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2012-2013年高中常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题07 函数奇偶性的判断和证明


第 07 讲:函数奇偶性的判断和证明
【考纲要求】 结合具体函数,了解函数奇偶性的含义。 【基础知识】 1、函数的奇偶性的定义

3、判断函数的奇偶性的方法 (1)定义法 首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数一定是非奇非偶 函数;如果函数的定义域关于原点对称,则继续求 f ( ? x ) ;最后比较 f ( ? x ) 和

f ( x ) 的关 系,如果有 f ( ? x ) = f ( x ) ,则函数是偶函数,如果有 f ( ? x ) =- f ( x ) ,则函数是奇函数, 否则是非奇非偶函数。 (2)求和判别法 对 于 函 数 定 义 域 内 的 任 意 一 个 x , 若 f (? x ) ? f (x ) ? 0 , 则 f ( x ) 是 奇 函 数 ; 若 f ( ? x ) ? f ( x ) ? 2 f ( x ) ,则 f ( x ) 是偶函数。 (3)作差判别法 对于函数定义域内任意一个 x,若 f ( x ) ? f ( ? x ) ? 2 f ( x ) ,则 f ( x ) 是奇函数;若 f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 ,则 f ( x ) 是偶函数。 (4)作商判别法 对于函数 定义域内任意一个 x,设 f ( ? x ) ? 0 ,若
f (x ) f (? x ) ? ? 1 ,则 f ( x ) 是奇函数

f (x ) f (? x )

? 1 ,则 f ( x ) 是偶函数。

例1

判断下列函数的奇偶性

(1) f ( x ) ? (1 ? x ) 解: (1)
?1 ? x ?0 ? 由 题 得 ?1 ? x ?1 ? x ? 0 ?

1? x 1? x

(2) f ( x ) ?

l g (? x 1

2

)

x?2 ?2

? ?1 ? x ? 1 ? 函 数 的 定 义 域 为 ? 1 , 1 ) [ ?函数是非奇非偶的函数

?函数的定义域不关于原点对称

(2)
?1 ? x 2 ? 0 由题得 ? ?| x ? 2 | ? 2 ? 0 ? f (x) ? lg (1 ? x )
2

? ? 1 ? x ? 0或 0 ? x ? 1 lg (1 ? x )
2

2?x?2 ?x

? ?
2

x ? lg (1 ? x )
2

? f (? x) ? ?

lg (1 ? x )

? ? f (x)

?函数是奇函数

x

例 2 定义 在实数集上的函数 f(x),对任意 x,y∈R,有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且 f(0)≠0 ①求证:f(0)=1 ②求证:y=f(x)是偶函数 证明:①令 x=y=0,则 f(0)+f(0)=2f2(0) ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 ②令 x=0,则 f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y) ∴f(-y)=f(y) ∴y=f(x)是偶函数

例 3 判断函数 f ( x ) ? ?

? x 2 ? x ( x ? 0) ?? x ? x ( x ? 0)
2

的奇偶性

解:由题得函数的定义域关于原点对称。 设 x ? 0, 则 ? x ? 0 , f ( ? x ) ? ? ( ? x ) ? x ? ? x ? x ? ? ( x ? x ) ? ? f ( x )
2 2 2

设 x ? 0, 则 ? x ? 0 , f (? x) ? (? x) ? x ? x ? x ? ?(? x ? x) ? ? f ( x)
2 2 2

所以函数 f ( x ) 是奇函数。 【点评】对于分 段函数奇偶性的判断,也是要先看函数的定义域,再考虑定义,由于它是 分段函数,所以要分类讨论。 【变式演练 1】 判断函数 f ( x ) ? e
?x

? e 的奇偶性。
x

【变式演练 2】 已知函数 f ( x ) 是奇函数, g ( x ) 是偶函数,判断函数 h ( x ) ? f ( x ) ?g ( x ) 的 奇偶性。

方法二 使 用情景

[来源:学&科&网]

解答步骤

求和判别法 一般是对数函数。 对于函数定义域内的任意一个 x,若 f ( ? x ) ? f ( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 是奇函数; 若 f ( ? x ) ? f ( x ) ? 2 f ( x ) ,则 f ( x ) 是偶函数。

例4

判断函数 f ( x ) ? lg( x ?

x

2

? 1 ) 的奇偶性。
(? x )
2

解法 1:利用定义判断,由 f ( ? x ) ? lg( ? x ?
? lg ( x
2

2

? 1)

? 1 ? x )( x
2

x

2

? 1 ? x)

? lg

x

2

?1? x
2

? lg x
2

1 ?1 ? x

?1 ? x
?1

x

?1 ? x

? lg(

x

2

? 1 ? x)

? ? lg( x ?

x

2

? 1 ) ? ? f ( x ) ,可知 f ( x ) 是奇函数。
2

解法 2:由 x∈R,知 ? x ? R 。因为 f ( x ) ? f ( ? x ) ? lg( x ?
? lg[( x ? x
2

x

? 1 ) ? lg( ? x ?
2

(? x )

2

? 1)

? 1 )( ? x ?

