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解三角形2012高考试题及解答


解三角形 2012 高考试题及解答
1.(2012 年高考(重庆文) )设△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且
a =1,b=2, C ? cos 1 4

,则 sin B ? ____

2. (2012 年高考(天津理) )在 ?ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别是 a,b

,c ,已知
8b =5c , C =2 B ,则 cos C ? (

) C. ?
7 25

A.

7 25

B. ?

7 25

D.

24 25

3. 2012 年高考 ( (陕西理) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,若 a 2 ? b 2 ? 2c 2 , ) 则 cos C 的最小值为( A. 【答案】C 【解析】:由余弦定理得, cos C ? C. 4. (2012 年高考(湖北文) )设 ?ABC 的内角 A, B, C , 所对的边分别为 a, b, c ,若三边的长 为连续的三个正整数,且 A ? B ? C , 3b ? 20a cos A ,则 sin A : sin B : sin C 为( A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 )
a ?b ?c
2 2 2


1 2

3 2

B.

2 2

C.

D. ?

1 2

?

a ?b
2

2

?

1 2

当且仅当 a = b 时取“=”,选

2ab

4ab

5. (2012 年高考(陕西文) )在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的长分别为 a,b,c,若 ? a=2 ,B= ,c=2 3 ,则 b=______
6

【答案】2 【解析】:由余弦定理得, b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B = 4 ,所以 b = 2 . 6. (2012 年高考(福建文) )在 ?ABC 中,已知 ?BAC ? 60?, ?ABC ? 45?, BC ?
AC ? _______.
3 ,则

【答案】 2
AC sin 45? 3 sin 60?

【解析】由正弦定理得

?

? AC ?

2

7. (2012 年广东文)在 ?ABC 中,若 ?A ? 60? , ?B ? 45? , BC ? 3 2 ,则 AC ? ( A. 4 3 B. 2 3 C. 3 D.
3 2



8 . 2012 年 高 考 ( 重 庆 理 ) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且 ( )
cos A ? 3 5 , cos B ? 14 5 3 5 5 13 4 5 12 13 5 13 , b ? 3, 则 c ? ______

【答案】 c ?

【解析】由 cos A ?

, cos B ?

? sin A ?

, sin B ?

,

由正弦定理

a sin A

?

b sin B

得a ?

b sin A sin B

3? ?

4

5 ? 13 , 12 5 13
14 5 1 4

由余弦定理 a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2bc cos A ? 25c 2 ? 90c ? 56 ? 0 ? c ?

9 . 2012 年 高 考 ( 北 京 理 ) 在 △ABC 中 , 若 a ? 2 , b ? c ? 7 , cos B ? ? ( )
b ? ___________.

,则

10. (2012 年高考 (湖南文) 在△ABC 中,AC= 7 ,BC=2,B =60°,则 BC 边上的高等于 ) (
3 2 3 3 2 3? 2 6 3? 4 39



A.

B.

C.

D.

11. (2012 年高考(北京文) )在△ABC 中,若 a ? 3 , b ? 3 , ?A ? ___________. ? 【答案】
2

?
3

,则 ?C 的大小为

【解析】 cos A ?

b ?c ?a
2 2

2

? c ? 2 3 ,而
A

c sin C

?

a sin A

,故 sin C ? 1 ? C ?

?
2

.

2bc

12. (2012 年高考(湖北理) )设△ ABC 的内角 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab ,则角 C ? _________.

, B , C 所对的边分别为 a , b , c . 若

13 . 2012 年 高 考 ( 安 徽 文 ) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 的 边 为 a, b, c , 且 有 ( )
2 sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C

(Ⅰ)求角 A 的大小; (II) 若 b ? 2 , c ? 1 , D 为 BC 的中点,求 AD 的长.

14 . 2012 年 高 考 ( 江 西 文 ) △ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c. 已 知 ( ) 3cos(B-C)-1=6cosBcosC. (1)求 cosA; (2)若 a=3,△ABC 的面积为 2 2 ,求 b,c.
?3(cos B cos C ? sin B sin C ) ? 1 ? 6 cos B cos C ? 3cos B cos C ? 3sin B sin C ? ?1 ? ? 【解析】(1) ? 3cos( B ? C ) ? ?1 ? 1 ? cos(? ? A) ? ? ? 3 ?

则 cos A ?

1 3

.

(2) 由(1)得 sin A ?

2 2 3

,由面积可得 bc=6①,则根据余弦定理

cos A ?

b ?c ?a
2 2

2

?

b ?c ?9
2 2

?

1 3

则 b 2 ? c 2 ? 13 ②,

2bc
?b ? 3 ? ?a ? 2 ?

12
?a ? 3 ? ?b ? 2 ?

①②两式联立可得 ?

或?

.

15 . 2012 年 高 考 ( 课 标 文 ) 已 知 a , b , c 分 别 为 ?ABC 三 个 内 角 A , B , C 的 对 ( )

边, c ? 3a sin C ? c sin A . (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a =2, ?ABC 的面积为 3 ,求 b , c .

16 . 2012 年 高 考 ( 天 津 文 ) 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 所 对 的 分 别 是 a, b, c . 已 知 ( )
2 4

a ? 2, c ?

2, cos A ? ?

.
?
3

(I)求 sin C 和 b 的值;

(II)求 cos(2 A ?

) 的值.

17. (2012 年高考(江苏) )在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA ? BC . (1)求证: tan B ? 3 tan A ; (2)若 cos C ?
5 5 ,求

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

A 的值.

18.2012 年高考 ( (大纲文) ?ABC 中,内角 A.B.C 成等差数列,其对边 a, b, c 满足 2b 2 ? 3ac , ) 求 A.

19. (2012 年高考(辽宁理) )在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等 差数列. (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值.


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