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高一数学必修四期末测试题


高一数学必修 4 模块期末试题

时间:120 分钟

满分:150 分

第 I 卷(选择题, 共 50 分)
一 、选择题(本大题共 10 小题,每小题5分,共 50 分) 1. sin 390 ? (
0

)

A.

2.下列区间中

,使函数 y ? sin x 为增函数的是( A. [0, ? ] B. [

1 2

B. ? )

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

? 3?
2 , 2

]

C. [?

? ?
)

3.下列函数中,最小正周期为 A. y ? sin x

? 的是( 2

, ] 2 2

D. [? , 2? ]

B. y ? sin x cos x

C. y ? tan

? ? ? b ? (3,1) , 且 a ? b , 则 x 等于 ( ) A.-1 B.-9 C.9 D.1 1 1 1 8 8 5.已知 sin ? ? cos ? ? ,则 sin 2? ? ( ) A. B. ? C. D. ? 3 2 2 9 9 2? 6.要得到 y ? sin(2 x ? ) 的图像, 需要将函数 y ? sin 2 x 的图像( ) 3 2? 2? ? ? A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 3 3 3 ? ?3 ? ? ? ? ? ? 7.已知 a , b 满足: | a |? 3 , | b |? 2 , | a ? b |? 4 ,则 | a ? b |? ( ) A. 3 B. 5 C.3 D.10 ??? ? ???? 8.已知 P (2, ?1) , P2 (0,5) 且点 P 在 PP2 的延长线上, | P P |? 2 | PP2 | , 则点 P 的坐标为 ( ) 1 1 1 4 2 A. (2, ?7) B. ( ,3) C. ( ,3) D. (?2,11) 3 3 2 ? 1 ? 9.已知 tan(? ? ? ) ? , tan( ? ? ) ? , 则 tan(? ? ) 的值为 ( ) 5 4 4 4 1 22 3 13 A. B. C. D. 6 13 22 18
4.已知 a ? ( x,3) ,

?

x 2

D. y ? cos 4 x

10.函数 y ? sin(?x ? ? ) 的部分图象如右图,则 ? 、 ? 可以取的一组值是(

) y

A. ? ? C. ? ?

?
2

, ?? , ??

?
4

?
4

?
4

6 ? 5? D. ? ? , ? ? 4 4

B. ? ?

?
3

, ??

?

O

1

2

3

第 II 卷(非选择题, 共 60 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 11.已知扇形的圆心角为 120 ,半径为 3 ,则扇形的面积是 12.已知 ABCD 为平行四边形,A(-1,2),B (0,0),C(1,7),则D点坐标为 13.函数 y ?
0

x

sin x 的定义域是

.

14. 给出下列五个命题: ①函数 y ? 2sin(2 x ?

?
3

) 的一条对称轴是 x ?

5? ? ;②函数 y ? tan x 的图象关于点( ,0)对称; 12 2

1

③正弦函数在第一象限为增函数;④若 sin(2 x1 ?

?

) ? sin(2 x2 ? ) ,则 x1 ? x2 ? k? ,其中 k ? Z 4 4

?

以上四个命题中正确的有 (填写正确命题前面的序号) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15(本小题满分 12 分) (1)已知 cos a = -

4 ,且 a 为第三象限角,求 sin a 的值 5 4s i n ? 2c o ? ? s (2)已知 tan? ? 3 ,计算 的值 5 c o ? ? 3s i n s ?

? 3? sin(? ? ) cos( ? ? ) tan(? ? ? ) 2 2 16(本题满分 12 分)已知 ? 为第三象限角, f ?? ? ? . tan(?? ? ? )sin(?? ? ? )
(1)化简 f ?? ? 17(本小题满分 14 分) 已知向量 a , b 的夹角为 60 , 且 | a |? 2 , | b |? 1 ,
?

(2)若 cos(? ?

3? 1 ) ? ,求 f ?? ? 的值 2 5

?

?

?

?

(1) 求 a ?b ;

? ?

(2) 求 | a ? b | .

? ?

18(本小题满分 14 分) 已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时,

?

(1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直? (2) ka ? b 与 a ? 3b 平行?平行时它们是同向还是反向? 19(本小题满分 14 分) 某港口的水深 y (米)是时间 t ( 0 ? t ? 24 ,单位:小时)的函数,下面是每天时间与水深的关系表:

?

?

?

?

? ?

?

?

t y

0 10

3 13

6 9.9

9 7

12 10

15 13

18 10.1

21 7

24 10

经过长期观测, y ? f (t ) 可近似的看成是函数 y ? A sin ?t ? b (1)根据以上数据,求出 y ? f (t ) 的解析式 (2)若船舶航行时,水深至少要 11.5 米才是安全的,那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港? 20(本小题满分 14 分)

b 已知 a ? ( 3 sin x, m ? cos x) , b ? (cos x, ?m ? cos x) , 且 f ( x ) ? a ?
(1) 求函数 f ( x) 的解析式; (2) 当 x ? ? ?

