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2013届高三数学二轮复习课件


? 1.理解取有限个值的离散型随机变量及 其分布列的概念,了解分布列对于刻画随 机现象的重要性. ? 2.理解超几何分布及其导出过程,并能 进行简单的应用. ? 3.了解条件概率和两个事件相互独立的 概念,理解n次独立重复试验的模型及二 项分布,并能解决一些简单的实际问题.

? 4.理解取有限个值的离散型随机变量均 值、方差的概念,能计算简单离散型随机

变量的均值、方差,并能解决一些实际问 题. ? 5.利用实际问题的直方图,了解正态分 布曲线的特点及曲线所表示的意义.

? 1.离散型随机变量的分布列是高考经常 考查的内容之一,出现的题目大都是解答 题,难度适中,常与概率结合考查. ? 2.离散型随机变量的均值、方差这部分 内容综合性较强,涉及排列、组合、概率 及分布列的相关知识,是近几年高考的热 点,命题都是以应用题为背景,其中有选 择题,也有填空题,但更多的是解答题, 难度中档.

? 1.随机事件 ? 如果随机试验的结果可以用一个变量X表 示,并且X是随着试验的结果的不同而变 化的,那么这样的变量X叫做随机变量, 它常用字母X,Y,ξ,η,?表示. ? 2.离散型随机变量 ? 如果随机变量X的所有可能的取值都能一 一列举出来,则这样的随机变量X叫做离 散型随机变量.

? 3.离散型随机变量的分布列 ? 设离散型随机变量X的取值规律为 ? (1)X所有可能取的不同值为x1,x2,?, x n; ? (2)X取每一个值xi(i=1,2,?,n)的概率 p(x=xi)=pi,则下表称为离散型随机变量 X的概率分布或称为离散型随机变量X的分 X x1 x2 ? x i ? xn 布列,简称X的分布列. P p1 p2 ? pi ? pn

? 根据概率的性质,离散型随机变量的分布 列具有如下性质: ? ①pi≥0,i=1,2,?,n; ? ②p1+p2+?+pi+?+pn=1. ? 4.二点分布 X 1 0 ? 如果随机变量X的分布列为 q P p 其中0<p<1,q=1-p,则称离散型随机 变量X服从参数为p的二点分布,而称p= P(X=1)为成功概率.

5.超几何分布 一般地, 设有总数为 N 件的两类物品, 其中一类有 M 件,从所有物品中任取 n 件(n≤N),这 n 件中所含这类物 品件数 X 是一个离散型随机变量,它取值为 m 时的概率 Cm Cn-m M N-M 为 P(X=m)= (0≤m≤l,l 为 n 和 M 中较小的一 Cn N 个).我们称离散型随机变量 X 的这种形式的概率分布为 超几何分布列,也称 X 服从参数为 N,M,n 的超几何分 布.

? 6.条件概率
? (1)定义

? 对于任何两个事件A和B,在已知事件A发 生的条件下,事件B发生的概率叫做条件 概率,用符号“P(B|A)”表示.
? (2)交事件
(3)条件概率公式 ? 由事件A和B同时发生所构成的事件D,称 P?AB? 一般地, A, 为两个事件, P(A)>0, P(B|A)= 设 B 且 称 为事件A与B的交(或积),记作D=A∩B(或 P?A? 为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率. D=AB).

? 7.事件的独立性 ? (1)设A,B为两个事件,如果事件A是否发 生对事件B发生的概率没有影响,即 P(B|A),这时,我们称两个事件A,B相互 独立,并把这两个事件叫做相互独立事 件. ? (2)相互独立事件同时发生的概率的计算公 式是 ? P(AB)=P(A)P(B). ? (3)推广:如果事件A1,A2,?,An相互独 立,那么这n个事件同时发生的概率,等

? 8.独立重复试验 ? 一般地,在相同条件下,重复地做n次试 验,各项试验的结果相互独立,那么一般 称它为n次独立重复试验. ? 一般地,如果在一次试验中某事件发生的 概率是p,那么在n次独立重复试验中,这 个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)=Cpk(1 -p)n-k(k=0,1,2,?,n).

? 9.随机变量的数字特征 ? (1)期望 ? 一般地,若离散型随机变量X的分布列为 X x 1 x2 ? xi ? xn P p1 p2 ? pi ? pn ? 则称E(X)=x1p1+x2p2+?+xipi+?+ xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期 望(简称期望).它反映了离散型随机变量 取值的平均水平.

? (2)方差、标准差 ? 离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 ? xi P p1 p2 ? pi ? xn ? pn

D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+?+(xn-E(X))2pn 叫做这个离散型随机变量 X 的方差.它反映了离散型随机 变量取值相对于期望的平均波动大小(或说离散程度).D(X) 的算术平方根 D?X?叫做离散型随机变量 X 的标准差.

