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【优化方案】2012高中数学 第3章3.2第一课时均值不等式课件 新人教B版必修5


3.2 .

均值不等式

学习目标 1.了解均值定理的证明过程 , 会用均值定 了解均值定理的证明过程, 了解均值定理的证明过程 理解决简单的最大(小 值问题 值问题. 理解决简单的最大 小)值问题. 2.重点是均值定理的推导及其应用. .重点是均值定理的推导及其应用. 3.难点是均值定理在实际中的应用. .难点是均值定理在实际中的应用



第一课时

课前自主学案 第 一 课 时

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基

两数差的平方公式为: (a- ____________; a2+b2-2ab 两数差的平方公式为 : (a - b)2 = ____________ ; 由(a-b)2≥0,则a2+b2≥2ab,对于 ,b∈R都 - , ,对于a, ∈ 都 成立. 成立.

知新益能
1.算术平均值 . a+ b + b∈ 那么________叫做这两个正数的 如果 a, ∈ R+, , 那么 2 叫做这两个正数的 算术平均值. 算术平均值. 2.几何平均值 . + 那么_______叫做这两个正数的 如果 a, b∈ R ,那么 ab 叫做这两个正数的 , ∈ 几何平均值. 几何平均值. 3.重要不等式 . 2 2 2ab 如果 a, b∈ R,则 a + b ≥ _______ (当且仅当 a , ∈ , 当且仅当 = b 时,取“=” ); ;

a+ b + ab 当 均值定理: 均值定理 : 如果 a,b∈ R , ,∈ 那么 ≥_____ (当 2 且仅当 a=b 时,取 “=”). = . 均值定理可以叙述为: 均值定理可以叙述为:两个正实数的算术平均值 大于或等于它们的几何平均值. 大于或等于它们的几何平均值. 均值定理所表述的不等式通常称为均值不等式, 均值定理所表述的不等式通常称为均值不等式, 也称它为基本不等式. 也称它为基本不等式.


思考感悟 基本不等式中的a, 可以是值为任意正数 基本不等式中的 ,b可以是值为任意正数 的代数式吗? 的代数式吗? 提示:可以. 提示:可以.

4.变式形式 . 2 2 a +b (1)ab≤ ≤ ; 2 + ?a+ b?2 ; (2)_____≤ ab ≤? 2 ? b a (3) + ≥ ____ ____(ab>0); ; 2 a b 2 2 a +b + ?a+ b?2 ≤______________; 2 (4) ? 2 ? ______________; 2 2 (5)____________≤ 2( a + b ). ≤ ( a+b + 上述不等式中等号成立的充要条件均为_____. 上述不等式中等号成立的充要条件均为 a=b =

课堂互动讲练

利用均值不等式比较大小
已知: 、 、 ∈ ,+ 且 + + = , ,+∞ 例1 已知: a、 b、 c∈(0,+∞ )且 a+ b+ c= 1, 1 试比较 a + b + c , ab+ bc+ ca, 的大小. + + , 的大小. 3 2 2 2 【分析】 变形利用不等式找出 a + b + c 与 ab 分析】 + bc+ ca 的大小, + 的大小, 结合条件 a+ b+ c= 1 再找两代 + + = 1 的关系,从而确定它们的大小. 数式与 的关系,从而确定它们的大小. 3
2 2 2

【解 】 ∵ a + b ≥ 2ab, a + c ≥ 2ac, b + , , 2 c ≥ 2bc, , 2 2 2 ∴ 2(a + b + c )≥ 2ab+ 2ac+ 2bc, ① ≥ + + , 2 2 2 ∴ a + b + c ≥ ab+ ac+ bc. + + 2 2 2 ①式两边分别加上 a + b + c 得: 2 2 2 2 2 2 3(a + b + c )≥ (a+ b+ c) = 1, ∴ a + b + ≥ + + , 1 c≥ , 3
2

2

2

2

2

2

3(ab+ bc+ ca)≤ a2+ b2+ c2+ 2ab+ 2bc+ 2ac + + ≤ + + 2 = (a+ b+ c) = 1, + + , 1 ∴ ab+ bc+ ca≤ . + + ≤ 3 2 2 2 1 综上知, 综上知, a + b + c ≥ ≥ ab+ bc+ ca. + + 3

点评】 要想运用均值不等式, 【 点评 】 要想运用均值不等式 , 必需把题 目中的条件或要解决的问题“ 化归” 目中的条件或要解决的问题 “ 化归 ” 到不等 式的形式并让其符合不等式条件. 式的形式并让其符合不等式条件 . 化归的方 法是把题目给的条件配凑变形, 法是把题目给的条件配凑变形 , 或利用一些 基本公式和一些常见的代换, 讲究一个巧字, 基本公式和一些常见的代换 , 讲究一个巧字 , 根据问题的具体情况把待求的数或式拆配的 恰到好处,才能顺利地进行运算. 恰到好处,才能顺利地进行运算.

