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东南大学电子信息工程之数学物理学基础ch2


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P. H. SHI

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09-10-3

P. H. SHI

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? ?? 1. Fourier ?ê
f (x)?±2l?±? ?ê§3[?l, l]?÷vDirichlet ^ ?§K3[?l, l] ?f ?±?¤Fourier?ê a0 nπx nπx f ( x) ? + an cos + bn sin , 2 l l n=1 ?? an = bn = ???êf 1 l 1 l
l ∞

(1)

f (ξ ) cos
?l l

nπξ dξ, l nπξ dξ, l

n = 0, 1, 2, · · · , n = 1, 2, · · · .

f (ξ ) sin
?l

FourierXê.
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?…T?ê3?Y:x???uf (x), 3m?:x??? f (x ? 0) + f (x + 0) u . 2 f ?ó?ê?§ f ( x) ? 2 an = l
l

a0 nπx an cos + , 2 l n=1 nπξ dξ, n = 0, 1, 2, · · · ; l



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P. H. SHI

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?…T?ê3?Y:x???uf (x), 3m?:x??? f (x ? 0) + f (x + 0) u . 2 f ?ó?ê?§ f ( x) ? 2 an = l
l

a0 nπx an cos + , 2 l n=1 nπξ dξ, n = 0, 1, 2, · · · ; l



f (ξ ) cos
0

f ???ê?§ nπx f ( x) ? bn sin , l n=1


2 bn = l

l

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0

nπξ dξ, n = 1, 2, · · · . l

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2.

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?êX??3[a, b] ? ? ? = 0, n = m, b ?n (x)?m (x)dx ? a = 0, n = m.

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§XJ

P. H. SHI

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2.

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?? (1) ? ?ê?n (x)

?êX??3[a, b] ? ? ? = 0, n = m, b ?n (x)?m (x)dx ? a = 0, n = m. ?êX{?n }, e÷

¤

§XJ

(2) ??
b

v
a

?2 n (x)dx = 1, n = 1, 2, · · · , K?{?n } ?IO

X.

P. H. SHI

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f (x)?n (x)dx = 0, n = 1, 2, · · ·
a

?í?f = 0 ( f (x) ≡ 0 ).

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?? (3)

X{?n } ??
b

§XJéz??f ∈ L2 [a, b], d

f (x)?n (x)dx = 0, n = 1, 2, · · ·
a

?í?f = 0 ( f (x) ≡ 0 ). (4) ?êX{?n } 3(a, b) ???‘ ?êr(x) ? ? = 0, n = m, b r(x)?n (x)?m (x)dx ? a = 0, n = m. §XJ

P. H. SHI

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n ?êX
1, sin nπx nπx , cos , n = 1, 2, · · · l l (2)

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?êX§

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n ?êX
1, sin nπx nπx , cos , n = 1, 2, · · · l l (2)

??m[0, 2l] ?[?l, l] ?
1, cos

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nπx , n = 1, 2, · · · l

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?êX.

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n ?êX
1, sin nπx nπx , cos , n = 1, 2, · · · l l (2)

??m[0, 2l] ?[?l, l] ?
1, cos

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nπx , n = 1, 2, · · · l

??m[0, l] ?

?êX.

1 1 nπx 1 nπx √ , √ sin , √ cos , n = 1, 2, · · · l l 2l l l

??m[0, 2l] ? IO

?êX.

P. H. SHI

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??K A

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n ?êX
1, sin nπx nπx , cos , n = 1, 2, · · · l l (2)

??m[0, 2l] ?[?l, l] ?
1, cos

?êX§

nπx , n = 1, 2, · · · l

??m[0, l] ?

?êX.

1 1 nπx 1 nπx √ , √ sin , √ cos , n = 1, 2, · · · l l 2l l l

??m[0, 2l] ? IO ?êX. ?êf (x) Fourier ?ê(1)??f (x) U ?m?.
P. H. SHI ê ? ? n ? {

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X{?n } ? f (x) ?

§@oé? f ∈ L2 [a, b], k?m?


Cn ?n (x),
n=1

?? Cn =
a

b

f (x)?n (x)dx
b

, n = 1, 2, · · · ?2 n (x)dx

a

??f

FourierXê.???¤á
b m→∞ m

lim

f (x) ?
a n=1

Cn ?n (x) dx = 0.

2

P. H. SHI

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Thm(U\ n)

n

ui ÷v?5?K Lui = fi , ??L, B ?O??5 e
∞ i=1 ∞ i=1 ∞ ∞

Bui = gi ,

i = 1, 2, · · · ,

???f??5?)^??f?
∞ i=1

Ci ui ??…?±?‘??§… Ci ui ??)?K )

Ci fi ?

∞ i=1

Ci gi ??

?§Ku =

Lu =
i=1

Ci fi , Bu =
i=1
P. H. SHI

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A ?§ak 2 + bk + c = 0kü??k1 , k2 .

