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江苏省南通市第一中学2014-2015学年高三上学期10月阶段测试(月考) 数学(理) Word版含解析(苏教版)


2014—2015 学年度第一学期江苏省南通第一中学高三阶段考试 数学试题
注意事项:本试卷分试题和答卷两部分,共 160 分,考试时间为 120 分钟. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上 . ........ 1. 已知集合 U={2,3,6,8},A={2,3},B={2,6,8},则(?UA)∩B= 2. 命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆否命题是 3. 函数 f ( x) ? ▲ ▲ . .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答. 解答时应写出文字说明、 ....... 证明过程或演算步骤. 15. (本小题 14 分) 已知集合 A={y|y=2x-1,0<x≤1},B={x|(x-a)[x-(a+3)]<0}.分别根据下列条件, 求实数 a 的取值范围. (1)A∩B=A;(2)A∩B≠ ? .

x ? x(x ? 3) 的定义域是



. ▲ .(从大到小排列)

4. 若 a=30.6,b=log30.2,c=0.63,则 a、b、c 的大小关系为 5. 函数 y=xex 的最小值是 ▲ .

6. 已知 U=R,集合 A={x|x2-x-2=0},B={x|mx+1=0},B∩(?UA)= ? ,则 m= ▲ . 7. 已知命题 p:“?x∈R,使得 x2+2ax+1<0 成立”为真命题,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 8. 已知函数 f ( x) ?

mx 2 ? (m ? 3) x ? 1 的值域是 ?0 ? ? ? ,则实数 m 的取值范围是


▲ .

. 16. (本小题 14 分)
? ?f?x?,x>0, 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+1(a>0),F(x)=? 若 f(-1)=0,且对任意实数 x 均有 ?-f?x?,x<0. ?

9. 已知函数 f(x)=ax3+bsin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则 f(lg(lg 2))=
??1-3a?x+10a,x≤7, ? 10.已知函数 f(x)=? x-7 是定义域 R 上的递减函数, ? ?a ,x>7

f(x)≥0 成立. (1)求 F(x)的表达式; (2)当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求 k 的取值范围.

则实数 a 的取值范围是





11.函数 f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在 [0,4]上的图象如 f?x? 图所示,那么不等式 <0 的解集为 cos x ▲ .

12.已知函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x),且当 x∈[-1,1] sin?πx?,x>0, ? ? 时,f(x)=|x|,函数 g(x)=? 1 则函数 ?-x,x<0, ? h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]上的零点的个数为 ▲ .

13.将一个长宽分别是 a,b(0<b<a)的铁皮的四角切去相同的正方形,然后折成一个无盖的长方体 a 的盒子,若这个长方体的外接球的体积存在最小值,则 的取值范围是 b 14.设 a>0,函数 f ( x) ? x ? ▲ .

a2 , g ( x) ? x ? ln x ,若对任意的 x1,x2∈[1,e],都有 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) 成 x
▲ .

立,则实数 a 的取值范围是

17.A,B 两地相距 S 千米,要将 A 地所产汽油运往 B 地.已知甲、乙二型运油车行驶 S 千米的耗油
1 1 量(不妨设空载时,满载时相同)分别为各自满载油量的 , ,且甲型车的满载油量是乙型 15 14

19. (本小题 16 分) 已知函数 f ( x) ? x x ? a ? 2x . (1)若函数 f ( x) 在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)求所有的实数 a ,使得对任意 x ? [1, 2] 时,函数 f ( x) 的图象恒在函数 g ( x) ? 2 x ? 1 图 象的下方; (3)若存在 a ?[?4, 4] ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? t f (a) 有三个不相等的实数根,求实数

5 车的 ,今拟在 A,B 之间设一运油中转站 C,由从 A 出发,往返于 A,C 之间的甲型车将 A 处的 6 汽油运至 C 处,再由从 C 出发,往返于 C,B 之间的乙型车将 C 处收到的汽油运至 B 处.若 C 处收到的汽油应一次性运走,且各辆车的往返耗油从各自所载汽油中扣除,问 C 地设在何处, 可 使 运 油 率 最 大 ? 此 时 , 甲 、 乙 二 型 汽 车 应 如 何 配 备 ? ( 运 油 率 精 确 到 1% , 运 油 率 B处收到的汽油 = × 100%) A 处运出的汽油

t 的取值范围.