(? x )

2

? 1 )] ? lg 1 ? 0 ,所以 f ( x ) ? lg( x ?

x

? 1 ) 是奇函数。

例5

判断函数 g ( x ) ?
2

x
x

?1

?

x 2

的奇偶性。
? ?2 ? x
?x

解:由题得 x ? 0 ,因为 g ( ? x ) ? g ( x ) ? ?
? x ? x ? x ? 0 ,所以 g ( x ) 是偶函数。

?1

?

x? ? x x ? x ( 2 ? 1) ? ?? ??? x x 2? ? 2 ?1 2? 2 ?1
x

【点评】作差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式,但是利用定义判断,计算较为复 杂,利用作差判别法可以化繁为简,简洁高效。 方法四 使用情景 作商判别法 一般含有指数函数运算。 对于函数定义域内任意一个 x,设 f ( ? x ) ? 0 ,若 解答步骤
学|科|网 Z|X|X|K] [来源:

f (x ) f (? x )

? ? 1 ,则 f ( x ) 是奇函

数;若

f (x ) f (? x )

? 1 ,则 f ( x ) 是偶函数。

[来源:Zxxk.Com]

[来源:学&科&网]

例6

证明函数 f ( x ) ?

a a

x x

?1 ?1

( a ? 0, a ? 1) 是奇函数。

证明:由 a x ? 1 ? 0 ,知 x ? 0 且 x ? R ,所以定义域关于原点对称。 因为 f ( ? x ) ? 0, 函数。
f (x ) ? a a
x x

f (? x )

? 1) ?1 a ? 1 ( a ? 1)( a ?a ?a ? ? ? ?x x ?x x ?x ?1 a ? 1 ( a ? 1)( a ? 1) a ?a
x x

?x

?x

?x

? ?1 , 所以 f ( x ) 是奇

1.【2012 高考真题陕西理 2】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A. y ? x ? 1 B. y ? ? x
2



C. y ?

1 x

D. y ? x | x |

【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知 A 非奇非偶的增函数;B 是奇函数
? x2, x ? 0 ( ?? , 0 ) , 0 , ?? ) 上是减函数; 中函数可化为 y ? ? ( 且是减函数; 是奇函数且在 C D 2 ?? x , x ? 0

易知是奇函数且是增函数.故选 D. 2.. 【2012 高考真题辽宁理 11】 设函数 f(x) ( x ? R ) 满足 f( ? x )=f(x), f(x)=f(2 ? x), 且当 x ? [0,1] 时,f(x)=x3.又函数 g(x)=|xcos (? x ) |,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在 [ ? (A)5 (B)6 (C)7
1 3 , ] 上的零 点个数为( 2 2

)

(D)8

3. 【2012 高考真题上海理 9】 已知 y ? f ( x ) ? x 是奇函数, f (1) ? 1 , g ( x ) ? f ( x ) ? 2 , 且 若
2

则 g ( ? 1) ?


2

【 解 析 】 因 为 y ? f (x) ? x
2

为 奇 函 数 , 所 以 f (? x) ? x ? ? f ( x) ? x , 所 以
2 2

f ( ? x ) ? ? f ( x ) ? 2 x , g (1) ? f (1) ? 2 ? 3 ,

所以 g ( ? 1) ? f ( ? 1) ? 2 ? ? f (1) ? 2 ? 2 ? ? f (1) ? ? 1 。 【反馈训练】 1.函数 f(x)=x(-1﹤x≦1)的奇偶性是





A.奇函数非偶函数 B.偶函数非奇函数 C.奇函数且偶函数 D.非奇非偶函数 2 3 2 2. 已知函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)是偶函数,那么 g(x)=ax +bx +cx 是( A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 3.函数 f ? x ? ?
4 ?1
x



2

x

的图象(

) C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称

A. 关于原点对称

B. 关于直线 y=x 对称

6.定义在 R 上的函数 y=f(x),对 任意 x1,x2 都有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2), 判断函数 y=f(x) 的奇偶性并证明。 7.已知
f (x) ? x( 2 1
x

?1

?