P. H. SHI

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?éA
1 2 3

A ?§ak 2 + bk + c = 0kü??k1 , k2 .

k1 , k2 ??ê…k1 = k2 ?§y (x) = C1 ek1 x + C2 ek2 x ; k1 = k2 = k ??ê?§y (x) = (C1 + C2 x)ekx ; k1 = ? + iν, k2 = ? ? iν ?§ y (x) = e?x (C1 cos νx + C2 sin νx).
P. H. SHI ê ? ? n ? {

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Euler?§ ax2 y + bxy + cy = 0,

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éu

Euler?§ ax2 y + bxy + cy = 0,

e-x = et , ?ò?z{¤~Xê???§ ay ¨ + (b ? a)y ˙ + cy = 0, ??y ˙=
dy ,y ¨ dt

=

d2 y . dt2

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A ) ??~Xê

?5?àgODE ???K (4)

y + by + cy = f (t), t > 0, y (0) = 0, y (0) = 0.

P. H. SHI

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??K A

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A ) ??~Xê

?5?àgODE ???K (4)

y + by + cy = f (t), t > 0, y (0) = 0, y (0) = 0. Thm(àgz n)

XJw(t; τ )?àg?§ ???K ? ? w + bw + cw = 0, t > 0, ? w(0; τ ) = 0, w (0; τ ) = f (τ )

(5)

)?Ke ?ê??K(4) )
t

z (t) =
0
P. H. SHI

w(t ? τ ; τ )dτ
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???K y + by + cy = f (t), t > 0, (6) y (0) = y0 , y (0) = y1 .

P. H. SHI

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???K y + by + cy = f (t), t > 0, (6) y (0) = y0 , y (0) = y1 .

x(t)?z (t)?O÷v?)?K x + bx + cx = 0, t > 0, x(0) = y0 , x (0) = y ? ? z + bz + cz = f (t), t > 0, (8) z (0) = z (0) = 0, (7)

P. H. SHI

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??K A

??K A

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éu??

???K y + by + cy = f (t), t > 0, (6) y (0) = y0 , y (0) = y1 .

x(t)?z (t)?O÷v?)?K x + bx + cx = 0, t > 0, x(0) = y0 , x (0) = y ? ? z + bz + cz = f (t), t > 0, (8) z (0) = z (0) = 0, @oy (t) = x(t) + z (t)???K(6) )?
P. H. SHI ê ? ? n ? {

(7)

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éuu ??§ ?>??K ? 2 0 < x < l, t > 0, ? ? vtt ? a vxx = f (x, t), v (0, t) = v (l, t) = 0, t ≥ 0, ? ? v (x, 0) = vt (x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ l.

(9)

P. H. SHI

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éuu ??§ ?>??K ? 2 0 < x < l, t > 0, ? ? vtt ? a vxx = f (x, t), v (0, t) = v (l, t) = 0, t ≥ 0, ? ? v (x, 0) = vt (x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ l. ke? àgz n?

(9)

Thm(àgz n) XJw(x, t; τ )?àg?§?)?K ? 2 ? 0 < x < l, t > 0, ? ? wtt ? a wxx = 0, w(0, t; τ ) = w(l, t; τ ) = 0, t ≥ 0, ? ? ? w(x, 0; τ ) = 0, wt (x, 0; τ ) = f (x, τ ),
t

0≤x≤l

)§??τ ≥ 0??ê§Ke??êv (x, t)??K(9) ) v (x, t) =
0
P. H. SHI ê ? ? n ? {

w(x, t ? τ ; τ )dτ.

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(10)

P. H. SHI

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(10)

Thm(àgz n) w(x, t; τ )?àg?§ ?>??K ? ? 0 < x < l, t > 0, ? wt ? a2 wxx = 0, ? ? w(0, t; τ ) = w(l, t; τ ) = 0, t ≥ 0, ? ? ? ? w(x, 0; τ ) = f (x, τ ), 0≤x≤l ), ??τ ≥ 0??ê, Ke??êu(x, t)??K(10) )
t

u(x, t) =
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P. H. SHI

w(x, t ? τ ; τ )dτ.
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éu~???§???K y + by + cy = f (t), t > 0, y (0) = y0 , y (0) = y1 . |^U\ n§z? x + bx + cx = 0, t > 0, x(0) = y0 , x (0) = y ? ,

é?

z + bz + cz = f (t), t > 0, z (0) = z (0) = 0.

P. H. SHI

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éu~???§???K y + by + cy = f (t), t > 0, y (0) = y0 , y (0) = y1 . |^U\ n§z? x + bx + cx = 0, t > 0, x(0) = y0 , x (0) = y ? ,

é?

z + bz + cz = f (t), t > 0, z (0) = z (0) = 0.

?x(t)?kdA ?§r2 + br + c = 0§ ?)§2 |^??^?(???~ê??z (t)?K|^~???§ àgz n.
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0 < x < l, t > 0, t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l.