(3)二项分布与超几何分布 一般地,如果随机变量 X 服从二点分布,那么 E(X) =p.若 X 服从二项分布,即 X~B(n,p),则 E(X)=np. 若离散型随机变量 X 服从参数为 N,M,n 的超几何 nM 分布,则 E(X)= . N

10.正态分布 (1)正态分布 1 正态变量概率密度曲线的函数表达式为 f(x)= e 2πσ ?x-μ?2 - ,x∈R,其中实数 μ 和 σ 为参数,σ>0,-∞<σ< 2σ2 +∞.上式中的参数 μ 和 σ 分别为正态变量的数学期望和 标准差.正态变量的概率密度函数叫做正态曲线.

(2)正态曲线的特点 ①曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交; ②曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称; 1 ③曲线在 x=μ 处达到峰值 ; σ 2π ④曲线与 x 轴之间的面积为 1;

? ⑤当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴 平移,如图①所示;⑥当μ一定时,曲线 的形状由σ确定.σ越小,曲线越“瘦高”, 表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越 “矮胖”,表示总体的分布越分散,如图 ②所示.

? (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 值 ? 正态变量在区间(-μ-σ,μ+σ)内取值的 概率为68.3%; ? 正态变量在区间(-μ-2σ,μ+2σ)内取值 的概率为95.4%; ? 正态变量在区间(-μ-3σ,μ+3σ)内取值 的概率为99.7%.

? [例1] (2011·武汉调研)甲、乙两名跳高 运动员一次试跳2米高度成功的概率分别 是0.7,0.6,且每次试跳成功与否相互之间 没有影响,求: ? (1)甲试跳三次,第三次才成功的概率; ? (2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人 成功的概率; ? (3)甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数

[解析]

记“甲第 i 次试跳成功”为事件 Ai,“乙第 i

次试跳成功”为事件 Bi,依题意得 P(Ai)=0.7,P(Bi)=0.6, 且 Ai,Bi(i=1,2,3)相互独立. (1)“甲第三次试跳才成功”为事件-1-2A3, A A 且三次试 跳相互独立. ∴P(-1-2A3)=P(-1)P(-2)P(A3) A A A A =0.3×0.3×0.7=0.063. 所以甲第三次试跳才成功的概率是 0.063.

? (2)“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一 人成功”为事件C. ? P(C)=1-P(1)P(1)=1-0.3×0.4=0.88. ? ∴甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人 成功的概率为0.88. ? (3)设“甲在两次试跳中成功i次”为事件 Mi(i=0,1,2),“乙在两次试跳中成功i次” 为事件Ni(i=0,1,2). ? ∵事件“甲、乙各试跳两次,甲比乙的成 功次数恰好多一次”可表示为 M1N0∪M2N1,且M1N0,M2N1为互斥事件,

? ∴所求的概率为
P(M1N0∪M2N1)=P(M1N0)+P(M2N1)
1 =C1×0.7×0.3×0.42+0.72×C2×0.6×0.4 2

=0.0672+0.2352=0.3024.

? [评析] ①求复杂事件的概率的一般步骤: ? 1°列出题中涉及的各事件,并且用适当 的符号表示; ? 2°理清各事件之间的关系,列出关系式; ? 3°根据事件之间的关系准确选取概率公 式进行计算. ? ②直接计算符合条件的事件的概率较繁时, 可先间接地计算对立事件的概率,再求出 符合条件的事件的概率.

? (2011·山东理,18)红队队员甲、乙、丙 与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛,甲对 A、乙对B、丙对C各一盘,已知甲胜A、 乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5, 假设各盘比赛结果相互独立. ? (1)求红队至少两名队员获胜的概率; ? (2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数,求ξ的 分布列和数学期望Eξ.

[解析]

(1)设甲胜 A 的事件为 D, 乙胜 B 的事件为 E,

丙胜 C 的事件为 F,则 D , E , F 分别表示甲不胜 A、乙 不胜 B、丙不胜 C 的事件. 因为 P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5 由对立事件的概率公式知 P( D )=0.4,P( E )=0.5, P( F )=0.5. 红队至少两人获胜的事件有:DE-,D E F, D EF, F DEF.

由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独 立, 因此红队至少两人获胜的概率为 P=P(DE F )+P(D E F)+P( D EF)+P(DEF) = 0.6×0.5×0.5 + 0.6×0.5×0.5 + 0.4×0.5×0.5 + 0.6×0.5×0.5=0.55.

