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人教版高中数学选修1-2全部教案


【选修 1-2 教案】
第一章 统计案例 ........................................................................................................... 1 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(一) ................................

................ 1 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(二) ................................................ 2 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(三) ................................................ 3 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(四) ................................................ 4 1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用(一)............................................ 5 1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用(二)............................................ 6 第二章 推理与证明 ....................................................................................................... 7 2.1.1 2.1.1 2.1.2 2.2.1 2.2.1 2.2.2 合情推理(一)......................................................................................... 7 合情推理(二)......................................................................................... 8 演绎推理 ...................................................................................................... 9 综合法和分析法(一) ......................................................................... 10 综合法和分析法(二) ......................................................................... 11 反证法 ........................................................................................................... 12

第三章 数系的扩充与复数的引入 .......................................................................... 13 3.1.1 数系的扩充与复数的概念 ......................................................................... 13 3.1.2 复数的几何意义 ........................................................................................... 14 3.2.1 3.2.2 复数的代数形式的加减运算................................................................... 15 复数的代数形式的乘除运算................................................................... 16

第四章 框图 .................................................................................................................. 17 4.1 流程图 ................................................................................................................ 17 4.2 结构图 ................................................................................................................. 19

第一章 统计案例
第一课时

1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(一)
教学要求:通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点:了解线性回归模型与函数模型的差异,了解判断刻画模型拟合效果的方法-相关指数和残差分 析. 教学难点:解释残差变量的含义,了解偏差平方和分解的思想. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问: “名师出高徒”这句彦语的意思是什么?有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗?这两者之间 是否有关? 2. 复习:函数关系是一种确定性关系,而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两 个变量进行统计分析的一种常用方法,其步骤:收集数据 ?作散点图 ? 求回归直线方程 ? 利用方程进行 预报. 二、讲授新课: 1. 教学例题: ① 例 1 从某大学中随机选取 8 名女大学生,其身高和体重数据如下表所示: 1 2 3 4 5 6 7 8 编 号 165 165 157 170 175 165 155 170 身高/cm 48 57 50 54 64 61 43 59 体重/kg 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为 172cm 的女大学生的体重. (分 析思路 ?教师演示 ?学生整理)
70 60 50
体重/kg

40 30 20 10 0 150 155 160 165 身高/cm 170 175 180

第一步:作散点图 第二步:求回归方程 第三步:代值计算 ② 提问:身高为 172cm 的女大学生的体重一定是 60.316kg 吗? 不一定,但一般可以认为她的体重在 60.316kg 左右. ③ 解释线性回归模型与一次函数的不同 事实上,观察上述散点图,我们可以发现女大学生的体重 y 和身高 x 之间的关系并不能用一次函数 y ? bx ? a来严格刻画(因为所有的样本点不共线,所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系). 在 数据表中身高为 165cm 的 3 名女大学生的体重分别为 48kg、57kg 和 61kg,如果能用一次函数来描述体重 与身高的关系, 那么身高为 165cm 的 3 名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其 他因素的影响,把这种影响的结果 e (即残差变量或随机变量)引入到线性函数模型中,得到线性回归模 型 y ? bx ? a ? e ,其中残差变量 e 中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于 0 时,线性回归模型就变成一次函数模型. 因此,一次函数模型是线性回归模型的特殊形式,线性回归模 型是一次函数模型的一般形式. 2. 相关系数:相关系数的绝对值越接近于 1,两个变量的线性相关关系越强,它们的散点图越接近一条直 线,这时用线性回归模型拟合这组数据就越好,此时建立的线性回归模型是有意义. 3. 小结:求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.

1

第二课时

1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(二)
教学要求:通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点:了解评价回归效果的三个统计量:总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学难点:了解评价回归效果的三个统计量:总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学过程: 一、复习准备: 1.由例 1 知,预报变量(体重)的值受解释变量(身高)或随机误差的影响. 2.为了刻画预报变量(体重)的变化在多大程度上与解释变量(身高)有关?在多大程度上与随机误差 有关?我们引入了评价回归效果的三个统计量:总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 二、讲授新课: 1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和: (1)总偏差平方和:所有单个样本值与样本均值差的平方和,即 SST ? ? ( yi ? y ) 2 .
i ?1 n

y 残差平方和:回归值与样本值差的平方和,即 SSE ? ? ( yi ? ?i ) 2 .
i ?1

n

y 回归平方和:相应回归值与样本均值差的平方和,即 SSR ? ? ( ?i ? y ) 2 .
i ?1

n

(2)学习要领:①注意 y i 、 ?i 、 y 的区别;②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程 y

y y 度与残差变量的变化程度之和, ? ( yi ? y ) 2 ? ? ( yi ? ?i ) 2 ? ? ( ?i ? y ) 2 ; 即 ③当总偏差平方和相对固定时,
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

残差平方和越小,则回归平方和越大,此时模型的拟合效果越好;④对于多个不同的模型,我们还可以引 入相关指数 R 2 ? 1 ?

?(y
i ?1 n i ?1

n

i

? ?i ) 2 y
来刻画回归的效果, 它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. R 2 的值越

?(y

i

? y)

2

大,说明残差平方和越小,也就是说模型拟合的效果越好. 2. 教学例题: 例 2 关于 x 与 Y 有如下数据: 2 4 5 x y 30 40 60

6 50

8 70

为了对 x 、 Y 两个变量进行统计分析,现有以下两种线性模型: ? ? 6.5x ? 17.5 , ? ? 7 x ? 17 ,试比 y y 较哪一个模型拟合的效果更好. 分析:既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和,也可分别求出两种模型下的 相关指数,然后再进行比较,从而得出结论. (答案: R12 ? 1 ?
y ?(y ? ? )
5 2 i ?1 5 i i

? ( y ? y)
i ?1 i

2

155 ? 1? ? 0.845 , R22 ? 1 ? 1000

y ?( y ? ? )

5

2

? ( y ? y)
i ?1 i

i ?1 5

i

i

? 1?

2

180 ? 0.82 ,84.5%>82%,所以甲选用的模型拟 1000

合效果较好.) 3. 小结: 分清总偏差平方和、 残差平方和、 回归平方和, 初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏.