P. H. SHI

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0 < x < l, t > 0, t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l.

| ?^U\ 2 n§z? 0 < x < l, t > 0, ? ? vtt ? a vxx = f (x, t), v (0, t) = v (l, t) = 0, t ≥ 0, ? ? v (x, 0) = 0, vt (x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ l. ? 2 0 < x < l, t > 0, ? ? wtt ? a wxx = 0, w(0, t) = w(l, t) = 0, t ≥ 0, ? ? w(x, 0) = ?(x), wt (x, 0) = ψ (x), 0 ≤ x ≤ l.

P. H. SHI

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0 < x < l, t > 0, t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l.

| ?^U\ 2 n§z? 0 < x < l, t > 0, ? ? vtt ? a vxx = f (x, t), v (0, t) = v (l, t) = 0, t ≥ 0, ? ? v (x, 0) = 0, vt (x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ l. ? 2 0 < x < l, t > 0, ? ? wtt ? a wxx = 0, w(0, t) = w(l, t) = 0, t ≥ 0, ? ? w(x, 0) = ?(x), wt (x, 0) = ψ (x), 0 ≤ x ≤ l. |^àgz n§??8(??)àg?§àg>. ^? ?>??K.
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0 < x < l, t > 0, t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l.

| ?^U\ 2 n§z? 0 < x < l, t > 0, ? ? vtt ? a vxx = f (x, t), v (0, t) = v (l, t) = 0, t ≥ 0, ? ? v (x, 0) = 0, vt (x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ l. ? 2 0 < x < l, t > 0, ? ? wtt ? a wxx = 0, w(0, t) = w(l, t) = 0, t ≥ 0, ? ? w(x, 0) = ?(x), wt (x, 0) = ψ (x), 0 ≤ x ≤ l. |^àgz n§??8(??)àg?§àg>. ^? ?>??K.@oN ?)ù ?>??K?
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(11) (12) (13)

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n=1 ∞ ∞

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n=1

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n=1 ∞ ∞

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n=1

Tn (t)Xn (0) = 0, u(l, t) =
n=1

Tn (t)Xn (l) = 0.

XJTn (t), Xn (x)÷v Tn (t)Xn (x) ? a2 Tn (t)Xn (x) = 0, Xn (0) = Xn (l) = 0, @od(14)?‰? ?êu(x, t)÷v(11)?(12)? (15) (16)

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(p(x)u ) ? q (x)u + λr(x)u = 0, a < x < b,

??λ????ê§p(x) ∈ C 1 [a, b], 3(a, b)Sp(x) > 0; q (x) ∈ C [a, b], q (x) ≥ 0; r(x) ∈ C [a, b],… 3(a, b)Sr(x) > 0.?§(18)??Sturm-Liouville ?§? a, b?k?ê…3[a, b]?p(x), r(x) > 0?,?? §(18)? K ,?K??(18)??? .

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(22)

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nπ . u? l

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λ = β 2 , β > 0, § ?)? u(x) = C1 cos βx + C2 sin βx. du(0) = 0í?C1 = 0, du (l) = 0í?cos βl = 0. ) (2n ? 1)π ?β = . 2l

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2

, n = 1, 2, · · ·

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0 < x < l, (24)

u(0) = 0, u (l) + σu(l) = 0.

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0 < x < l, (24)

u(0) = 0, u (l) + σu(l) = 0.

A ?λ > 0? Pλ = β 2 , β = 0. ) ?) u(x) = A cos βx + B sin βx.

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X (x) + λX = 0, 0 < x < π, X (0) = X (π ) = 0, éA A ?êX?{cos nx}∞ n=0 .
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A ??K? 0 < x < π,

X (0) = X (π ) = 0, ?d§éA A ?êX?{sin nx}∞ n=1 . 1 ?§r–??êu(x, t)????êt sin x, x(π ? x)' ux UdA ?êX{sin nx}∞ n=1 ?m:


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u1 (t) + u1 (t) = t, un (t) + n2 un (t) = 0, n = 2, 3, · · · . ????^?u(x, 0) = x(π ? x), ut (x, 0) = 0?' sin nx Xê§ un (0) = 4 [1 ? (?1)n ], 3 nπ un (0) = 0, n = 1, 2, · · · .

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0 < x < l, t > 0, t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l.

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0 < x < l, t > 0, t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l.

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0 < x < l, t > 0, t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l.

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t > 0,

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t > 0,

1n?§)??un (t) u1 (t) = cos

2l 3πat πat , u2 (t) = sin , un (t) = 0, n ≥ 3. 2l 3πa 2l

u(x, t) = cos

πat πx 2l 3πat 3πx cos + sin cos . 2l 2l 3πa 2l 2l
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P. H. SHI

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u(x, t)=
n=1

cos

(2n ? 1)πx (2n ? 1)πat (2n ? 1)πat Cn cos + Dn sin . 2l 2l 2l

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C1 = 1, Cn = 0, n = 2, 3, · · · , 2l 2l , D3 = , Dn = 0, n = 1, 4, 5 · · · . D2 = 3πa 5πa l u(x, t) = cos πat πx 2l 3πat 3πx cos + sin cos 2l 2l 3πa 2l 2l 2l 5πat 5πx + sin cos . 5πa 2l 2l

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0 < x < l, t > 0, t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l.