18. (本小题 16 分) 已知定义域为 R 的函数 f ? x ? ? (1)求 a , b 的值; ( 2) 判断并证明函数 f ? x ? 的单调性; (3)若对任意的 t ? R ,不等式 f t ? 2 ? f 2t ? k ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.
2 2

?2 x ? a 是奇函数, 2 x ?1 ? b

20.(本小题 16 分) 已知函数 f (x)=sinx-xcosx 的导函数为 f′(x). (1)求证:f (x)在(0,π)上为增函数; 1 (2)若存在 x∈(0,π),使得 f′(x)> x2+λx 成立,求实数 λ 的取值范围; 2 (3)设 F(x)=f′(x)+2cosx,曲线 y=F(x)上存在不同的三点 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), x1<x2<x3,且 x1,x2,x3∈(0,π),比较直线 AB 的斜率与直线 BC 的斜率的大小,并证明.

?

?

?

?

_____________________________________________________________________________________ 命题、校对、制卷: 吴勇贫 审核:吴勇贫

江苏省南通第一中学 2015 届高三阶段考试 理科数学答案
1. 解析 由集合的运算,可得(?UA)∩B={6,8}∩{2,6,8}={6,8}. 答案 {6,8} 2.解析 由于“x,y 都是偶数”的否定表达是“x,y 不都是偶数”,“x+y 是偶数”的否定表达 是“x+y 不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若 x+y 不是偶数,则 x,y 不都是偶数”. 答案 若 x+y 不是偶数,则 x、y 不都是偶数 3. {0}∪[1,+∞); 4. 解析 30.6>1,log30.2<0,0<0.63<1,所以 a>c>b. 答案 a>c>b 5. 解析 y′=ex+xex=(1+x)ex,令 y′=0,则 x=-1,因为 x<-1 时,y′<0,x>-1 时, 1 1 y′>0,所以 x=-1 时,ymin=- .答案 - e e 1 6.答案 0,1,- ; 2 7. 解析 “?x∈R,x2+2ax+1<0”是真命题,即不等式 x2+2ax+1<0 有解, ∴Δ=(2a)2-4>0,得 a2>1,即 a>1 或 a<-1. 答案 (-∞,-1)∪(1,+∞) 8. ?0,1? ?9, ?? ? ,试题分析:由题意得:函数 y ? mx2 ? (m ? 3) x ? 1 的值域包含 ?0, ?? ? , 当 m=0 时, y ? ?3x ? 1? R ? [0, ??), 满足题意; 当 m ? 0 时,要满足值域包含 ?0, ?? ? ,需使得 m ? 0, ? ≥ 0. 即 m ≥ 9 或 0 ? m ≤ 1 , 综合得:实数 m 的取值范围是 ?0,1?
3

π ? 当 x∈? ?2,4?时,cos x<0,f(x)<0, 当 x∈(-1,0)时,cos x>0,f(x)>0; π ? 当 x∈? ?-2,-1?时,cos x>0,f(x)<0; π -4,- ?时,cos x<0,f(x)<0. 当 x∈? 2? ? ? π π ? f?x? - <x<-1,或1<x< ?. 故不等式 <0 的解集为?x? 2 2 ? cos x ? ? π π? ? 答案 ?x|-2<x<-1,或1<x<2? ? ? 12.解析 函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+1)=-f(x),故 f(x+2)=-f(x+1)=-[-f(x)]=f(x),即函数 f(x)的周期为 2,作出 x∈[-1,1]时,f(x)=|x|的图象,并利用周期性作出函数 f(x)在[-5,5]上的图 象,在同一坐标系内再作出 g(x)在[-5,5]上的图象,由图象可知,函数 f(x)与 g(x)的图象有 9 个 交点,所以函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]上的零点的个数为 9.