2

第三课时

1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(三)
教学要求:通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点:通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型,了解在解决实际问题 的过程中寻找更好的模型的方法. 教学难点: 了解常用函数的图象特点, 选择不同的模型建模, 并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学过程: 一、复习准备: 1. 给出例 3:一只红铃虫的产卵数 y 和温度 x 有关,现收集了 7 组观测数据列于下表中,试建立 y 与 x 之 间的回归方程. 21 23 25 27 29 32 35 温度 x / ? C 产卵数 y / 个 7 11 21 24 66 115 325 (学生描述步骤,教师演示) 2. 讨论:观察右图中的散点图,发现样本点并没有分布在某 个带状 350 300 250 区域内, 即两个变量不呈线性相关关系, 所以不能直接用线性 回归方 200 150 程来建立两个变量之间的关系. 100 50 二、讲授新课: 0 0 10 20 30 40 1. 探究非线性回归方程的确定: 温度 ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域,可以选线 性回归 模型来建模;如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域, 就需选 择非线性回归模型来建模. ② 根据已有的函数知识,可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线 y= C1eC2 x 的周围(其中 c1 , c2 是待定 的参数) ,故可用指数函数模型来拟合这两个变量. ③ 在上式两边取对数,得 ln y ? c2 x ? ln c1 ,再令 z ? ln y ,则 z ? c2 x ? ln c1 ,而 z 与 x 间的关系如下: X 21 23 25 27 29 32 35 z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 7 6 观察 z 与 x 的散点图,可以发现变换后样本点分布在一条直 线的附近, 5 4 因此可以用线性回归方程来拟合. 3 ④ 利用计算器算得 a ? ?3.843,b ? 0.272, z 与 x 间的线性 回归方程 2 1 ? 0 为 z ? 0.272 x ? 3.843 , 因此红铃虫的产卵数对温度的非线性 回归方程
z

产卵数

为 ? ? e0.272 x ?3.843 . y

0

10

20 x

30

40

⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题,可按“作散点图 ? 定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换,将非线性回归问题转化成线性回归问题. 2. 小结:用回归方程探究非线性回归问题的方法、步骤. 三、巩固练习: 为了研究某种细菌随时间 x 变化,繁殖的个数,收集数据如下: 1 2 3 4 5 6 天数 x/天 繁殖个数 y/个 6 12 25 49 95 190 (1)用天数作解释变量,繁殖个数作预报变量,作出这些数据的散点图;

建模 ?确

? (2)试求出预报变量对解释变量的回归方程.(答案:所求非线性回归方程为 y=e0.69 x?1.112 .)

3

第四课时

1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(四)
教学要求:通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点:通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型,了解在解决实际问题 的过程中寻找更好的模型的方法,了解可用残差分析的方法,比较两种模型的拟合效果. 教学难点: 了解常用函数的图象特点, 选择不同的模型建模, 并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:在例 3 中,观察散点图,我们选择用指数函数模型来拟合红铃虫的产卵数 y 和温度 x 间的关系, 还可用其它函数模型来拟合吗? 2. 讨论:能用二次函数模型 y ? c3 x2 ? c4 来拟合上述两个变量间的关系吗?(令 t ? x 2 ,则 y ? c3t ? c4 ,此 时 y 与 t 间的关系如下: 529 625 729 841 1024 1225 t 441 观察 y 与 t y 7 11 21 24 66 115 325 400 的散点图, 300 可以发现样本点并不分布在一条直线的周围, 因此不宜用线性回归 200 2 方程来拟合它,即不宜用二次曲线 y ? c3 x ? c4 来拟合 y 与 x 之间 100 的关系. )小结:也就是说,我们可以通过观察变换后的散点图来 0 0 500 1000 1500 判断能否用此种模型来拟合. 事实上,除了观察散点图以外,我们 t 也可先求出函数模型,然后利用残差分析的方法来比较模型的好 坏. 二、讲授新课: 1. 教学残差分析:

? ① 残差:样本值与回归值的差叫残差,即 ei ? yi ? ?i . y ② 残差分析:通过残差来判断模型拟合的效果,判断原始数据中是否存在可疑数据,这方面的分析工作 称为残差分析. ③ 残差图:以残差为横坐标,以样本编号,或身高数据,或体重估计值等为横坐标,作出的图形称为残 差图. 观察残差图,如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适,这样的带 状区域的宽度越窄,模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高. 2. 例 3 中的残差分析: 计算两种模型下的残差

一般情况下,比较两个模型的残差比较困难(某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的 小,而另一些样本点的情况则相反) ,故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果. 残差平方和越小的模型,拟合的效果越好. 由于两种模型下的残差平方和分别为 1450.673 和 15448.432,故选用指数函数模型的拟合效果远远优 于选用二次函数模型. (当然,还可用相关指数刻画回归效果) 3. 小结:残差分析的步骤、作用 三、巩固练习:练习:教材 P13 第 1 题

y

4

第一课时

1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用(一)
教学要求:通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题,并借助样本数据的列联表、柱 形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高,让学生亲身体验独立性检验的 实施步骤与必要性. 教学重点:理解独立性检验的基本思想及实施步骤. 教学难点:了解独立性检验的基本思想、了解随机变量 K 2 的含义. 教学过程: 一、复习准备: 回归分析的方法、步骤,刻画模型拟合效果的方法(相关指数、残差分析) 、步骤. 二、讲授新课: 1. 教学与列联表相关的概念: ① 分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量. 分类变量的取值一定是离 散的,而且不同的取值仅表示个体所属的类别,如性别变量,只取男、女两个值,商品的等级变量只取一 级、二级、三级,等等. 分类变量的取值有时可用数字来表示,但这时的数字除了分类以外没有其他的含 义. 如用“0”表示“男” ,用“1”表示“女”. ② 列联表:分类变量的汇总统计表(频数表). 一般我们只研究 不患肺癌 患肺癌 总计 每个分类变量只取两个值,这样的列联表称为 2 ? 2 . 如吸烟与患 7775 42 7817 不吸烟 肺癌的列联表: 2099 49 2148 吸 烟 2. 教学三维柱形图和二维条形图的概念: 9874 91 9965 总 计 由列联表可以粗略估计出吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存 在差异.(教师在课堂上用 EXCEL 软件演示三维柱形图和二维条形图,引导学生观察这两类图形的特征, 并分析由图形得出的结论) 3. 独立性检验的基本思想: ① 独立性检验的必要性(为什么中能只凭列联表的数据和图形下结论?) :列联表中的数据是样本数据, 它只是总体的代表,具有随机性,故需要用列联表检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体. ② 独立性检验的步骤(略)及原理(与反证法类似) : 反证法 假设检验 要证明结论 A 备择假设 H 1 在 A 不成立的前提下进行推理 推出矛盾,意味着结论 A 成立 在 H 1 不成立的条件下,即 H 0 成立的条件下进行推理 推出有利于 H 1 成立的小概率事件(概率不超过 ? 的事件)发 生,意味着 H 1 成立的可能性(可能性为(1- ? ) )很大

没有找到矛盾,不能对 A 下任 推出有利于 H 1 成立的小概率事件不发生,接受原假设 何结论,即反证法不成功 ③ 上例的解决步骤 第一步:提出假设检验问题 H 0 :吸烟与患肺癌没有关系 ? H 1 :吸烟与患肺癌有关系

n(ad ? bc)2 (它越小,原假设“H 0 :吸烟与患肺癌没有 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 关系”成立的可能性越大;它越大,备择假设“H 1 :吸烟与患肺癌有关系”成立的可能性越大. 第三步:查表得出结论 P(k2>k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83
第二步:选择检验的指标

K2 ?