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0 < x < l, t ≥ 0,

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0 < x < l, t ≥ 0,

??A ??K ¤kA ??éA A ?ê? nπ 2 nπx λn = , Xn (x) = cos , n = 0, 1, · · · . l l rλ = λn “\T (t) ?§§? Tn (t) = Cn e?λn a t .
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n=0

C n e? (

naπ 2 ) t l

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P. H. SHI

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U\ ?)?K )?± ?


u(x, t) =
n=0

C n e? (

naπ 2 ) t l

cos

nπx . l

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C0 +
n=1

Cn cos

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P. H. SHI

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U\ ?)?K )?± ?


u(x, t) =
n=0

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naπ 2 ) t l

cos

nπx . l

|^??^?§


C0 +
n=1

Cn cos

nπx = x2 , l

¤± C0 = Cn ? 1 l 2 = l l2 , 3 0 l nπx (?1)n 4l2 x2 cos dx = , n = 1, 2, · · · . l (nπ )2 0 x2 dx =
∞ l

?ê) l2 4l2 u(x, t) = + 2 3 π (?1)n ?( naπ )2 t nπx e l cos . 2 n l
ê ? ? n ? {

n=1 P. H. SHI

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P. H. SHI

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~4 k??![\§??l, \ ???9?3à:x = 0?\ §??"§3x = l?\?±?0?k9 ?§9 ???. ): \? §???÷ve??)?K? ? ut ? a2 uxx = 0, 0 < x < l, t > 0, ? ? ? u|x=0 = 0, (ux + σu)|x=l = 0, t ≥ 0, ? ? ? u(x, 0) = ?(x), 0 ≤ x ≤ l. ?Xê § ?σ > 0. ±?0?§??"§??§???(x). ?\?

(28)

P. H. SHI

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u(x, t) = X (x)T (t), “\?§ T (t) X ( x) = = ?λ. 2 a T (t) X ( x) 2|^>.^?, X (0) = 0, X (l) + σX (l) = 0.

P. H. SHI

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u(x, t) = X (x)T (t), “\?§ T (t) X ( x) = = ?λ. 2 a T (t) X ( x) 2|^>.^?, X (0) = 0, X (l) + σX (l) = 0.? 8( ??)e ?K T (t) + λa2 T (t) = 0, X (x) + λX (x) = 0, t ≥ 0, 0 < x < l, (29) X (0) = 0, X (l) + σX (l) = 0.

P. H. SHI

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γn 2 γn x ,A ?êXn (x) = sin § l l γ ??γn ??§tan γ = ? 1n? ??òλ = λn “\T σl ?§?Tn ÷v Tn (t) + a2 λn Tn (t) = 0. ?K(29) A ?λn = dd)? Tn (t) = An e?a
2λ nt

.

P. H. SHI

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γn 2 γn x ,A ?êXn (x) = sin § l l γ ??γn ??§tan γ = ? 1n? ??òλ = λn “\T σl ?§?Tn ÷v Tn (t) + a2 λn Tn (t) = 0. ?K(29) A ?λn = dd)? Tn (t) = An e?a ù ? C??l/? A)
2λ nt 2λ nt

.

un (x, t) = Xn (x)Tn (t) = An e?a

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P. H. SHI

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∞ ∞

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∞ ∞

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n=1

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?(x) =
n=1

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γn x . l

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∞ ∞

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n=1

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?(x) =
n=1

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l

An =

0

γn x dx l , n = 1, 2, · · · . l 2 γn x dx sin l 0 ?(x) sin (28) /?)?
ê ? ? n ? { P. H. SHI

rAn “\u(x, t)

L??=

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k??? ?§?S??9 §?!eü??9§Kd ? -?§?|÷vLaplace?§ ?u = uxx + uyy = 0, (x, y ) ∈ ?. e??Oé??? -?§?. ???/?§3‰?>.^???d

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?/?

Laplace? §

?)?K

b ???/??{(x, y ) : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b}§ 3y = 0?y = bü>?9§3>x = 0?§??"§3 >x = a?§??Ay , K-?§?÷v?)?K ? uxx + uyy = 0, 0 < x < a, 0 < y < b, ? ? ? u(0, y ) = 0, u(a, y ) = Ay, 0 ≤ y ≤ b, ? ? ? uy (x, 0) = uy (x, b) = 0, 0 ≤ x ≤ a.

P. H. SHI

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?lC?§-u(x, y ) = X (x)Y (y )§“\?§ X Y =? = λ, X Y = X ? λX = 0, Y + λY = 0. |^>.^??,Y (0) = Y (b) = 0.)A ??K Y + λY = 0, 0 < y < b, Y (0) = Y (b) = 0, A ??A ?ê? λn = nπ b
2 def 2 = βn , Yn (y ) = cos βn y, n = 0, 1, · · · .