(2)由题意知 ξ 可能的取值为 0,1,2,3. 又由(1)知 D E F、D E F 、 E F 是两两互斥事件, D 且各盘比赛的结果相互独立, 因此 P(ξ=0)=P( D E F )=0.4×0.5×0.5=0.1, P(ξ = 1) = P( D E F) + P( D EF ? + P(D E F )=

0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35.

? P(ξ=3)=P(DEF)=0.6×0.5×0.5=0.15. ? 由对立事件的概率公式得 ? P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3) =0.4. ? 所以ξ的分布列为: 1 ξ 0 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15

? 因此Eξ=0×0.1+1×0.35+2×0.4+ 3×0.15=1.6.

[例 2]

(2010· 天津理, 18)某射手每次射击击中目标的

2 概率是3,且各次射击的结果互不影响.

? (1)假设这名射手射击5次,求恰有2次击中 目标的概率; ? (2)假设这名射手射击5次,求有3次连续击 中目标,另外2次未击中目标的概率;

? (3)假设这名射手射击3次,每次射击,击 中目标得1分,未击中目标得0分.在3次 射击中,若有2次连续击中,而另外1次未 击中,则额外加1分;若3次全击中,则额 外加3分.记ξ为射手射击3次后的总得分 数,求ξ的分布列. ? [分析] 该射手每次射击击中目标的概率 一定,各次射击的结果互不影响,符合独 立重复试验的条件击中次数服从二项分 布.

[解析] 数,则 概率

(1)设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次 5 次射击中,恰有 2 次击中目标的

? 2? X~B?5,3?.在 ? ?

22 23 2 P(X=2)=C5×? ? ×?1- ? =
?3? ?

? ?

?

?

3?

40 243.

(2)设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai(i=1,2,3,4,5); “射手在 5 次射击中,有 3 次连续击中目标,另外 2 次未 击中目标”为事件 A,则 P(A) =P(A1A2A3 - 4 - 5)+ P( - 1A2A3A4 - 5)+P( - 1 - A A A A A A
? 2? ?1? 1 ?2?3 1 ?1?2 ?2?3 8 3 2 2A3A4A5)=? ? ×? ? + ×? ? × +? ? ×? ? = 3? ?3? 3 ?3? 3 ?3? ?3? 81. ?

(3)由题意可知,ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,6,
? ? -1-2-3)=?1?3= 1 ; P(ξ=0)=P( A A A 3 27 ? ?

P(ξ=1)=P(A1-2-3)+P(-1A2-3)+P(-1-2A3) A A A A A A 2 ?1?2 1 2 1 ?1?2 2 2 =3×?3? +3×3×3+?3? ×3=9; ? ? ? ? -2A3)=2×1×2= 4 ; P(ξ=2)=P(A1 A 3 3 3 27

P(ξ=3)=P(A1A2-3)+P(-1A2A3) A A
?2? 1 1 ?2?2 8 2 =?3? ×3+3×?3? =27; ? ? ? ? ?2? 8 ? ?3= . P(ξ=6)=P(A1A2A3)= 3 27 ? ?

所以 ξ 的分布列是

ξ 0 1 2 3 6 1 2 4 8 8 P 27 9 27 27 27

? [评析] 二项分布是概率中一个重要的概 率模型,它是研究独立重复试验的数学模 型,其要点是:(1)每次试验是独立重复的; (2)每次试验是一个两点分布.

[解析] 设随机变量 X 表示取出次品的个数,则 X ? (2011·海口检测)从一批含13只正品,2只 次品的产品中,不放回任取3件,求取得次 服从超几何分布,其中 N=15,M=2,n=3,它的可能 品数X的分布列. 的取值为 0,1,2 相应的概率依次为
0 3 C2C13 22 P(X=0)= 3 = , C15 35 1 2 C2C13 12 P(X=1)= 3 = , C15 35

2 1 C2C13 1 P(X=0)= 3 = , C15 35

所以 X 的分布列为:

X 0 1 2 P 22 12 1 35 35 35

? [例3] (2011·天津理,16)学校游园活动 有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个

白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、
2个黑球,这些球除颜色外完全相同,每

次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,
若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次

游戏结束后将球放回原箱)
? (1)求在1次游戏中,

[解析]

(1)①设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事

2 1 C3 C2 1 件 A(i=0,1,2,3),则 P(A3)=C2· 2=5. 5 C3

②设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B,则 B=A2∪A3. C2 C2 C1C1 C1 1 3 2 3 2 2 又 P(A2)=C2· 2+ C2 · 2=2,且 A2,A3 互斥, 5 C3 5 C3 1 1 7 所以 P(B)=P(A2)+P(A3)=2+5=10.

(2)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2.
? 7 ?2 9 P(X=0)=?1-10? =100, ? ?
1 P(X=1)=C2

7 ? 21 7? ?1- ?= , 10? 50 10?