5

第二课时

1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用(二)
教学要求:通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题,并借助样本数据的列联表、柱 形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高,让学生亲身体验独立性检验的 实施步骤与必要性. 教学重点:理解独立性检验的基本思想及实施步骤. 教学难点:了解独立性检验的基本思想、了解随机变量 K 2 的含义. 教学过程: 教学过程: 一、复习准备: 独立性检验的基本步骤、思想 二、讲授新课: 1. 教学例 1: 例 1 在某医院,因为患心脏病而住院的 665 名男性病人中,有 214 人秃顶;而另外 772 名不是因为患心脏 病而住院的男性病人中有 175 名秃顶. 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系? 你所得的结论在什么范围内有效? ① 第一步:教师引导学生作出列联表,并分析列联表,引导学生得出“秃顶与患心脏病有关”的结论; 第二步:教师演示三维柱形图和二维条形图,进一步向学生解释所得到的统计结果; 第三步:由学生计算出 K 2 的值; 第四步:解释结果的含义. ② 通过第 2 个问题,向学生强调“样本只能代表相应总体” ,这里的数据来自于医院的住院病人,因此题 目中的结论能够很好地适用于住院的病人群体,而把这个结论推广到其他群体则可能会出现错误,除非有 其它的证据表明可以进行这种推广. 2. 教学例 2: 例 2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系, 在某城市的某校高中生中随机抽取 300 名学生, 得到如下列联表: 喜欢数学课程 不喜欢数学课程 总 计 37 85 122 男 35 143 178 女 72 228 300 总 计 由表中数据计算得到 K 2 的观察值 k ? 4.513 . 在多大程度上可以认为高中生的性别与是否数学课程之间有 关系?为什么? (学生自练,教师总结) 强调:①使得 P( K 2 ? 3.841) ? 0.05 成立的前提是假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”.如果这 个前提不成立,上面的概率估计式就不一定正确; ②结论有 95%的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”的含义; ③在熟练掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后,可直接计算 K 2 的值解决实际问题,而没有必要画 相应的图形,但是图形的直观性也不可忽视. 3. 小结:独立性检验的方法、原理、步骤 不健康 健 康 总计 三、巩固练习: 41 626 667 不优秀
某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响, 随机进行调 查并得到如下的列联表: 请问有多大把握认为 “高中生学习状况与生 理健康有关”?

优 总

秀 计

37 78

296 922

333 1000

6

第二章 推理与证明
第一课时

2.1.1

合情推理(一)

教学要求:结合已学过的数学实例,了解归纳推理的含义,能利用归纳进行简单的推理,体会并认识归纳 推理在数学发现中的作用. 教学重点:能利用归纳进行简单的推理. 教学难点:用归纳进行推理,作出猜想. 教学过程: 一、新课引入: 1. 哥德巴赫猜想:观察 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97,猜测:任一偶数(除去 2,它本身是一素数)可以表示成两个素数之和. 1742 年写信提出,欧拉及以后的数学家无人能解,成为数学史上举世闻名的猜想. 1973 年,我国数学家陈景润, 证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和,数学上把它称为“1+2”. 2. 费马猜想:法国业余数学家之王—费马(1601-1665)在 1640 年通过对 F0 ? 22 ? 1 ? 3 , F1 ? 22 ? 1 ? 5 ,
0 1

F2 ? 22 ? 1 ? 17 , F3 ? 22 ? 1 ? 257 , F4 ? 22 ? 1 ? 65 537 的观察,发现其结果都是素数,于是提出猜想:
2 3 4

对 所 有 的 自 然 数 n , 任 何 形 如 Fn ? 22 ? 1 的 数 都 是 素 数 . 后 来 瑞 士 数 学 家 欧 拉 , 发 现
n

F5 ? 22 ? 1 ? 4 294 967 297 ? 641? 6 700 417 不是素数,推翻费马猜想.
5

3. 四色猜想:1852 年,毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时,发 现了一种有趣的现象: “每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家着上不同的颜色.” ,四色 猜想成了世界数学界关注的问题.1976 年,美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电 子计算机上,用 1200 个小时,作了 100 亿逻辑判断,完成证明. 二、讲授新课: 1. 教学概念: ① 概念:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者 由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理. 简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的 推理. ② 归纳练习:(i)由铜、铁、铝、金、银能导电,能归纳出什么结论? (ii)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和 180 度,能归纳出什么结论? (iii)观察等式: 1 ? 3 ? 4 ? 22 , 1 ? 3 ? 5 ? 9 ? 32 , 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 16 ? 42 ,能得出怎样的结论? ③ 讨论:(i)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,是否属归纳推理? (ii)归纳推理有何作用? (发现新事实,获得新结论,是做出科学发现的重要手段) (iii)归纳推理的结果是否正确?(不一定) 2. 教学例题: a ① 出示例题:已知数列 ?an ? 的第 1 项 a1 ? 2 ,且 an ?1 ? n (n ? 1, 2,?) ,试归纳出通项公式. 1 ? an (分析思路:试值 n=1,2,3,4 → 猜想 a n →如何证明:将递推公式变形,再构造新数列) ② 思考:证得某命题在 n=n 0 时成立;又假设在 n=k 时命题成立,再证明 n=k+1 时命题也成立. 由这 两步,可以归纳出什么结论? (目的:渗透数学归纳法原理,即基础、递推关系) ③ 练习:已知 f (1) ? 0, af (n) ? bf (n ? 1) ? 1, n ? 2, a ? 0, b ? 0 ,推测 f (n) 的表达式. 3. 小结:①归纳推理的药店:由部分到整体、由个别到一般;②典型例子:哥德巴赫猜想的提出;数列通 项公式的归纳. 三、巩固练习: 1. 练习:教材 P38 1、2 题. 2. 作业:教材 P44 习题 A 组 1、2、3 题.