P. H. SHI

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Xn (x) = Cn eβn x + Dn e?βn x , n = 1, 2, · · · .

P. H. SHI

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?§X ? λn X = 0 ?)? X0 (x) = C0 x + D0 , n = 0,

Xn (x) = Cn eβn x + Dn e?βn x , n = 1, 2, · · · . U\,


u(x, y ) = C0 x + D0 +
n=1

Cn eβn x + Dn e?βn x cos βn y.

P. H. SHI

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d>.^?? ? ? ? ? u(0, y ) = 0 = D0 + ? ?



(Cn + Dn ) cos βn y,
n=1 ∞

? ? ? ? ? u(a, y ) = Ay = C0 a + D0 + dd)?,D0 = 0, C0 = ? ? ? Cn + Dn = 0, 1 ab
b

Cn eβn a + Dn e?βn a cos βn y.
n=1

Ay dy =
0

Ab ,±9 2a

2Ab ? [(?1)n ? 1]. ? Cn eβn a + Dn e?βn a = 2 (nπ )

P. H. SHI

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??K A

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Ab[(?1)n ? 1] , (nπ )2 sinh βn a

Dn =

Ab[1 ? (?1)n ] . (nπ )2 sinh βn a

n=1

[(?1)n ? 1] sinh βn x × cos βn y. n2 sinh βn a

P. H. SHI

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?)?K

b ??????ρ0 § > §?? ?u|ρ=ρ0 = f (θ)???K-?§???÷vLaplace?§ ?)?K???^4?I/?¤ ?u = 0, ρ < ρ0 , (30)

u|ρ=ρ0 = f (θ).

P. H. SHI

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òLaplace?§^4?I/?L?§??? ?% § ??k?§±9(ρ, θ)?(ρ, 2π + θ)L???:§¤±k ? 1 ? ?u 1 ? 2u ? ? ? u = = 0, ρ < ρ0 , ρ + ? ? ? ρ ?ρ ?ρ ρ2 ?θ2 ? ? ? u(ρ0 , θ) = f (θ), ? ? ? |u(0, θ)| < ∞, ? ? ? ? ? u(ρ, θ) = u(ρ, 2π + θ).

P. H. SHI

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-u(ρ, θ) = R(ρ)Φ(θ), “\?§ 1 1 R Φ + R Φ + 2 RΦ = 0, ρ ρ ?= ρ2 R + ρR Φ =? R Φ

P. H. SHI

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-u(ρ, θ) = R(ρ)Φ(θ), “\?§ 1 1 R Φ + R Φ + 2 RΦ = 0, ρ ρ ?= ρ2 R + ρR Φ =? = λ. R Φ

P. H. SHI

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ü?~???§ ?)?K Φ + λΦ = 0 , Φ(θ) = Φ(2π + θ) ? ρ2 R + ρR ? λR = 0, 0 < ρ < ρ0 , |R(0)| < ∞ . ??1??K?A ??K§ 1 ?)A ??K. ?K??A ??,k

P. H. SHI

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λ = 0?§k~ê

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d§3.2 (??A ?λ ≥ 0. λ = 0?§k~ê )Φ0 (θ) = a0 . λ > 0?§ λ = β 2 ,) ?) Φβ (θ) = aβ cos βθ + bβ sin βθ.

P. H. SHI

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d§3.2 (??A ?λ ≥ 0. λ = 0?§k~ê )Φ0 (θ) = a0 . λ > 0?§ λ = β 2 ,) ?) Φβ (θ) = aβ cos βθ + bβ sin βθ. ??Φβ (θ)±2π ?±?§β 7L? ên? n = 1, 2, · · · § 2 K A ?λn = βn = n2 ?A ?ê Φn (θ) = an cos nθ + bn sin nθ, n = 1, 2, · · · .

P. H. SHI

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?§ ? |R(0)| < ∞.

ρ2 R + ρR ? n2 R = 0, 0 < ρ < ρ0 ;

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òλ = λn “\R

?§ ? |R(0)| < ∞.

ρ2 R + ρR ? n2 R = 0, 0 < ρ < ρ0 ;

¨ ? n2 R = 0§§ ù???Euler?§§-ρ = es ?z{¤R ?)? R0 (ρ) = C0 + D0 ln ρ , Rn (ρ) = Cn ρn + Dn ρ?n , n = 0, n = 1, 2, · · · .

P. H. SHI

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òλ = λn “\R

?§ ? |R(0)| < ∞.

ρ2 R + ρR ? n2 R = 0, 0 < ρ < ρ0 ;

¨ ? n2 R = 0§§ ù???Euler?§§-ρ = es ?z{¤R ?)? R0 (ρ) = C0 + D0 ln ρ , Rn (ρ) = Cn ρn + Dn ρ?n , n = 0, n = 1, 2, · · · .

??|Rn (0)| < ∞, 7L??Dn = 0, n = 0, 1, 2, · · · . u? Rn (ρ) = Cn ρn , n = 0, 1, 2, · · · .

