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高中数学必修5典型例题


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必修五

需记忆的公式部分及典型题目 20110416
定 理 :

解三角形部分 A+B+C=1800 1. 正 弦

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sinC
2. 定 理 的



( R为三角形外接圆半径 )
变 形 式 :

?1?a : b : c ? sin A
(2)a ? 2 R sin A

: sin B : sin C ,b ? 2 R sin B ,c ? 2 R sin C

?3?

a?b?c a ? ? 2R sin A ? sin B ? sin C sin A

三角形的面积公式 S△= absinC/2 = bcsinA/2 = acsinB/2 3.正弦定理的适用范围:⑴已知两角及其中一边可求其他的角和边,如:已知A、 B和a,则b= asinB sin A AAS,SSA (2)已知两边及其中一边的对角可求其他的角和边,如:已知a、

b和A,则 sinB= bsinA

a
b ?c ?a 2bc a ?c ?b b ? a ? c ? 2ac cos B ? cos B ? 2ac a ?b ?c c ? a ? b ? 2ab cos C ? cos C ? 2ab 5. 余弦定理的适用范围:⑴已知三边可求其他的角,如:已知 a、b、c,则
2 2 2

4.余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A ? cos A ?
2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a ?c ?b 2ac SSS SAS,(2)已知两边及夹角可求其他的角和边,如:已知a、c 和 B,则 cos B ?
2 2

2

2

2

b ? a ? c ? 2ac cos B
2

练一练:
1.已知△ABC 中, a=4, b=4 , A=30°, B= 则 则 a : b : c ?1 3 2 :: 3. 在△ABC 中,若 或 150° 30° 2. 在△ABC 中, A:B:C=1:2:3, 若

sin A cos B = ,则 B=__45° a b

4. 在△ABC 中, b ? 2a sin B , A=30° 若 则

-1-

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5. 在△ABC 中,若 sin A ? sin B, 则 A 一定大于 B,对吗?填____对_____(对或错) 6. 若在△ABC 中,∠A= 60 , b ? 1, S ABC ?
0

3, 则

a?b?c 2 39 ? sin A ? sin B ? sin C 3
8. 已知△ABC 的面积为

7. 边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和为 120°

3 ,且 2

b ? 2, c ? 3 ,则 A=60°或 120°
9. 在△ ABC 中,已知三边 a、b、c 满足(a+b+c)(a+b-c)=3ab,则 C= 10. 在△ABC 中, A、 C 的对边分别为 a、 c, a +c -b = 3 ac,则角 B= 角 B、 b、 若 11. 在△ABC 中,已知 a=2,则 bcos C+ccos B= 2
2 2 2

60° 30°

12.在△ABC 中, b, 分别表示三个内角 A、 C 的对边,cos B ? a, c B、 ?(1)求△ABC 的面积;(2)若 a=7,求角 C. 14 45°

??? ??? ? ? 3 ,且 AB ? BC ? ?21, 5

1.写出数列的前五项 a1 ? 1 , a n ?1 ?

3a n , an ? 3

3 3 3 3 1, ,,, 4 5 6 7
项 写 出 数
n ?1

2.

























( ? 1) ? 2n 2 4 6 8 10 , ? , , , 则a ? ? (2n ? 1)(2n ? 1) 3 15 35 63 99
n

3. 数列 ?a n ?的通项公式为 a n ? 3n 2 ? 28n ,则数列 ?a n ?各项中最小项是第 5 4. 数列 ?a n ?中,已知 a1 ? 1, a 2 ? 2, a n ? 2 ? a n ?1 ? a n n ? N * ,则

项 1

?

?

a

2011

?

5. 已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1, a n ?1 ? pan ? q ,且 a 2 ? 3, a 4 ? 15 ,则 p+q=3 1 6. 已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 的等差数列,则|m-n|= 4 __0.5___. d1 7. 若 m≠n,两个等差数列 m、a1、a2、n 与 m、b1、b2、b3、n 的公差分别为 d1 和 d2,则 的 d2 值为

4 . 3

8. 等差数列 ?an ? 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1 ,则 a12 ? _15_.