7

第二课时

2.1.1

合情推理(二)

教学要求:结合已学过的数学实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会并 认识合情推理在数学发现中的作用. 教学重点:了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理. 教学难点:用归纳和类比进行推理,作出猜想. 教学过程: 一、复习准备: 1 1 1 1. 练 习 : 已 知 ai ? 0 (i ? 1, 2,?, n) , 考 察 下 列 式 子 : (i )a1 ? ? 1; (ii ) (a1 ? a2 )( ? ) ? 4 ; a1 a1 a2 1 1 1 (iii ) (a1 ? a2 ? a3 )( ? ? ) ? 9 . 我们可以归纳出,对 a1 , a2 ,?, an 也成立的类似不等式为 . a1 a2 a3

1 1 1 1 . ,? , ,? ,?? 的通项公式是 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 7 ? 9 3. 导入:鲁班由带齿的草发明锯;人类仿照鱼类外形及沉浮原理,发明潜水艇;地球上有生命,火星与地 球有许多相似点,如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星,有大气层,也有季节变更,温度也适合生物生存, 科学家猜测:火星上有生命存在. 以上都是类比思维,即类比推理. 二、讲授新课: 1. 教学概念: ① 概念:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特 征的推理. 简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. ② 类比练习: (i)圆有切线,切线与圆只交于一点,切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体? (ii)平面内不共线的三点确定一个圆,由此结论如何类比得到空间的结论? (iii)由圆的一些特征,类比得到球体的相应特征. (教材 P81 探究 填表) 小结:平面→空间,圆→球,线→面. ③ 讨论:以平面向量为基础学习空间向量,试举例其中的一些类比思维. 2. 教学例题: ① 出示例 1:类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质. (得到如下表格) 类比角度 实数的加法 实数的乘法 若 a, b ? R, 则 a ? b ? R 若 a, b ? R, 则 ab ? R 运算结果 a?b ?b?a ab ? ba 运算律 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) (ab)c ? a (bc )
2. 猜想数列 乘法的逆运算是除法,使得 1 逆运算 方程 ax ? 1 有唯一解 x ? a a?0?a a ?1 ? 1 单位元 ② 出示例 2:类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想. 思维:直角三角形中, ?C ? 900 ,3 条边的长度 a , b, c ,2 条直角边 a , b 和 1 条斜边 c ; →3 个面两两垂直的四面体中, ?PDF ? ?PDE ? ?EDF ? 900 ,4 个面的面积 S1 , S2 , S3 和 S 加法的逆运算是减法, 使得方 程 a ? x ? 0 有唯一解 x ? ?a 3 个“直角面” S1 , S2 , S3 和 1 个“斜面” S . → 拓展:三角形到四面体的类比. 3. 小结:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比, 然后提出猜想的推理,统称为合情推理. 三、巩固练习:1. 练习:教材 P38 3 题. 2. 探究:教材 P35 例 5 3.作业:P44 5、6 题.

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第三课时

2.1.2

演绎推理

教学要求:结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本方法, 并能运用它们进行一些简单的推理。. 教学重点:了解演绎推理的含义,能利用“三段论”进行简单的推理. 教学难点:分析证明过程中包含的“三段论”形式. 教学过程: 一、复习准备: 1. 练习: ① 对于任意正整数 n,猜想(2n-1)与(n+1)2 的大小关系? ②在平面内, a ? c, b ? c , a // b . 类比到空间, 若 则 你会得到什么结论? (结论: 在空间中, a ? c, b ? c , 若 a // b ;或在空间中,若 ? ? ? , ? ? ? , 则? // ? . 则 2. 讨论:以上推理属于什么推理,结论正确吗? 合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明,有什么能使结论正确的推理形式呢? 3. 导入:① 所有的金属都能够导电,铜是金属,所以 ; ② 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,冥王星是太阳系的大行星,因此 ; ③ 奇数都不能被 2 整除,2007 是奇数,所以 . (填空→讨论:上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗?→课题:演绎推理) 二、讲授新课: 1. 教学概念: ① 概念:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理。 要点:由一般到特殊的推理。 ② 讨论:演绎推理与合情推理有什么区别? ?归纳推理:由特殊到一般 合情推理 ? ;演绎推理:由一般到特殊. ?类比推理:由特殊到特殊 ③ 提问:观察教材 P39 引例,它们都由几部分组成,各部分有什么特点? 所有的金属都导电 铜是金属 铜能导电 已知的一般原理 特殊情况 根据原理,对特殊情况做出的判断 大前提 小前提 结论 “三段论”是演绎推理的一般模式:第一段:大前提——已知的一般原理;第二段:小前提——所研究的 特殊情况;第三段:结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断. ④ 举例:举出一些用“三段论”推理的例子. 2. 教学例题: ① 出示例 1:证明函数 f ( x) ? ? x2 ? 2 x 在 ? ??, ?1? 上是增函数. 板演:证明方法(定义法、导数法) → 指出:大前题、小前题、结论. ② 出示例 2:在锐角三角形 ABC 中, AD ? BC , BE ? AC ,D,E 是垂足. 求证:AB 的中点 M 到 D,E 的 距离相等. 分析:证明思路 →板演:证明过程 → 指出:大前题、小前题、结论. 1 ③ 讨论:因为指数函数 y ? a x 是增函数, y ? ( ) x 是指数函数,则结论是什么? 2 (结论→指出:大前提、小前提 → 讨论:结论是否正确,为什么?) ④ 讨论:演绎推理怎样才结论正确?(只要前提和推理形式正确,结论必定正确) 3. 比较:合情推理与演绎推理的区别与联系?(从推理形式、结论正确性等角度比较;演绎推理可以验证 合情推理的结论,合情推理为演绎推理提供方向和思路.) 三、巩固练习:1. 练习:P42 2、3 题 2. 探究:P42 阅读与思考 3.作业:P44 6 题,B 组 1 题.

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第一课时

2.2.1

综合法和分析法(一)

教学要求:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综 合法的思考过程、特点. 教学重点:会用综合法证明问题;了解综合法的思考过程. 教学难点:根据问题的特点,结合综合法的思考过程、特点,选择适当的证明方法. 教学过程: 一、复习准备: 1 1 ? 4” 1. 已知 “若 a1 , a2 ? R? ,且 a1 ? a2 ? 1 ,则 ? ,试请此结论推广猜想. a1 a2 (答案:若 a1 , a2 .......an ? R ? ,且 a1 ? a2 ? .... ? an ? 1 ,则 2. 已知 a, b, c ? R ? , a ? b ? c ? 1 ,求证:

1 1 1 ? ? .... ? ? n2 ) a1 a2 an

1 1 1 ? ? ? 9. a b c

先完成证明 → 讨论:证明过程有什么特点? 二、讲授新课: 1. 教学例题: ① 出示例 1:已知 a, b, c 是不全相等的正数,求证:a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc. 分析:运用什么知识来解决?(基本不等式) → 板演证明过程(注意等号的处理) → 讨论:证明形式的特点 ② 提出综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所 要证明的结论成立. 框图表示: 要点:顺推证法;由因导果.