答案 9 b? 1 2 2 13.解析 设切去正方形的边长为 x,x∈? ?0,2?,则该长方体外接球的半径为 r =4[(a-2x) +(b- b? 2?a+b? b 1 a 2x)2+x2]= [9x2-4(a+b)x+a2+b2],在 x∈? ?0,2?存在最小值时,必有 0< 9 <2 ,解得b 4 5? 5 a a < ,又 0<b<a? >1,故 的取值范围是? ?1,4?. 4 b b
? e ? 2, ?? . ? 15.解 因为集合 A 是函数 y=2x-1(0<x≤1)的值域, 所以 A=(-1,1],B=(a,a+3).??????????4 分 ? ?a≤-1, (1)A∩B=A?A?B?? ?a+3>1, ? 即-2<a≤-1,故当 A∩B=A 时,a 的取值范围是(-2,-1].????????7 分 (2)当 A∩B=?时,结合数轴知,a≥1 或 a+3≤-1,即 a≥1 或 a≤-4. ????12 分 故当 A∩B≠?时,a 的取值范围是(-4,1). ???????14 分 16.解 (1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,∴b=a+1,????????2 分 ∴f(x)=ax2+(a+1)x+1. ∵对任意实数 x 均有 f(x)≥0 恒成立, ? ? ?a>0, ?a>0, ? ∴? ∴ ??????4 分 2 2 ?Δ=?a+1? -4a≤0, ??a-1? ≤0. ? ? ∴a=1,从而 b=2,∴f(x)=x2+2x+1, ??????6 分 2 ? ?x +2x+1,x>0, ∴F(x)=? 2 ??????8 分 ?-x -2x-1,x<0. ?

?9, ?? ? .

9.解析 ∵f(x)=ax +bsin x+4,① ∴f(-x)=a(-x)3+bsin(-x)+4, 即 f(-x)=-ax3-bsin x+4,② ①+②得 f(x)+f(-x)=8,③ 1 ? -1 又∵lg(log210)=lg? ?lg 2?=lg(lg 2) =-lg(lg 2), ∴f(lg(log210))=f(-lg(lg 2))=5, 又由③式知 f(-lg(lg 2))+f(lg(lg 2))=8, ∴5+f(lg(lg 2))=8,∴f(lg(lg 2))=3. 答案 3 ? ??1-3a?x+10a,x≤7, 10.解析 ∵函数 f(x)=? x-7 是定义域上的递减函数, ?a ,x>7 ? 1-3a<0, ? ? ∴?0<a<1, ? ??1-3a?×7+10a≥a0, 1 6? 答案 ? ?3,11? 1-3a<0, ? ? 即?0<a<1, ? ?7-11a≥1, 1 6 解得 <a≤ . 3 11

14.答案

?

11.解析 当 x∈(0,1)时,cos x>0,f(x)>0; π? 当 x∈? ?1,2?时,cos x>0,f(x)<0;

(2)g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1. ∵g(x)在[-2,2]上是单调函数, k-2 k-2 ∴ ≤-2 或 ≥2,??????12 分 2 2 解得 k≤-2 或 k≥6. ??????14 分 故 k 的取值范围是(-∞,-2]∪[6,+∞). 17.解:设 AC=l(千米) ,0<l<S,则 CB=S-l(千米) , 6 设甲型车满车载油量为 a 吨,则乙型车满车载油量为 a 吨.????2 分 5 1 2l 一辆甲型车往返一次,C 地收到的汽油为 (1 ? ? )a 吨, 15 S 1 2l 1 2(S ? l ) 一辆乙型车往返一次,B 地收到的汽油为 (1 ? ? )a ? [1 ? ? ] 吨.???6 分 15 S 14 S 2 l 1 S ?l (1 ? ? )a ? (1 ? ? ) 15 S 7 S ? (1 ? 2 ? l )( 6 ? 1 ? l ) 故运油率 y ? a 15 S 7 7 S 2 l 2 1 l 6 ????8 分 ?? ( ) ? ? ? . 105 S 35 S 7 1 l 35 ? 3 时,y 有最大值, y ? 243 ? 87% . 当 ?? ????10 分 max 2 S 280 2(? ) 4 105 9 此时一辆甲型车运到 C 处的汽油量为 a 吨,设甲、乙二型车各 x、y 辆, 10 x 4 9 6 则有 a ? x ? a ? y ,所以 ? . ????12 分 y 3 10 5 答:C 地设在靠近 B 地的四分之一处,可使运油率最大,此时甲、乙二型车数量之比为 4:3. ??????????????????14 分

19.解: (1) f ( x) ? x x ? a ? 2 x ? ?

