,0),动点 P 满足|PF1|+|PF2|=16,则点 P 的轨迹为( A 圆 B 椭圆 C 线段 D 直线 2、椭圆 )

x2 y2 ? ? 1 左右焦点为 F1、F2,CD 为过 F1 的弦,则 ? CDF1 的周长为______ 16 9 x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围是( 1? k 1? k

3 已知方程

) D k>1 或 k<-1

A -1<k<1

B k>0

C k≥0

4、求满足以下条件的椭圆的标准方程 (1)长轴长为 10,短轴长为 6 (2)长轴是短轴的 2 倍,且过点(2,1) (3) 经过点(5,1),(3,2)
5

x2 y2 5.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别是 F1、F2,过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 P 点。 a b

若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为_________
x2 y2 ? ? 1,P 点是椭圆上的点且 ?F1PF2 ? 60? ,求 ?PF1 F2 的面积 4 3

6 已知椭圆的方程为

7.若椭圆的短轴为 AB,它的一个焦点为 F1,则满足△ABF1 为等边三角形的椭圆的离心率为
x2 y2 ? ? 1 上的点 P 到它的左焦点的距离是 12,那么点 P 到它的右焦点的距离是 100 36 x2 y2 ? 1(a ? 5) 的两个焦点为 F1 、 F2 ,且 F1 F2 ? 8 ,弦 AB 过点 F1 ,则△ ABF2 9.已知椭圆 2 ? 25 a 的周长

8.椭圆

10、椭圆

y2 y2 x2 x2 + =1 与椭圆 + =?(??0)有 3 2 2 3

(A)相等的焦距 11、椭圆

(B)相同的离心率

(C)相同的准线

(D)以上都不对

y2 x2 y2 x2 ? ? 1与 ? ? 1 (0<k<9)的关系为 25 9 9 ? ? 25 ? ?

(A)相等的焦距

(B)相同的的焦点

(C)相同的准线

(D)有相等的长轴、 短轴

x2 y2 ? ? 1 上的动点 , F1 , F2 为椭圆的左、右焦点 , 则 PF 12. 点 P 为椭圆 1 ? PF 2 的最小值为 25 16

__________ ,此时点 P 的坐标为________________.

6

感受高考
x2 y2 1.分别过椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点 F1、F2 作两条互相垂直的直线 l1、l2,它们 的交点在椭圆的内部,则椭圆的离心率的取值范围是( A.(0,1) ? 2? B.?0, ? 2? ? ? 2 ? C.? ,1? ?2 ? ) ? 2? D.?0, ? 2? ?

x2 y2 2.椭圆100+64=1 的焦点为 F1、F2,椭圆上的点 P 满足∠F1PF2=60° ,则△F1PF2 的面 积是( ) 91 3 B. 3 16 3 C. 3 64 D. 3

64 3 A. 3

3.已知椭圆 E 的短轴长为 6,焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9,则椭圆 E 的离心 率等于( )

x2 y2 →· → =0, 4 已知点 F,A 分别是椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左焦点、右顶点,B(0,b)满足FB AB 则椭圆的离心率等于( A. 3+1 2 ) B. 5-1 2 C. 3-1 2 D. 5+1 2

x2 y2 5. 已知椭圆 4 + 2 =1 的左右焦点分别为 F1、 F2 , 过 F2 且倾角为 45° 的直线 l 交椭圆于 A、 8 B 两点,以下结论中:①△ABF1 的周长为 8;②原点到 l 的距离为 1;③|AB|=3;正确结论的 个数为( A.3 ) B.2 C.1 D.0

6.已知圆(x+2)2+y2=36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点,N(2,0),线段 AN 的垂直平 分线交 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是( A.圆 B.椭圆 ) C.双曲线 D.抛物线

x2 y2 7.过椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的一个顶点作圆 x2+y2=b2 的两条切线,切点分别为 A, B,若∠AOB=90° (O 为坐标原点),则椭圆 C 的离心率为________.
7

x2 y2 8 若椭圆a2+b2=1(a>b>0)与曲线 x2+y2=a2-b2 无公共点,则椭圆的离心率 e 的取值范 围是________. sinA+sinC x2 y2 9.已知△ABC 顶点 A(-4,0)和 C(4,0),顶点 B 在椭圆25+ 9 =1 上,则 sinB = ________. x2 y2 10.已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的长轴长为 4. (1)若以原点为圆心、 椭圆短半轴为半径的圆与直线 y=x+2 相切, 求椭圆 C 的焦点坐标; .

1 11.椭圆 E 经过点 A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率 e=2. (1) 求椭圆 E 的方程;

8


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