自我挑战 1 已知 a, b 是正数,试比较 , 是正数, 1 1 + a b 的大小. 与 ab的大小. 的大小
1 1 解:∵ a, b∈ R ,∴ + ≥ 2 , ∈ a b 2 2 ∴ ≤ = ab. 1 1 1 + 2 a b ab


2

1 , ab

利用均值不等式证明不等式
例2

bc ac 已知 a、b、c 是正实数,求证: + 、 、 是正实数,求证: a b

ab + ≥ a+ b+ c. + + c

【 分析】 由于要证的不等式两边都是三项, 分析 】 由于要证的不等式两边都是三项 , 而我们掌握的均值不等式只有两项, 而我们掌握的均值不等式只有两项 , 所以可 以考虑多次使用均值不等式. 以考虑多次使用均值不等式.

【证明】 ∵ a、 b、 c 是正实数 , 证明】 、 、 是正实数 bc ac bc ac bc ac · = 2c(当且仅当 = , ∴ + ≥2 当且仅当 a b a b a b 即 a=b 时,取等号); = 取等号 ; ac ab ac ab ac ab · = 2a(当且仅当 = ,即 + ≥2 当且仅当 b c b c b c b= c 时,取等号 ; 取等号); = ab bc ab bc bc ab · = 2b(当且仅当 = ,即 + ≥2 当且仅当 c a c a a c a= c 时,取等号 . = 取等号).

上面 3 个不等式相加得 ac ab bc 2· + 2· + 2· ≥ 2a+ 2b+ 2c + + b c a (当且仅当 a= b=c 时,取等号 . 取等号). 当且仅当 = = bc ac ab ∴ + + ≥ a+ b+ c. + + a b c

【点评】 点评】

对于证明多项和的不等式时, 对于证明多项和的不等式时,可以考

虑先分段应用均值不等式或其变形, 虑先分段应用均值不等式或其变形,然后整体相 得结论. 加(乘)得结论.另外对于与“三项和”有关的不 乘 得结论 另外对于与“三项和” 等式证明问题常常将“三项和”拆成“六项和” 等式证明问题常常将“三项和”拆成“六项和” 处理. 处理.同时应用均值不等式时要注意看是否符合 条件. 条件.

,+∞ 自我挑战 2 已知 a、b、c∈ (0,+ ∞),且 a 、 、 ∈ ,+ , + b+ c= 1. + = 1 1 1 求证: 求证: + + ≥ 9. a b c

证明: 证明 :欲证不等式的右边为常数 9,故将不 , 等式的左边进行恰当的变形. 等式的左边进行恰当的变形. + + + + + + 1 1 1 a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c + + = + + a b c a b c b a c a c b = 3+ ( + )+( + )+ ( + ) + + + a b a c b c ≥ 3+ 2+ 2+ 2= 9. + + + = 1 当且仅当 a= b= c= 时取等号. = = = 时取等号. 3

(1)已知 a,b,c∈ R,求证: a2 + b2 已知 , , ∈ ,求证: 2 2 2 2 + b + c + c + a ≥ 2(a+ b+ c); + + ; (2)设 a, b, c 都是正数,求证: 设 , , 都是正数,求证: 1 1 1 1 1 1 . + + ≥ + + + + + 2a 2b 2c b+ c c+ a a+ b
例3

【分析】 (1)由不等式两边的结构特点,联 由不等式两边的结构特点, 分析 】 由不等式两边的结构特点 2 2 x +y 2 2 想重要不等式 x + y ≥ 2xy 及变形式 2 x+ y 2 + ) (x, y∈ R+). ≥( , ∈ . 2 (2)先重新组合,后利用基本不等式. 先重新组合, 先重新组合 后利用基本不等式.

【证明】 (1)∵ a + b ≥ 2ab, 证明】 ∵ , 2 2 2 2 2 两边加上 a + b ,得 2(a + b )≥(a+ b) , ≥ + 2 2 2 即 a + b ≥ (a+ b). + . 2 2 2 2 2 2 2 同理有: 同理有: b + c ≥ (b+ c), c + a ≥ (c + 2 2 + a). . 以上三式相加即得: 以上三式相加即得 : 2 2 2 2 2 2 a + b + b + c + c + a ≥ 2(a+ b+ c). + + . 当 a= b=c 时取等号. = = 时取等号.

2

2

(2)∵ a, b,c 都是正数, ∵ , , 都是正数, 1 1 1 1 1 ∴ ( + )≥ ≥ ≥ , + 2 2a 2b 2 ab a+ b 1 1 1 1 1 1 1 1 同理可证 ( + )≥ ≥ , ( + )≥ ≥ , + + 2 2b 2c b+ c 2 2c 2a c+ a 1 1 1 1 1 1 . 三式相加得 + + ≥ + + + + + 2a 2b 2c b+ c c+ a a+ b 当 a= b=c 时取等号. = = 时取等号.

【 点评】 利用均值不等式证明不等式, 点评 】 利用均值不等式证明不等式 , 一般要根据求证式两端的结构, 一般要根据求证式两端的结构 , 合理选择 重要不等式及其变形. 重要不等式及其变形. 自我挑战3 已知 ,b,c∈R+且a+b+c 已知a, , ∈ 自我挑战 + + =1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc. ,求证: - - - ≥
证明: - 证明:(1- a)(1- b)(1- c)= (b+ c)(a+ c)(a+ - - = + + + b)≥ 2 bc·2 ac·2 ab= 8abc,当且仅当 a= b ≥ = , = 等号成立. = c 时,等号成立.


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