b ?c ?a a ?c ?b a ?b ?c ③ 练习:已知 a,b,c 是全不相等的正实数,求证 ? ? ?3. a b c
④ 出示例 2:在△ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 A、B、C 成等差数列,a、b、c 成等比数列. 求证:为△ABC 等边三角形. 分析:从哪些已知,可以得到什么结论? 如何转化三角形中边角关系? → 板演证明过程 → 讨论:证明过程的特点. → 小结:文字语言转化为符号语言;边角关系的转化;挖掘题中的隐含条件(内角和) 2. 练习: ② A, B 为锐角,且 tan A ? tan B ? 3 tan A tan B ? 3 ,求证: A ? B ? 60? . (提示:算 tan( A ? B) ) ② 已知 a ? b ? c, 求证:

3. 小结:综合法是从已知的 P 出发,得到一系列的结论 Q1 , Q2, ??? ,直到最后的结论是 Q. 运用综合法可 以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 三、巩固练习: 1. 求证:对于任意角θ , cos 4 ? ? sin 4 ? ? cos 2? . (教材 P52 练习 1 题) (两人板演 → 订正 → 小结:运用三角公式进行三角变换、思维过程) 2. ?ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列,求证: 3. 作业:教材 P54 A 组 1 题.

1 1 4 ? ? . a ?b b ?c a ?c

1 1 3 . ? ? a ?b b?c a ?b?c

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第二课时

2.2.1

综合法和分析法(二)

教学要求:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综 合法的思考过程、特点. 教学重点:会用分析法证明问题;了解分析法的思考过程. 教学难点:根据问题的特点,选择适当的证明方法. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:基本不等式的形式? 2. 讨论:如何证明基本不等式

a?b ? ab (a ? 0, b ? 0) . 2

(讨论 → 板演 → 分析思维特点:从结论出发,一步步探求结论成立的充分条件) 二、讲授新课: 1. 教学例题: ① 出示例 1:求证 3 ? 5 ? 2 ? 6 . 讨论:能用综合法证明吗? → 如何从结论出发,寻找结论成立的充分条件? → 板演证明过程 (注意格式) → 再讨论:能用综合法证明吗? → 比较:两种证法 ② 提出分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止. 框图表示:
1 2 2

要点:逆推证法;执果索因.
1

③ 练习:设 x > 0,y > 0,证明不等式: ( x 2 ? y ) ? ( x3 ? y 3 ) 3 . 先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明. ④ 出示例 4:见教材 P48. 讨论:如何寻找证明思路?(从结论出发,逐步反推) ⑤ 出示例 5:见教材 P49. 讨论:如何寻找证明思路?(从结论与已知出发,逐步探求) 2. 练习:证明:通过水管放水,当流速相等时,如果水管截面(指横截面)的周长相等,那么截面的圆的 水管比截面是正方形的水管流量大. 提示:设截面周长为 l,则周长为 l 的圆的半径为 为

l l ,截面积为 ? ( )2 ,周长为 l 的正方形边长 2? 2?

l l l l ,截面积为 ( )2 ,问题只需证: ? ( )2 > ( )2 . 4 4 2? 4

3. 小结:分析法由要证明的结论 Q 思考,一步步探求得到 Q 所需要的已知 P , P ??? ,直到所有的已知 P 1 2, 都成立; 比较好的证法是:用分析法去思考,寻找证题途径,用综合法进行书写;或者联合使用分析法与综合 法,即从“欲知”想“需知”(分析),从“已知”推“可知” (综合) ,双管齐下,两面夹击,逐步缩小条 件与结论之间的距离,找到沟通已知条件和结论的途径. (框图示意) 三、巩固练习: 1. 设 a, b, c 是的△ABC 三边,S 是三角形的面积,求证: c2 ? a2 ? b2 ? 4ab ? 4 3S . 略证:正弦、余弦定理代入得: ?2ab cos C ? 4ab ? 2 3ab sin C , 即证: 2 ? cos C ? 2 3 sin C ,即: 3sin C ? cos C ? 2 ,即证: sin(C ? 2. 作业:教材 P52 练习 2、3 题.

?
6

) ? 1 (成立).

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第三课时

2.2.2 反证法
教学要求: 结合已经学过的数学实例, 了解间接证明的一种基本方法——反证法; 了解反证法的思考过程、 特点. 教学重点:会用反证法证明问题;了解反证法的思考过程. 教学难点:根据问题的特点,选择适当的证明方法. 教学过程: 一、复习准备: 1. 讨论:三枚正面朝上的硬币,每次翻转 2 枚,你能使三枚反面都朝上吗?(原因:偶次) 2. 提出问题: 平面几何中,我们知道这样一个命题: “过在同一直线上的三点 A、B、C 不能作圆”. 讨论 如何证明这个命题? 3. 给出证法:先假设可以作一个⊙O 过 A、B、C 三点, 则 O 在 AB 的中垂线 l 上,O 又在 BC 的中垂线 m 上, A 即 O 是 l 与 m 的交点。 D O 但 ∵A、B、C 共线,∴l∥m(矛盾) ∴ 过在同一直线上的三点 A、B、C 不能作圆. P 二、讲授新课: B C 1. 教学反证法概念及步骤: ① 练习:仿照以上方法,证明:如果 a>b>0,那么 a ? b ② 提出反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从 而证明了原命题成立. 证明基本步骤:假设原命题的结论不成立 → 从假设出发,经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设 不成立,从而原命题的结论成立 应用关键:在正确的推理下得出矛盾(与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实 矛盾等). 方法实质: 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的, 即由一个命题与其逆否命题同真假, 通过证明一个命题的逆否命题的正确,从而肯定原命题真实. 注:结合准备题分析以上知识. 2. 教学例题: ① 出示例 1:求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 分析:如何否定结论? → 如何从假设出发进行推理? → 得到怎样的矛盾? 与教材不同的证法:反设 AB、CD 被 P 平分,∵P 不是圆心,连结 OP, 则由垂径定理:OP?AB,OP?CD,则过 P 有两条直线与 OP 垂直(矛盾) ,∴不被 P 平分. ② 出示例 2:求证 3 是无理数. ( 同上分析 → 板演证明,提示:有理数可表示为 m / n ) 证:假设 3 是有理数,则不妨设 3 ? m / n (m,n 为互质正整数) , 2 2 2 从而: (m / n) ? 3 , m ? 3n ,可见 m 是 3 的倍数. 设 m=3p(p 是正整数) ,则 3n2 ? m2 ? 9 p2 ,可见 n 也是 3 的倍数. 这样,m, n 就不是互质的正整数(矛盾). ∴ 3 ? m / n 不可能,∴ 3 是无理数. ③ 练习:如果 a ? 1 为无理数,求证 a 是无理数. 提示:假设 a 为有理数,则 a 可表示为 p / q ( p, q 为整数) ,即 a ? p / q . 由 a ? 1 ? ( p ? q) / q ,则 a ? 1 也是有理数,这与已知矛盾. ∴ a 是无理数. 3. 小结:反证法是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论正确. 注意证明 步骤和适应范围( “至多”“至少”“均是”“不都”“任何”“唯一”等特征的问题) 、 、 、 、 、 三、巩固练习: 1. 练习:教材 P54 1、2 题 2. 作业:教材 P54 A 组 3 题.

