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高中数学人教A版选修2-3课时提升卷(十五) 第二章 2.3.1 离散型随机变量的均值


课时提升卷(十五)
离散型随机变量的均值 (45 分钟 100 分) 一、选择题(每小题 6 分,共 30 分) 1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分,罚不中得 0 分.已知某运 动员罚球的命中率是 0.7,则他罚球 6 次的总得分 X 的均值是 A.0.70 B.6 C.4.2 D.0.42 ( )

2.(2013·长沙高二检测)若 X 的分布列为 X P 则 E(X)= ( A. B. ) C. D. 0 1 a

3. (2013·湖北高考)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体, 记它的油漆面数为 X,则 X 的均值 E(X)= ( )

A. C.

B. D.

4.(2013 ·衡水高二检测 ) 设随机变量 X 的分布列如下表所示 , 且

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E(X)=1.6,则 a-b= ( X P A.0.2 B.0.1

) 0 0.1 1 a C.-0.2 2 b 3 0.1 D.-0.4

5.现有 10 张奖券,8 张 2 元的、2 张 5 元的,某人从中随机抽取 3 张, 则此人得奖金额的数学期望是 ( A.6 B.7.8 C.9 ) D.12

二、填空题(每小题 8 分,共 24 分) 6.某射手射击所得环数ξ 的分布列如表: ξ P 7 x 8 0.1 9 0.3 . 10 y

已知ξ 的期望 E(ξ )=8.9,则 y 的值为

7.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ 的分布列如下表: X P 1 ? 2
[来源:学优]

3 ?

!

请小牛同学计算ξ 的数学期望,尽管 “!” 处完全无法看清,且两个 “?” 处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正 确答案 E(ξ )= .

8.设 p 为非负实数,随机变量 X 的概率分布为:

X

0

1

2

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P 则 E(X)的最大值为

-p .

p

三、解答题(9~10 题各 14 分,11 题 18 分) 9.(2013 ·昆明高二检测)某班将要举行篮球投篮比赛,比赛规则是: 每位选手可以选择在 A 区投篮 2 次或选择在 B 区投篮 3 次,在 A 区每 进一球得 2 分,不进球得 0 分;在 B 区每进一球得 3 分,不进球得 0 分, 得分高的选手胜出.已知某参赛选手在 A 区和 B 区每次投篮进球的概 率分别是 和 . (1)如果以投篮得分的期望值高作为选择的标准 ,问该选手应该选择 哪个区投篮?请说明理由. (2)求该选手在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率. 10.(2012·浙江高考)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取 出一个白球得 2 分,取出一个黑球得 1 分.现从该箱中任取(无放回, 且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出此 3 球所得分数 之和. (1)求 X 的分布列. (2)求 X 的数学期望 E(X). 11.(能力挑战题)一个口袋中有 2 个白球和 n 个红球(n≥2,且 n∈N*), 每次从袋中摸出两个球(每次摸球后把这两个球放回袋中),若摸出的 两个球颜色相同为中奖,否则为不中奖. (1)试用含 n 的代数式表示一次摸球中奖的概率 P.

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(2)若 n=3,求三次摸球恰有一次中奖的概率. (3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为 f(p),当 n 为何值时,f(p)取最 大值.

答案解析
1.【解析】选 C.总得分 X~B(6,0.7), E(X)=6×0.7=4.2. 【变式备选】 设 15000 件产品中有 1000 件废品,从中抽取 150 件进行 检查,查得废品的数学期望为 ( A.20 B.10 C.5 ) D.15 ,

【解析】 选 B.废品率为 ,设 150 件中的废品数为 X,则 X~B 所以 E(X)=150× =10.