P. H. SHI

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u(ρ, θ) =
n=0

Rn (ρ)Φn (θ) =

A0 + ρn (An cos nθ + Bn sin nθ). (31) 2 n=1



P. H. SHI

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U\?


u(ρ, θ) =
n=0

Rn (ρ)Φn (θ) =

A0 + ρn (An cos nθ + Bn sin nθ). (31) 2 n=1



|^>.^?? f (θ ) = A0 + ρn 0 (An cos nθ + Bn sin nθ ), 2 n=1 Fourier?mXê??d An = 1 πρn 0
2π ∞

n =A0 , ρn 0 An , ρ0 Bn ?f (θ )

A0 = Bn =

1 π



f (θ)dθ,
0 2π

f (θ) cos nθdθ,
0

1 πρn 0

f (θ) sin nθdθ,
0

n = 1, 2, · · · .

ò?“\u(ρ, θ)

L??(31)= ?K(30) /?)?
P. H. SHI ê ? ? n ? {

?

?? A

??K A

??K A

??K A

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|^A0 , An ?Bn u(ρ, θ) = 1 2π 1 + π 1 = 2π = 1 2π

L???ò/?){z?


f (τ )dτ
0 ∞

n=1 2π

ρ ρ0

n 2π

f (τ )(cos nτ cos nθ + sin nτ sin nθ)dτ
0 ∞

1+2
0 2π 0 n=1 ρ2 0

ρ ρ0

n

cos n(θ ? τ ) f (τ )dτ (32)

? ρ2 f (τ )dτ . 2 ρ2 0 + ρ ? 2ρρ0 cos(θ ? τ )

P. H. SHI

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?

?? A

??K A

??K A

??K A

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(32)??? ?? Laplace?§ ρ = 0,?k u(0, θ) = T??? 1 2π

Poisson ú??AO/§


f (τ )dτ .
0

??Laplace?§ ? ? ? ú? ?

P. H. SHI

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??K A

??K A

??K A

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~2 ?)>??K ? ? uxx + uyy = 0, ?

x2 + y 2 < a2 ,

u|x2 +y2 =a2 = A sin2 θ + B cos2 θ.

P. H. SHI

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??K A

??K A

??K A

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~2 ?)>??K ? ? uxx + uyy = 0, ? ): U

x2 + y 2 < a2 ,

u|x2 +y2 =a2 = A sin2 θ + B cos2 θ.

A sin2 θ + B cos2 θ = A + (B ? A) cos2 θ A+B B?A = + cos 2θ, 2 2

P. H. SHI

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d ?Laplace?§Dirichlet>??K) L??

P. H. SHI

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A0 u(ρ, θ) = + ρn (An cos nθ + Bn sin nθ), 2 n=1 |^>.^?§ A0 A+B B?A + + cos 2θ. an (An cos nθ + Bn sin nθ) = 2 2 2 n=1 ' Xê§ Bn = 0, n = 1, 2, · · · , ? n = 0, ? ? A + B, ? An = (B ? A)/2a2 , n = 2, ? ? ? 0, ?§. dd u(ρ, θ) = A+B B?A 2 + ρ cos 2θ. 2 2a2
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P. H. SHI

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P. H. SHI

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4. ?àg?§ ?)?K

~1 ???àgu ??§ ?)?K ? ? utt ? a2 uxx = f (x, t), ? ? ? ? u(0, t) = u(l, t) = 0, ? ? ? ? ? u(x, 0) = ?(x), u (x, 0) = ψ (x), t

0 < x < l, t > 0, t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l. (33)

P. H. SHI

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??K A

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4. ?àg?§ ?)?K

~1 ???àgu ??§ ?)?K ? ? utt ? a2 uxx = f (x, t), ? ? ? ? u(0, t) = u(l, t) = 0, ? ? ? ? ? u(x, 0) = ?(x), u (x, 0) = ψ (x), t |^U\ n§r§?)¤

0 < x < l, t > 0, t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l. (33)

P. H. SHI

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??K A

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? vtt ? a2 vxx = f (x, t), ? ? ? v (0, t) = v (l, t) = 0, ? ? ? v (x, 0) = vt (x, 0) = 0,

0 < x < l, t > 0, t ≥ 0, 0≤x≤l (34)

? ? wtt ? a2 wxx = 0, ? ? ? w(0, t) = w(l, t) = 0, ? ? ? w(x, 0) = ?(x), wt (x, 0) = ψ (x),

0 < x < l, t > 0, t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l. (35)

P. H. SHI

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?