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第三章 数系的扩充与复数的引入
第一课时

3.1.1 数系的扩充与复数的概念
教学要求: 理解数系的扩充是与生活密切相关的,明白复数及其相关概念。 教学重点:复数及其相关概念,能区分虚数与纯虚数,明白各数系的关系。 教学难点:复数及其相关概念的理解 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:N、Z、Q、R 分别代表什么?它们的如何发展得来的? (让学生感受数系的发展与生活是密切相关的) 2.判断下列方程在实数集中的解的个数(引导学生回顾根的个数与 ? 的关系) : 2 2 2 2 (1) x ? 3x ? 4 ? 0 (2) x ? 4 x ? 5 ? 0 (3) x ? 2 x ? 1 ? 0 (4) x ? 1 ? 0 3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释,不想得到“无解”的答案。 讨论:若给方程 x 2 ? 1 ? 0 一个解 i ,则这个解 i 要满足什么条件? i 是否在实数集中? 实数 a 与 i 相乘、相加的结果应如何? 二、讲授新课: 1. 教学复数的概念: ①定义复数:形如 a ? bi 的数叫做复数,通常记为 z ? a ? bi (复数的代数形式) ,其中 i 叫虚数单位, a 叫 实部, b 叫虚部,数集 C ? ?a ? bi | a, b ? R? 叫做复数集。 出示例 1:下列数是否是复数,试找出它们各自的实部和虚部。 2 ? 3i,8 ? 4i,8 ? 3i,6, i, ?2 ? 9i,7i,0 规定: a ? bi ? c ? di ? a ? c且b=d ,强调:两复数不能比较大小,只有等与不等。 ②讨论:复数的代数形式中规定 a , b ? R , a , b 取何值时,它为实数?数集与实数集有何关系? ③定义虚数: a ? bi,(b ? 0) 叫做虚数, bi,(b ? 0) 叫做纯虚数。

?实数 (b=0) ? ④ 数集的关系: 复数Z ? ?一般虚数(b ? 0, a ? 0) ?虚数 (b ? 0) ?纯虚数(b ? 0, a ? 0) ? ? 上述例 1 中,根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数? 2.出示例题 2: P62 (引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论) 练习:已知复数 a ? bi 与 3 ? (4 ? k )i 相等,且 a ? bi 的实部、虚部分别是方程 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 的两根,试求: a , b, k 的值。 (讨论 3 ? (4 ? k )i 中,k 取何值时是实数?) 小结:复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。 三、巩固练习: 1.指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数,是虚数的找出其实部与虚部。 2 ? 3i ,8 ? 4i,8 ? 0i,6, i, ? ?2 ? 9i ? ? 2 ? 1 ,7i,0 3 2.判断① 两复数,若虚部都是 3,则实部大的那个复数较大。 ② 复平面内,所有纯虚数都落在虚轴上,所有虚轴上的点都是纯虚数。 3 若 (3x ? 2 y) ? (5 x ? y)i ? 17 ? 2i ,则 x, y 的值是?

?

?

4. .已知 i 是虚数单位,复数 Z ? m2 (1 ? i) ? m(2 ? 3i) ? 4(2 ? i) ,当 m 取何实数时, z 是: (1)实数 (2) 虚数 (3)纯虚数 (4)零 作业: P62 2、3 题。

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第二课时

3.1.2 复数的几何意义
教学要求:理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的,能根据复数的代数形式描出其对应的点及 向量。 教学重点:理解复数的几何意义,根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。 教学难点: 根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。 教学过程: 一、复习准备: 1. 说出下列复数的实部和虚部,哪些是实数,哪些是虚数。 1 ? 4i,7 ? 2i,8 ? 3i,6, i, ?2 ? 0i,7i,0,0 ? 3i,3 2.复数 z ? ( x ? 4) ? ( y ? 3)i ,当 x, y 取何值时为实数、虚数、纯虚数? 3. 若 ( x ? 4) ? ( y ? 3)i ? 2 ? i ,试求 x, y 的值, ( x ? 4) ? ( y ? 3)i ? 2 呢?) ( 二、讲授新课: 1. 复数的几何意义: ① 讨论:实数可以与数轴上的点一一对应,类比实数,复数能与什么一一对应呢? (分析复数的代数形式,因为它是由实部 a 和虚部同时确定,即有顺序的两实数,不难想到有序实数对 或点的坐标) 结论:复数与平面内的点或序实数一一对应。 ②复平面:以 x 轴为实轴, y 轴为虚轴建立直角坐标系,得到的平面叫复平面。 复数与复平面内的点一一对应。 ③例 1:在复平面内描出复数 1 ? 4i,7 ? 2i,8 ? 3i,6, i, ?2 ? 0i,7i,0,0 ? 3i,3 分别对应的点。 (先建立直角坐标系,标注点时注意纵坐标是 b 而不是 bi ) 观察例 1 中我们所描出的点,从中我们可以得出什么结论? ④实数都落在实轴上,纯虚数落在虚轴上,除原点外,虚轴表示纯虚数。 思考:我们所学过的知识当中,与平面内的点一一对应的东西还有哪些? ⑤

复数Z ? a ? bi

一一对应

? 复平面内的点(a,b)



复数Z ? a ? bi

一一对应

? 平面向量OZ

?? ?



一一对应 ?? ? 复平面内的点(a,b) ? 平面向量OZ

?? ? 注意:人们常将复数 z ? a ? bi 说成点 Z 或向量 OZ ,规定相等的向量表示同一复数。
2.应用 例 2,在我们刚才例 1 中,分别画出各复数所对应的向量。 练习:在复平面内画出 2 ? 3i, 4 ? 2i, ?1 ? 3i, 4i, ?3 ? 0i 所对应的向量。 小结:复数与复平面内的点及平面向量一一对应,复数的几何意义。 三、巩固与提高: 1. 分别写出下列各复数所对应的点的坐标。 2 ? 3i ,8 ? 4i,8 ? 0i,6, i, ? ?2 ? 9i ? ? 2 ? 1 ,7i,0 2. 3

?

?

3. 若复数 Z ? (m2 ? 3m ? 4) ? (m2 ? 5m ? 6)i 表示的点在虚轴上,求实数 a 的取值。 变式:若 z 表示的点在复平面的左(右)半平面,试求实数 a 的取值。 3、作业:课本 64 题 2、3 题.