2 ? ? x ? (2 ? a) x, x ≥ a, 2 ? ?? x ? (2 ? a) x, x ? a,

2?a ? a≥? , ? ? 2 由 f ( x) 在 R 上是增函数,则 ? 即 ?2 ≤ a ≤ 2 ,则 a 范围为 ?2 ≤ a ≤ 2 ;…4 分 ?a ≤ 2 ? a , ? 2 ? (2)由题意得对任意的实数 x ?[1, 2] , f ( x) ? g ( x) 恒成立, 1 1 1 即 x x ? a ? 1 ,当 x ?[1, 2] 恒成立,即 x ? a ? , ? ? x ? a ? , x x x 1 1 1 1 x ? ? a ? x ? ,故只要 x ? ? a 且 a ? x ? 在 x ?[1, 2] 上恒成立即可, x x x x 1 1 在 x ?[1, 2] 时,只要 x ? 的最大值小于 a 且 x ? 的最小值大于 a 即可, x x ? 1? 3 1? 1 1 ? ? 而当 x ?[1, 2] 时, ? x ? ? ? 1 ? 2 ? 0 , x ? 为增函数, ? x ? ? ? ; x ? max 2 x? x x ? ?
1? 1 ?? 1 3 1 ? ? 当 x ?[1, 2] 时, ? x ? ? ? 1 ? 2 ? 0 , x ? 为增函数, ? x ? ? ? 2 ,所以 ? a ? 2 ; x ?min x? x 2 x ? ? (3)当 ?2 ≤ a ≤ 2 时, f ( x) 在 R 上是增函数,则关于 x 的方程 f ( x) ? t f (a) 不可能有三个不等的实
数根; 则当 a ? (2 , 4] 时,由 f ( x) ? ?

? x2 ? (2 ? a) x, x ≥ a, ? 得 2 ? ?? x ? (2 ? a) x, x ? a

?2? x ? a 2 x ? a ? 18.解: (1) f ? ? x ? ? ? f ? x ? , ? ? x ?1 , 2 ? b 2 x ?1 ? b ? ? 21? x ? b ?? 2 x ? a ? ? ? 2 x ?1 ? b ?? a ? 2? x ? ,? 4 ? 2ab ? b ? 2x ? 2a ? 2? x ? 2a ? 2x ? b ? 2? x

?4 ? 2ab ? 0 ?a ? 1 ? . 4分 ?? ?b ? 2a ?b ? 2 ?2a ? b ? 1 1 (2)因为 f ? x ? ? ? ? ,所以 y ? f ? x ? 是单调递减的. 2 1 ? 2x 2 x2 ? 2 x1 x x 证 明 : 设 x1 ? x2 , f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? , 因 为 x1 ? x2 , 所 以 2 2 ? 2 1 ? 0, 从 而 x1 x2 1 ? 2 1 ? 2 ? ?? ?

a?2 ?a, 2 则 f ( x) 在 x ? [a, ? ?) 为增函数,此时 f ( x) 的值域为 [ f (a), ? ?) ? [2a, ? ?) , a?2 x ? a 时, f ( x) ? ? x2 ? (2 ? a) x 对称轴 x ? ?a, 2 ? a ? 2? (a ? 2)2 ? ? f ( x ) 则 f ( x) 在 x ? ? ??, 为增函数,此时 的值域为 ?? , ? ?, 2 ? 4 ? ? ? ?
x ≥ a 时, f ( x) ? x2 ? (2 ? a) x 对称轴 x ?