2. 【解题指南】 先借助概率分布的性质求 a 的值,再借助定义求 E(X). 【解析】选 A.由题意知 +a=1,E(X)=0× +a=a= . 3.【解析】选 B.P(3)= P(0)= ,E(X)= + + ,P(2)= +0= . ,P(1)= ,

4.【解析】选 C.由 0.1+a+b+0.1=1,得 a+b=0.8,① 又由 E(X)=0×0.1+1·a+2·b+3×0.1=1.6, 得 a+2b=1.3,②
[来源:学优]

由①②解得 a=0.3,b=0.5,所以 a-b=-0.2. 5. 【解析】选 B. 设此人的得奖金额为 X, 则 X 的所有可能取值为 12,9,6.P(X=12)= E(X)=7.8.
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=

,P(X=9)=

=

,P(X=6)=

=

,故

6. 【解析】 由分布列可得 x=0.6-y 且 7x+0.8+2.7+10y=8.9,解得 y=0.4. 答案:0.4 7. 【解析】 设 “?” 处的数值为 x,则 “!” 处的数值为 1-2x,则 E(ξ)=1· x+2 ×(1-2x)+3x=x+2-4x+3x=2. 答案:2 8.【解题指南】先利用分布列的性质求 p 的取值范围,再借助期望的 定义建立 E(X)的函数关系,并且求其最值. 【 解 析 】 由 表 可得 =0· +1·p+ 从而得 p∈ , 期 望 值 E(X)

2× =p+1,当且仅当 p= 时,E(X)最大值= . 答案: 【误区警示】本题易因不算出 p 的取值范围而误认为 0≤p≤1,而导 致错解. 9.【解析】(1)设该选手在 A 区投篮的进球数为 X, 则 X~B ,故 E(X)=2× = ,

则该选手在 A 区投篮得分的期望为 2× =3.6. 设该选手在 B 区投篮的进球数为 Y,则 Y~B 则该选手在 B 区投篮得分的期望为 3×1=3. 所以该选手应该选择 A 区投篮. (2)设“该选手在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分”为事件 C,“该 选手在 A 区投篮得 4 分且在 B 区投篮得 3 分或 0 分”为事件 D,“该 选手在 A 区投篮得 2 分且在 B 区投篮得 0 分”为事件 E,则事件 C=D
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,故 E(Y)=3× =1,

∪E,且事件 D 与事件 E 互斥. P(D)= P(E)= × × = , = ,

P(C)=P(D∪E)= + = , 故该选手在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率为 . 【变式备选】(2013·吉林高二检测)某市文化馆在春节期间举行高中 生“蓝天海洋杯”象棋比赛,规则如下:两名选手比赛时,每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时结束. 假设选手甲与选手乙比赛时,甲每局获胜的概率皆为 ,且各局比赛胜 负互不影响. (1)求比赛进行 4 局结束,且乙比甲多得 2 分的概率. (2)设ξ表示比赛停止时已比赛的局数 ,求随机变量ξ的分布列和数 学期望. 【解析】(1)由题意知,乙每局获胜的概率皆为 1- = . 比赛进行 4 局结束,且乙比甲多得 2 分即头两局乙胜一局,3,4 局连胜, 则 P= × × × × = .

(2)由题意知,ξ的取值为 2,4,6. 则 P(ξ=2)= P(ξ=4)= + = , + × × × = ,
[来源:GKSTK.Com]

× × ×

P(ξ=6)=1-P(ξ=2)-P(ξ=4)= , 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 2 4 6

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P 则 E(ξ)=2× +4× +6× = 10.【解析】(1)X=3,4,5,6. P(X=3)= = . P(X=4)= P(X=5)= = . = . .

P(X=6)= = . 所以 X 的分布列为

X P

3

4

5

6

[来源:学优]

(2)X 的数学期望 E(X)=

= = . 种选法,其中

11.【解析】(1)一次摸球从 n+2 个球中任选两个,有 两球颜色相同有 P= = . +

种选法;故一次摸球中奖的概率

(2)若 n=3,则一次摸球中奖的概率是 P= ,三次摸球是独立重复实验, 三次摸球中恰有一次中奖的概率是 P3(1)= ·P·(1-P)2= .

(3)设一次摸球中奖的概率是 p,则三次摸球中恰有一次中奖的概率是 f(p)= ·p·(1-p)2=3p3-6p2+3p,0<p<1,

因为 f'(p)=9p2-12p+3=3(p-1)(3p-1), 所以 f(p)在 是增函数,在 是减函数,

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所以当 p= 时,f(p)取最大值,所以 p=

= (n≥2,n∈N*),

所以 n=2,故 n=2 时,三次摸球中恰有一次中奖的概率最大.

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