?

?

? ?

? ? ?? , 时, f ( x) 的最小值是-4 , 求此时函数 f ( x) 的最大值, 并求出相应的 x 的值. ? 6 3? ?

2

参考答案:
一、ACDAD DDDCC 二、11. 3? 12. (0,9)
2 2

13. [2k? , 2k? ? ? ] k ? Z

14. ①④

三、15.解: (1)∵ cos ? ? sin ? ? 1 , ? 为第三象限角 ∴ sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? (? ) ? ?
2 2

4 5

3 5

(2)显然 cos ? ? 0 ∴

4sin ? ? 2cos ? 4sin ? ? 2cos ? 4 tan ? ? 2 4 ? 3 ? 2 5 cos ? ? ? ? ? 5cos ? ? 3sin ? 5cos ? ? 3sin ? 5 ? 3tan ? 5 ? 3 ? 3 7 cos ?

? 3? sin(? ? ) cos( ? ? ) tan(? ? ? ) 2 2 16.解: (1) f ?? ? ? tan(?? ? ? )sin(?? ? ? )
(? cos ? )(sin ? )( ? tan ? ) (? tan ? ) sin ? ? ? cos ? ?
(2)∵ cos(? ?

3? 1 )? 2 5 1 ∴ ? sin ? ? 5
又 ? 为第三象限角

从而 sin ? ? ?

1 5

∴ cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ?
2

2 6 5

即 f (? ) 的值为 ?

2 6 5

17.解: (1) a? ?| a || b |cos 60 ? 2 ?1? b
?

? ?

? ?
?

1 ?1 2

(2) | a ? b | ? (a ? b)
2

?

?

?

2

?2 ? ? ?2 ? a ? 2a ? ? b b ? 4 ? 2 ?1 ? 1 ?3 ? ? 所以 | a ? b |? 3

3

18.解: ka ? b ? k (1, 2) ? ( ?3, 2) ? ( k ? 3, 2 k ? 2)

?

?

? ? a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10, ?4)
(1) ( k a ? b ) ? ( a ? 3b ) , 得 (ka ? b )? (a ? 3b ) ? 10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 2k ? 38 ? 0, k ? 19 (2) (ka ? b ) // ( a ? 3b ) ,得 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2), k ? ? 此时 ka ? b ? (?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

1 3

10 4 1 , ) ? ? (10, ?4) ,所以方向相反。 3 3 3

19.解: (1)由表中数据可以看到:水深最大值为 13,最小值为 7, h ? 且相隔 9 小时达到一次最大值说明周期为 9,因此 T ? 故 f (t ) ? 3sin

2?

2? t ? 10 9

?

? 9 ,? ?

2? , 9

13 ? 7 13 ? 7 ? 10 , A ? ?3 2 2

( 0? t ? 2 4 )

(2)要想船舶安全,必须深度 f (t ) ? 11.5 ,即 3sin ∴ sin

2? 1 t? 9 2 又 0 ? t ? 24
当 k ? 0 时,

2? t ? 10 ? 11.5 9 ? 2? 5? 3 15 解得: 9k ? ? t ? 2k? ? ? t? ? 2k? ? 9k k ? Z 6 9 6 4 4

3 3 3 3 3 3 ? t ? 3 ;当 k ? 1 时, 9 ? t ? 12 ;当 k ? 2 时, 18 ? t ? 21 4 4 4 4 4 4

故船舶安全进港的时间段为 (0 : 45 ? 3: 45) , (9 : 45 ? 12 : 45) , (18: 45 ? 21: 45)

b (cos x, ?m ? cos x) 20.解: (1) f ( x) ? a? ? ( 3 sin x, m ? cos x)?
即 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x ? m
2 2

? ?

(2) f ( x) ?

3 sin 2 x 1 ? cos 2 x ? ? m2 2 2

? 1 ? sin(2 x ? ) ? ? m2 6 2
由 x ? ??

? ? 1 ? ? ? ? 5? ? ? ? ?? , ? , ? 2 x ? ? ? ? , ? , ? sin(2 x ? ) ? ? ? ,1? , 6 ? 2 ? 6 ? 6 6 ? ? 6 3?

1 1 ?? ? ? m2 ? ?4 , ? m ? ?2 2 2 1 1 ? ? ? ? f ( x)max ? 1 ? ? 2 ? ? , 此时 2 x ? ? , x ? . 2 2 6 2 6

4


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