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第一课时

3.2.1 复数的代数形式的加减运算
教学要求:掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。 教学重点:复数的代数形式的加、减运算及其几何意义 教学难点:加、减运算的几何意义 教学过程: 一、复习准备: 1. 与复数一一对应的有? 2. 试判断下列复数 1 ? 4i,7 ? 2i,6, i, ?2 ? 0i,7i,0,0 ? 3i 在复平面中落在哪象限?并画出其对应的向量。 3. 同时用坐标和几何形式表示复数 z1 ? 1 ? 4i与Z 2 ? 7 ? 2i 所对应的向量,并计算 OZ1 ? OZ2 。向量的加减 运算满足何种法则? 4. 类比向量坐标形式的加减运算,复数的加减运算如何? 二、讲授新课: 1.复数的加法运算及几何意义 ①.复数的加法法则: z1 ? a ? bi与Z 2 ? c ? di ,则 Z1 ? Z 2 ? (a ? c) ? (b ? d )i 。 例 1.计算(1) (1 ? 4i)+(7 ? 2i) (2) (7 ? 2i)+(1 ? 4i) (3) [(3 ? 2i)+(?4 ? 3i)] ? (5 ? i) (4) (3 ? 2i)+[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)] ②.观察上述计算,复数的加法运算是否满足交换、结合律,试给予验证。 例 2.例 1 中的(1)(3)两小题,分别标出 (1 ? 4i),(7 ? 2i) , (3 ? 2i),(?4 ? 3i),(5 ? i) 所对应的向量,再 、 画出求和后所对应的向量,看有所发现。 ③复数加法的几何意义:复数的加法可以按照向量的加法来进行(满足平行四边形、三角形法则) 2.复数的减法及几何意义:类比实数,规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若 Z1 ? Z ? Z 2 ,则 Z叫做 Z 2减去Z1的差,记作Z ? Z 2 ? Z1 。 ④讨论:若 Z1 ? a ? b, Z 2 ? c ? di ,试确定 Z ? Z1 ? Z 2 是否是一个确定的值? (引导学生用待定系数法,结合复数的加法运算进行推导,师生一起板演) ⑤复数的加法法则及几何意义:(a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ,复数的减法运算也可以按向量的减法 来进行。 例 3.计算(1) (1 ? 4i)-(7 ? 2i) (2) (5 ? 2i)+(?1 ? 4i) ? (2 ? 3i) (3) (3 ? 2i)-[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)] 练习:已知复数,试画出 Z ? 2i , Z ? 3 , Z ? (5 ? 4i) ? 2i 2.小结:两复数相加减,结果是实部、虚部分别相加减,复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行。 三、巩固练习: 1.计算 2 ? 3i ? ? ?2 ? 9i ? ? 2 ? i (1) ?8 ? 4i ? ? 5 (2) ? 5 ? 4i ? ? 3i (3) 3 2.若 (3 ? 10i) y ? (2 ? i) x ? 1 ? 9i ,求实数 x, y 的取值。 变式:若 (3 ? 10i) y ? (2 ? i) x 表示的点在复平面的左(右)半平面,试求实数 a 的取值。

???? ???? ? ?

?

?

3.三个复数 Z1 , Z 2 , Z3 ,其中 Z1 ? 3 ? i , Z 2 是纯虚数,若这三个复数所对应的向量能构成等边三角形, 试确定 Z 2 , Z 3 的值。 作业:课本 71 页 1、2 题。

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第二课时

3.2.2 复数的代数形式的乘除运算
教学要求:掌握复数的代数形式的乘、除运算。 教学重点:复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念 教学难点:乘除运算 教学过程: 一、复习准备: 1. 复数的加减法的几何意义是什么? 2. 计算(1) (1 ? 4i)+(7 ? 2i) (2) (5 ? 2i)+(?1 ? 4i) ? (2 ? 3i) (3) (3 ? 2i)-[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)] 3. 计算: (1) (1 ? 3) ? (2 ? 3) (2) (a ? b) ? (c ? d ) (类比多项式的乘法引入复数的乘法) 二、讲授新课: 1.复数代数形式的乘法运算 ①.复数的乘法法则: (a ? bi)(c ? di) ? ac ? bci ? adi ? bdi 2 ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i 。 例 1.计算(1) (1 ? 4i) ? (7 ? 2i) (2) (7 ? 2i) ? (1 ? 4i) (3) [(3 ? 2i) ? (?4 ? 3i)] ? (5 ? i) (4) (3 ? 2i) ?[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)] 探究:观察上述计算,试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律? 例 2.1、计算(1) (1 ? 4i) ? (1 ? 4i) (2) (1 ? 4i) ? (7 ? 2i) ? (1 ? 4i) (3) (3 ? 2i)2

2、已知复数 Z ,若,试求 Z 的值。变:若 (2 ? 3i) Z ? 8 ,试求 Z 的值。 ②共轭复数:两复数 a ? bi与a ? bi 叫做互为共轭复数,当 b ? 0 时,它们叫做共轭虚数。 注:两复数互为共轭复数,则它们的乘积为实数。 练习:说出下列复数的共轭复数 3 ? 2i, ?4 ? 3i,5 ? i, ?5 ? 2i,7, 2i 。 ③类比

1? 2 2? 3

?

(1 ? 2)(2 ? 3) (2 ? 3)(2 ? 3)

,试写出复数的除法法则。

2.复数的除法法则: (a ? bi ) ? (c ? di) ?

a ? bi (a ? bi )(c ? di ) ac ? bd bc ? ad ? ? ? i c ? di (c ? di )(c ? di ) c 2 ? d 2 c 2 ? d 2

其中 c ? di 叫做实数化因子 例 3.计算 (3 ? 2i) ? (2 ? 3i) , (1 ? 2i) ? (?3 ? 2i) (师生共同板演一道,再学生练习) 练习:计算

3 ? 2i 3?i , 2 (1 ? 2i ) (1 ? i ) 2 ? 1

2.小结:两复数的乘除法,共轭复数,共轭虚数。 三、巩固练习: 1.计算(1)

? ?1 ? i ?? 2 ? i ?
i3

(2) i ? i 2 ? i 3 ? i 4 ? i 5

(3)

2 ? i3 1 ? 2i

2.若 z1 ? a ? 2i, z2 ? 3 ? 4i ,且

z1 z 为纯虚数,求实数 a 的取值。变: 1 在复平面的下方,求 a 。 z2 z2

16

第四章 框图
4.1 流程图
教学目的: 1.能绘制简单实际问题的流程图,体会流程图在解决实际问题中的作用,并能通过框图理解某件事情的 处理过程. 2.在使用流程图过程中,发展学生条理性思考与表达能力和逻辑思维能力. 教学重点: 识流程图. 教学难点: 数学建模. 教学过程: 例 1 按照下面的流程图操作,将得到怎样的数集?
开始 写下1 加3 写下结果