?a ? 2 , f ( x) 在 x ? ? ? 2

? (a ? 2)2 ? ? a ? 为减函数,此时 f ( x) 的值域为 ? 2a, ?; 4 ? ? ?

? (a ? 2)2 ? 由存在 a ? (2 , 4] ,方程 f ( x) ? t f (a) ? 2ta 有三个不相等的实根,则 2ta ? ? 2a, ?, 4 ? ? ? (a ? 2)2 ? (a ? 2)2 1 ? 4 ? g ( a ) ? ? ? a ? ? 4? , 即存在 a ? (2 , 4] ,使得 t ? ?1, 即可,令 ? 8a 8? a 8a ? ? ?

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,所以 y ? f ? x ? 在 R 上是单调递减的.
( 3)

10 分

f ? t 2 ? 2 ? ? ? f ? 2t 2 ? k ? , 又

f ? x ? 是奇函数,? f ? t 2 ? 2 ? ? f ? k ? 2t 2 ? , 又
16 分

f ? x? 是

9 , 8 ? 9? ? 9? 故实数 t 的取值范围为 ?1, ? ; 同理可求当 a ?[?4, ? 2) 时, t 的取值范围为 ?1, ? ; ? 8? ? 8?
只要使 t ? ? g (a) ?max 即可,而 g (a) 在 a ? (2 , 4] 上是增函数, ? g (a) ?max ? g (4) ?

2 2 2 减函数,? t ? 2 ? k ? 2t ,即 k ? 3t ? 2, ? k ? ?2.

? 9? 综上所述,实数 t 的取值范围为 ?1, ? . ? 8? 20.解 (1)证明:f′(x)=xsinx, 当 x∈(0,π)时,sinx>0,所以 f′(x)>0 恒成立, 所以 f (x) 在(0,π)上单调递增.????????????4 分 1 1 (2)因为 f′(x)> x2+λx,所以 xsinx> x2+λx. 2 2 1 当 0<x<π 时,λ<sinx- x. ????????????6 分 2 1 1 设 φ(x)=sinx- x,x∈(0,π),则 φ′(x)=cosx- . 2 2 π π 当 0<x< 时,φ′(x)>0;当 <x<π 时,φ′(x)<0. 3 3 π π 于是 φ (x)在(0, )上单调递增,在 ( ,π)上单调递减,??????????8 分 3 3 π 3 π 所以当 0<x<π 时,φ(x)max=g ( )= - 3 2 6 3 π 因此 λ< - . ????????????10 分 2 6 F(x3)-F(x2) F(x2)-F(x1) (3)由题意知只要判断 < 的大小. x3-x2 x2-x1 F(x3)-F(x2) 首先证明: <F′(x2). x3-x2 由于 x2<x3,因此只要证:F(x3)-F(x2)<(x3-x2) F′(x2).????????????12 分 设函数 G(x)=F(x)-F(x2)-(x-x2) F′(x2)( x2<x<π), 因为 F′(x)=xcosx-sinx=-f(x),所以 G′(x)=F′(x)-F′(x2)=f (x2)-f (x), 由(1)知 f(x)在(0,π)上为增函数,所以 G′(x)<0. 则 G(x)在(x2,π)上单调递减,又 x>x2,故 G(x)<G(x2)=0. 而 x2<x3<π,则 G(x3)<0,即 F(x3)-F(x2)-(x3-x2) F′(x2)<0,即 F(x3)-F(x2)<(x3-x2) F′(x2). F(x3)-F(x2) 从而 <F′(x2)得证. ????????????14 分 x3-x2 F(x2)-F(x1) 同理可以证明:F′(x2)< . x2-x1 F(x3)-F(x2) F(x2)-F(x1) 因此有 < ,即直线 AB 的斜率大于直线 BC 的斜率.?????16 分 x3-x2 x2-x1

考后反思表
失分原因 题号 失分 解决措施 努力方向

审题不清

概念不清

思考不周

计算错误

逻辑混乱

不规范不严谨

意志不坚

时间搭配不当


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