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??K A

??K A

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?n ?n??§7?{

? vtt ? a2 vxx = f (x, t), ? ? ? v (0, t) = v (l, t) = 0, ? ? ? v (x, 0) = vt (x, 0) = 0,

0 < x < l, t > 0, t ≥ 0, 0≤x≤l (34)

? ? wtt ? a2 wxx = 0, ? ? ? w(0, t) = w(l, t) = 0, ? ? ? w(x, 0) = ?(x), wt (x, 0) = ψ (x),

0 < x < l, t > 0, t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l. (35)

?…u(x, t) = v (x, t) + w(x, t) ??)?K(33) )??) ?K(35) )w?±^?lC?{? §(34) )±^àg z n? .
P. H. SHI ê ? ? n ? {

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? /§ ?.?§?9D ?§¤ ?>??K ? ut = a2 uxx + f (x, t), 0 < x < l, t > 0, ? ? ? u(0, t) = u(l, t) = 0, t ≥ 0, ? ? ? u(x, 0) = ?(x), 0≤x≤l )§??^U\ n?àgz n? .

P. H. SHI

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0 < x < π, t > 0, t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ π. (36)

P. H. SHI

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0 < x < π, t > 0, t ≥ 0, 0≤x≤π (37)

0 < x < π, t > 0, t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ π. (38)

P. H. SHI

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(Cn cos nt + Dn sin nt) sin nx.

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v (x, t) =
n=1

(Cn cos nt + Dn sin nt) sin nx.

d??^?vt (x, 0) = 0?Dn = 0, n = 1, 2, · · · . 2d??^ ?v (x, 0) = sin xq


sin x =
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Cn sin nx =? C1 = 1; Cn = 0, n ≥ 2.

P. H. SHI

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v (x, t) =
n=1

(Cn cos nt + Dn sin nt) sin nx.

d??^?vt (x, 0) = 0?Dn = 0, n = 1, 2, · · · . 2d??^ ?v (x, 0) = sin xq


sin x =
n=1

Cn sin nx =? C1 = 1; Cn = 0, n ≥ 2.

u? v (x, t) = cos t sin x.

P. H. SHI

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éu(38)§???K ? w ?tt ? w ?xx = 0, ? ? ? ? w ? (0, t) = w ? (π, t) = 0, ? ? 1 ? ? w ? (x, 0) = 0, w ?t (x, 0) = τ, 2 |^?lC?{§§ )?


0 < x < π, t > 0, t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ π.

w ? (x, t; τ ) =
n=1

(An cos nt + Bn sin nt) sin nx,

??
∞ ∞

An sin nx = 0,
n=1 n=1 π 0

nBn sin nx =

τ . 2

2 An = 0, Bn = nπ

τ [(?1)n ? 1]τ sin nxdx = , n = 1, 2, · · · . 2 n2 π
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w(x, t) =
0 ∞

w ? (x, t ? τ ; τ )dτ sin nx 1 ? (?1)n 2 nπ sin nx 1 ? (?1)n n3 π
t

=
n=1 ∞

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0

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|^àgz n?(38) )?
t

w(x, t) =
0 ∞

w ? (x, t ? τ ; τ )dτ sin nx 1 ? (?1)n 2 nπ sin nx 1 ? (?1)n n3 π
t

=
n=1 ∞

τ sin n(t ? τ )dτ
0

=
n=1

t?

sin nt n

.

?

(36) ) u(x, t) = v (x, t) + w(x, t)


= cos t sin x +
n=1

sin nx 1 ? (?1)n n3 π
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sin nt n

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0 < x < π, t > 0, t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ π. (39)

P. H. SHI

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0 < x < π, t > 0, t ≥ 0, 0≤x≤π (40)

0 < x < π, t > 0, t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ π. (41)

P. H. SHI

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n=1

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2n ? 1 2

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(2n ? 1)x . 2

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v (x, t) =
n=1

Cn exp ?

2n ? 1 2

2

t sin

(2n ? 1)x . 2

3x d??^?v (x, 0) = sin C2 = 1, Cn = 0, n = 2. u 2 9 3x ?v (x, t) = exp ? t sin . 4 2

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w ? (x, t; τ ) =
n=1

Cn exp ?

2n ? 1 2

2

t sin

(2n ? 1)x . 2

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??K A

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|^àgz n, w ? (x, t; τ )??K ? w ?t ? w ?xx = 0, 0 < x < π, t > 0, ? ? ? w ? (0, t; τ ) = w ?x (π, t; τ ) = 0, t ≥ 0, ? ? ? w ? (x, 0; τ ) = τ sin x , 0 ≤ x ≤ π, 2 §k?ê)


w ? (x, t; τ ) =
n=1

Cn exp ?

2n ? 1 2

2

t sin

(2n ? 1)x . 2

|^??^?§ x τ sin = 2


Cn sin
n=1

(2n ? 1)x , 2

¤±C1 = τ, Cn = 0, n = 2, 3, · · · .
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??K A

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t sin x u?w ? (x, t; τ ) = τ exp ? 4 ,?K(41) ) 2 t

w(x, t) =
0

τ exp ?

t?τ 4

x x sin dτ = 4 t ? 4 + 4e?t/4 sin . 2 2

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t sin x u?w ? (x, t; τ ) = τ exp ? 4 ,?K(41) ) 2 t

w(x, t) =
0

τ exp ?

t?τ 4

x x sin dτ = 4 t ? 4 + 4e?t/4 sin . 2 2

? ??(39) )? u(x, t) = v (x, t) + w(x, t) 9 x 3x = exp ? t sin + 4 t ? 4 + 4e?t/4 sin . 4 2 2

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0 < x < l, t > 0, (42) t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l.