对这个刚写下的数加 上一个比前面加过的 那个数大2的数 N

你已写下10 个数了吗? Y 结束

解:按照上述流程图操作,可以得到下面的10个数: 1, 1+3=4, 4+(3+2)=4+5=9,

9+(5+2)=9+7=16, 16+7+2)=16+9=25, 25+(9+2)=25+11=36 , 36+(11+2)=36+13=49, 49+(13+2)=49+15=64, 64+(15+2)=64+17=81, 81+(17+2)=81+19=100. 这样,可以得到数集{1,4,9,16,25,36,49,64,81,100}. 我们知道用数学知识和方法解决实际问题的过程就是数学建模的过程,数学建模的过程可以用下图所示的 流程图来表示:

17

实际情景 提出问题

修改

数学建模

数学结果

不合乎实际 检验 合乎实际 可用结果

以”哥尼斯堡七桥问题”为例来体会数学建模的过程. (1)实际情景: 在 18 世纪的东普鲁士,有一个叫哥尼斯堡的城市.城中有一条河,河中有两个小岛,河上架有七座桥,把小 岛和两岸都连结起来. (2) 提出问题: 人们常常从桥上走过,于是产生了一个有趣的想法:能不能一次走遍七座桥,而在每座桥上只经过一次 呢? 尽管人人绞尽脑汁,谁也找不出一条这样的路线来. (3) 建立数学模型: 1736 年,这事传到了瑞士大数学家欧拉的耳里,他立刻对这个问题产生了兴趣,动手研究起来.作为一个 数学家,他的研究方法和一般人不同,他没有到桥上去走走,而是将具体问题转化为一个数学模型. 欧拉用点代表两岸和小岛,用线代表桥,于是上面的问题就转化为能否一笔画出图中的网络图形,即” 一笔画”问题,所谓” 一笔画”,通俗的说,就是笔不离开纸面,能不重复的画出网络图形中的每一条线. (4)得到数学结果: 在”一笔画”问题中,如果一个点不是起点和终点,那么有一条走向它的线,就必须有另一条离开它的线. 就是说,连结着点的线条数目是偶数,这种点成为偶点.如果连结一个点的数目是奇数,那么这种点成为奇点, 显然奇点只能作为起点或终点. 因此,能够一笔画出一个网络图形的条件,就是它要么没有奇点,要么最多只有两个奇点,(分别作为起 点和终点).而图中所有的点均为奇点,且共有 4 个奇点,所有这些图形不能” 一笔画”. (5) 回到实际问题: 欧拉最后得出结论:找不出一条路线能不重复地走遍七座桥. 练习:书 82 页练习. 小结:

18

4.2 结构图
教学目的: 1.通过实例,了解结构图;运用结构图梳理已学过的知识,整理收集到的资料信息. 2.能根据所给的结构图,用语言描述框图所包含的内容. 3.结合给出的结构图,与他人进行交流,体会结构图在揭示事物联系中的作用. 教学重点、难点: 运用结构图梳理已学过的知识,整理收集到的资料信息,根据所给的结构图,用语言描述框图所包含的内容. 教学过程: 问题情境:
我们知道,四种命题以及他们之间的关系可以用下面的框图来表示.

互否 原命题 等价 互 互 逆 否 为 为 逆 逆 否 互 等价 互 逆 否命题

逆命题 互否

逆否命题

上面的框图与流程图有什么不同?

建构数学:
例如, 《数学 4(必修) 》第 3 章三角恒等变换,可以用下面的结构图来表示: (见下页图(1) ) 数学应用: 例 1 某公司的组织结构是:总经理之下设执行经理、人事经理和财务经理。执行经理领导生产经理、工 程经理、品质管理经理和物料经理。生产经理领导线长,工程经理领导工程师,工程师管理技术员,物料 经理领导计划员和仓库管理员。 分析:必须理清层次,要分清几部分是并列关系还是上下层关系。 解:根据上述的描述,可以用如图(2)所示的框图表示这家公司的组织结构:

19

C? ? ?

S? ? ?

T ?? ?

C? ? ?

S? ? ?

T ?? ?

C 2?

S 2?
图(1)

T2?

总经理

执行经理

人事经理

财务经理

生产经理

工程经理

品管经理

物料经理

线长

工程师

计划员

仓库管理员

技术员

图(2)

例 2 写出《数学 3(必修) 》第二章统计的知识结构图。 分析: 《数学 3(必修) 》第二章统计的主要内容是通过对样本的分析对总体作出估计,具体内容又分三部 分: “抽样”-------简单随机抽样、系统抽样和分层抽样; “分析”-------可以从样本分布、样本特征数和相关关系这三个角度来分析; “估计”-------根据对样本的分析,推测或预估总体的特征。 解: 《数学 3(必修) 》第二章统计的知识结构图可以用下面图来表示:

20

总体 抽样 分析 估计

简 单 随 机 抽 样

系 统 抽 样

分 层 抽 样

抽 样 分 布

样 本 特 征 数

相 关 系 数

总 体 分 布

总 体 特 征 数

相 关 系 数

例3 小流域综合治理可以有三个措施:工程措施、生物措施、和 农业技术措施。其中,工程措施包括打坝建库、平整土地、修基 本农田和引水灌溉,其功能是贮水拦沙、改善生产条件和合理利 用水土;生物措施包括栽种乔木、灌木和草木,其功能是蓄水保 土和发展多种经营;农业技术措施包括深耕改土、科学施肥、选 育良种、地膜覆盖和轮作套种,其功能是蓄水保土、提高肥力和 充分利用光和热。
试画出小流域综合治理开发模式的结构图。 解:根据题意,三类措施为结构图的第一层,每类措施中具体的实现方式为结构为第二层,每类措施实施 所要达到的治理功能为结构图的第四层。小流域综合治理开发模式的结构如下图所示:
小流域综合治理

工 程设施

生物措 施

农业技术措施

大 坝 建 库

平 整 土 地

修 基 本 农 田

引 水 灌 溉

栽 种 禾 木

栽 种 灌 木

栽 种 草 木

深 耕 改 土

科 学 施 肥

选 育 良 种

地 膜 覆 盖

轮 作 套 种

功能 贮 水 拦 坝 改 善 生 产 条 件 合 理 利 用 水 土

功能 蓄 水 保 土 发 展 多 种 经 营

功能 充 分 利 用 光 热

蓄 水 保 土

提 高 肥 效

练习:画出某学科某章的知识结构图,并在小组内汇报交流。 小结:

21


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