1 2

)

,判断 f(x)的奇偶性;
2

8.设 a 为实数,函数 f ( x ) ? x ? | x ? a | ? 1 , x ? R . (1)讨论 f ( x ) 的奇偶性; (2)求 f ( x ) 的最小值. 9. 已 知 函 数 f ( x ) 的 定 义 在 x ? 0 上 函 数 , 对 定 义 域 内 的 任 意 x 1 , x 2 都 有
f ( x 1 x 2 ) ? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ,且当 x ? 1 时, f ( x ) ? 0 , f ( 2 ) ? 1

(1)求证: f ( x ) 是偶函数 ; (2) f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 是增函数; (3)解不等式 f ( 2 x ? 1) ? 2
2

【变式演练详细解答】 【变式演练 1 详细解析】 由题得函数的定义域为 R .
f (? x) ? e ? e
x ?x

? ? (e

?x

? e ) ? ? f (x)
x

? 函 数 f(x)是 奇 函 数 。

【变式演练 2 详细解析】
h ( ? x ) ? f ( ? x ) g ( ? x ) ? f ( x ) ?? g ( x ) ? ? f ( x ) ?g ( x ) ? ? h ( x )

所以函数 h ( x ) 是奇函数。 【反馈训练详细解答】

1. D【解析】由于函数的定义域不关于原点对称,所以函数是非奇非偶函数。 2. A.
【 解
2




2




? 2b x ? 0
3

f ( x )是 偶 函 数 ,





f ( ? x ) ? f ( x ),? a x ? b x ? c ? a x ? b x ? c ?b ? 0 ? g ( x) ? ax ? bx
3

? g (? x ) ? ? ax ? bx ? ? g ( x )

? 函 数 g ( x )是 奇 函 数 。 所 以 选 A .
4
?x

3. D【解析】 f ( ? x ) ?

?1
?x

?

1? 4 2
x

x

? f (x)

? f ( x ) 是偶函数,图像关于 y 轴对称
?2 ?2

2

4. A 【解析】 f ( x ) ? a ?bx ? ( b ? a ) x ? a ?b ? ( b ? a ) x ? ? f ( x ) ,所以函数是一次函
2

? ?

?2

?2

? ?

数且是奇函数。

5.【解析】(1)由题得函数的定义域为 R.
f ( x ) ? f ( ? x) lg ( = ? lg 1 ? 0 x ? 1 ? x ) ? lg (
2

x ? 1 ? x ) ? lg (
2

x ? 1 ? x )(
2

x ? 1 ? x)
2

? f ( ? x) -f(x ) =

?函数是奇函数。

(2)由题得函数的定义域为
{ x | x ? 2} ? 函 数 的 定 义 域 不 关 于 原 点 对 称 , 函 数 是 非 奇 非 偶 函 数 。 ?

(3)由题得函数的定义域为 R.
当 x ? 0时 , > 0 -x 当 x ? 0时 , ? 0 -x ? f(-x )= -x ? f ( x ) x ? f (x)

? f (? x) ?

当 x ? 0时 , f (0 ) ? 0

?函数是偶函数。

8.【解析】解: (1)当 a ? 0 时, f ( ? x ) ? ( ? x ) ? | ? x | ? 1 ? f ( x ) ,此时 f ( x ) 为偶函数;
2

当 a ? 0 时, f ( a ) ? a ? 1 , f ( ? a ) ? a ? 2 | a | ? 1 ,∴ f ( ? a ) ? f ( a ), f ( ? a ) ? ? f ( a ),
2 2

此时函数 f ( x ) 既不是奇函数也不是偶函数.
2

[来源:学科网 ZXXK]

(2)①当 x ? a 时,函数 f ( x ) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ?

1 2

) ?a?
2

3 4



若a ?

1 2

,则函数 f ( x ) 在 ( ? ? , a ] 上单调递减,∴函数 f ( x ) 在 ( ? ? , a ] 上的最小值为
2

f (a ) ? a ? 1 ;

综上,当 a ? ? 是a ?1 ,
2

1 2

时,函数 f ( x ) 的最小值是

3 4

? a ,当 ?

1 2

? a ?

1 2

时,函数 f ( x ) 的最小值

当a ?

1 2

,函数 f ( x ) 的最小值是 a ?

3 4




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