?7? 49 ? ?2 = P(X=2)= 10 . 100 ? ?

? 所以X的分布列是

? 某食品企业一个月内被消费者投拆的次数 用X表示.据统计,随机变量X的概率分布 如下: X 0 1 2 3 P 0.1 0.3 2a a
? (1)求a的值和X的数学期望; ? (2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次 数互不影响,求该企业在这两个月内共被

? [解析] (1)由概率分布的性质有0.1+0.3 +2a+a=1,解得a=0.2. ? ∴X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.4 0.2 ? ∴EX=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2 =1.7.

(2)设事件 A 表示“两个月内共被投诉 2 次”;事件 A1 表示“两个月内有一个月被投诉 2 次, 另外一个月被投诉 0 次”;事件 A2 表示“两个月内每个月均被投诉 1 次”. 则由事件的独立性得 P(A1)=C1P(X=2)P(X=0) 2 =2×0.4×0.1=0.08, P(A2)=[P(X=1)]2=0.32=0.09, ∴P(A)=P(A1)+P(A2)=0.08+0.09=0.17. 故该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率为 0.17.

? [例4] 某考生在解答数学模拟题时有两种 方案,方案一:按题号顺序由易到难依次 解答;方案二:先做解答题,后做选择题, 且分别按题号依次解答.根据以往经验, 若能顺利地解答某题,就增强了解答的信 心,提高后面答题正确率的10%;若解答 受挫,就增加了心理负担,降低了后面答 题正确率的30%.为了科学的决策,他采用 了一个特例模型:在某次考试中有6道题 (1~4为选择题、填空题,5,6为解答题),

? ? ?

?

2 3 4 5 6 题号 1 概率 0.95 0.9 0.85 0.8 0.5 0.2 5 5 5 12 14 分值 5 (1)在方案一中,求他答对第2题的概率; (2)请你帮助他作出科学的决策. [分析] (1)此考生答对第2题的情况下,第 1题可能答对,也可能答错,故所求概率 是这两种情况下的概率之和. (2)分别计算方案一和方案二的数学期望, 进一步选择更科学的方案.

? [解析] (1)若第1题答对,则他答对第2题 的概率为 ? 0.95×0.9×(1+10%)=0.9405. ? 若第1题受挫,则他答对第2题的概率为 ? (1-0.95)×0.9×(1-30%)=0.0315. ? ∴他答对第2题的概率为0.9405+0.0315 =0.972.

? (2)同理可得到他在方案一中答对各题的概 率分布如下: 题 1 2 3 4 5 6 号 概 0.9 0.97 0.925 0.856 0.521 0.181 2 48 154 231 698 率 5 ? ∴他得分X的数学期望是 ? EX=5×0.95+5×0.972+5×0.92548+ 5×0.856154+12×0.521231+ 14×0.181698≈27.3167.

? 若按方案二答题,则答题顺序为 “5,6,1,2,3,4”,他在方案二中答对各题的 概率情况如下: 题 5 6 1 2 3 4 号 0.1 0.73 0.8940 0.8989 0.847 概 0.5 8 34 24 68 67 率

? ∴他得分Y的数学期望是 ? EY=12×0.5+14×0.18+5×0.7334+

? (2011·北京理,17)以下茎叶图记录了甲、 乙两组各四名同学的植树棵数,乙组记录 中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 X表示.

? (1)如果X=8,求乙组同学植树棵数的平 均数和方差; ? (2)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机

1 (注:方差 s = [(x1 - - )2 +(x2 - - )2 +?+(xn - x x n
2

-)2],其中-为 x1,x2,?,xn 的平均数) x x

[解析]

(1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的

植树棵数是:8,8,9,10, -=8+8+9+10=35; 所以平均数为 x 4 4 1 35 2 35 2 35 2 方差为 s = 4[(8- 4 ) +(8- 4 ) +(9- 4 ) +(10-
2

35 2 11 4 ) ]=16.

(2)当 X=9 时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵数 是: 9,9,11,11; 乙组同学的植树棵数是: 9,8,9,10.分别从甲、 乙两组中随机选取一名同学,共有 4×4=16 种可能的结 果, 这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17,18,19,20,21. 事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树 9 棵,乙组 选出的同学植树 8 棵”,所以该事件有 2 种可能的结果, 2 1 因此 P(Y=17)= = . 16 8

1 1 1 同理可得 P(Y=18)= ;P(Y=19)= ;P(Y=20)= ; 4 4 4 1 P(Y=21)= . 8 所以随机变量 Y 的分布列为:

EY=17×P(Y=17)+18×P(Y=18)+19×P(Y=19)+ 20×P(Y=20)+21×P(Y=21) 1 1 1 1 1 =17× +18× +19× +20× +21× =19. 8 4 4 4 8


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