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? 2 ? utt ? a uxx = f (x, t), u(0, t) = u1 (t), u(l, t) = u2 (t), ? u(x, 0) = ?(x), ut (x, 0) = ψ (x),

0 < x < l, t > 0, (42) t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l.

'è?X?ò?=?àg>.^? ?)?K?

P. H. SHI

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? 2 ? utt ? a uxx = f (x, t), u(0, t) = u1 (t), u(l, t) = u2 (t), ? u(x, 0) = ?(x), ut (x, 0) = ψ (x),

0 < x < l, t > 0, (42) t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l.

'è?X?ò?=?àg>.^? ?)?K? ?C?u(x, t) = v (x, t) + w(x, t).

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? 2 ? utt ? a uxx = f (x, t), u(0, t) = u1 (t), u(l, t) = u2 (t), ? u(x, 0) = ?(x), ut (x, 0) = ψ (x),

0 < x < l, t > 0, (42) t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l.

'è?X?ò?=?àg>.^? ?)?K? ?C?u(x, t) = v (x, t) + w(x, t). ??w(x, t)÷v w(0, t) = u1 (t), w(l, t) = u2 (t).

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0 < x < l, t > 0, (42) t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l.

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? 2 ? utt ? a uxx = f (x, t), u(0, t) = u1 (t), u(l, t) = u2 (t), ? u(x, 0) = ?(x), ut (x, 0) = ψ (x),

0 < x < l, t > 0, (42) t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l.

'è?X?ò?=?àg>.^? ?)?K? ?C?u(x, t) = v (x, t) + w(x, t). 1 w(x, t) = [u2 (t) ? u1 (t)]x + u1 (t). l ru = v + w“\?)?K, v ¤÷v àg>.^? ?)?K?
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P. H. SHI

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1. >.^??u(0, t) = u1 (t), ux (l, t) = u2 (t)?,? w(x, t) = u2 (t)x + u1 (t); 2. >.^??ux (0, t) = u1 (t), u(l, t) = u2 (t)?,? w(x, t) = u1 (t)(x ? l) + u2 (t);

P. H. SHI

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1. >.^??u(0, t) = u1 (t), ux (l, t) = u2 (t)?,? w(x, t) = u2 (t)x + u1 (t); 2. >.^??ux (0, t) = u1 (t), u(l, t) = u2 (t)?,? w(x, t) = u1 (t)(x ? l) + u2 (t); 3. >.^??ux (0, t) = u1 (t), ux (l, t) = u2 (t)?,? w(x, t) = u2 (t) ? u1 (t) 2 x + u1 (t)x; 2l
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é, A??K?±??· ???àg ~1 re

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P. H. SHI ê ? ? n ? {

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é, A??K?±??· ???àg

Answer -u = v + w, …w(x)÷v>??K

? ? ?a2 w (x) = x, x3 l2 =? w(x) = ? 2 + (1 + 2 )x. ? w(0) = 0, w (l) = 1, 6a 2a ? 2 ? 0 < x < l, t > 0, ? ? vtt ? a vxx = 0, v (0, t) = 0, vx (l, t) = 0, t ≥ 0, ? ? ? v (x, 0) = 0, vt (x, 0) = ?w(x),
P. H. SHI

0 ≤ x ≤ l,

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é, A??K?±??· ???àg ~2 ?)?>??K ? ? utt ? a2 uxx = A, ? ? ? ? u(0, t) = 0, u(l, t) = B, ? ? ? ? ? u(x, 0) = u (x, 0) = 0, t ??A, B ??~ê?
P. H. SHI

0 < x < l, t > 0, t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l, (43)

ê ? ? n ? {

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0 < x < l, t > 0, t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l.

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n=1

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0 < x < l, t > 0, t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l.

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nπx l

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0 < x < l, t > 0, t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l.

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n=1

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0 < x < l, t > 0, t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l.

u(x, t) =
n=1 ∞

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t

sin ωτ sin
0

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=
n=1

Bn nπx (ω sin ωn t ? ωn sin ωt) sin , 2 2 ωn (ω ? ωn ) l
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3.
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n=k

0 < x < l, t > 0, t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l.

Bn nπx (ωk sin ωn t ? ωn sin ωk t) sin , 2 2 ωn (ωk ? ωn ) l Bk kπx Bk sin ωk t ? t cos ωk t sin . 2 2ωk 2ωk l

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3.
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n=k

0 < x < l, t > 0, t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l.

Bn nπx (ωk sin ωn t ? ωn sin ωk t) sin , 2 2 ωn (ωk ? ωn ) l Bk kπx Bk sin ωk t ? t cos ωk t sin . 2 2ωk 2ωk l ?

+

? ?u(x, t), ‘?mt ??O?§ù?y–??
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