-2-

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9. 两个等差数列 ?a n ? , ?bn ? 的前 n 项和分别为 S n , Tn ,且

S n 2n ? 3 a 5 则 ? ? Tn 3n ? 2 b5

3 5

10.在等差数列中,已知 S 8 ? 100 , S16 ? 392 ,则 S 24 = 876 . 11. 设等差数列 ?a n ? 的第 10 项为 23, 25 项为 ? 22 , 第 则数 列 数列 ?a n ? 前 50 项的绝对值之和 S=2059。 12. 已知五个实数 ?16, a1 , a2 , a3 , ?1 成等比数列,那么 a1 ? a2 ? a3 =__-14__. 13. 已知等比数列{an}中,a1·9=64,a3+a7=20,则 a11= 64 或 1. a 14. 在等比数列 ?an ? 中, a3 a4 a5 ? 3 , a6 a7 a8 ? 24 ,则 a9 a10a11 ? . 192 . 15. 设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S6 ? 36, Sn ? 324, Sn?6 ? 144(n ? 6) ,则 n=18 . 16. ?ABC 三内角 A, B, C 成等差数列,且三边 a, b, c 成等比数列,则 ?ABC 形状是 等边三角 形 q= . 17. 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 {an } 的 公 比 q ? 1 , 且 a 4 , a6 , a7 成 等 差 数 列 , 则 公 比

?a ?的通项公式 a ? -3n+53;
n

n

?1 ? 5 ?/ 2

18. 三个互不相等的实数 a,1, b 依次成等差数列。且 a 2 ,1, b 2 依次成等比数列,则 值是-2.

1 1 ? 的 a b

19. 已知等差数列 ?a n ? 的前 4 项和为 10,且 a 2 , a3 , a7 成等比数列,求数列 ?a n ? 的通项公式

5 a ? 或3n ? 5 2
n

20. 数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ?

1 n (a n ? 1) 则 a1 = 1 , a 3 = 1 ; an ? ? 1 ) ( ? ? 3 2 8 2
(1)求 {a n } 的通项; (2)求

21 已知 {a n } 是等差数列,其中 a 2 ? 22, a7 ? 7

a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a20 值;
(3)设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,求 S n 的最大值。 a
n

? ?3n ? 28 115

117

22.已知四个数,前三个数成等比数列,和为 19 ,后三个数成等差数列,和为 12 ,求此四个 数.25,-10,4,18 或 9,6,4,2

数列部分

等差、等比数列知识要点
-3-

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等差数列
定义 函数 概念 特征

等比数列

通项 公式 通项 求解 方法 函数 关系 求和 前 n 项 和 公式 求解 方法 函数 关系 二者关系 1 2 3 定义 函数关系 前 n 项和的函数关系 定义 函数关系

{a n } 是等差数列,公差为 d,则
判 定 5 证 明 6 4 ←→ { S n } 是等差数列,公差为 d n

{a n } 是等比数列,公比为 q,则
S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k ,? 为等比数列,公比为 qk

{a n } 是等差数列,公差为 d,则
S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k ,? 为等差数列,公
差为 k2d

{a n } 是等比数列,公比为 q, Tn 为前 n
则 Tk , T2 k

项积,

? Tk , T3k ? T2k ,? 为等比数列,

公比为

q

k2

{a n } 是等差数列,公差为 d,则 {kan } 是等差数列,公差为 kd {a kn } 是等差数列,公差为 kd
7 若 {a n } 是正项等比数列,则 {log m a n } 是等差数列

{a n } 是等比数列,公比为 q,则 {kan } 是等比数列,公比为 q {a kn } 是等比数列,公比为 qk
若 {log m a n } 是等差数列, {a n } 是正项等比 则 数列

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{a n } , {bn } 是等差数列,公差分别为

{a n } , {bn } 是等比数列,公比分别为 q1 , q 2
则 {an * bn } 是等比数列,公比为 q1q2

d1 , d 2 ,
8 则 {kan ? lbn } 是等差数列,公差为 Kd1+ld2

等差数列
单 调 性

等比数列

a m , a n 之间的关系:
项 间 关 性 系 如果 m ? n ? 的关系: 等差中项定义: 中 项 关 系 如果 m,n,p 成等差数列,则 am , an , a p 的 关系: 首 尾 项 关 系 插数 常 用 的 题 目 奇 数 项 偶 数 项 则 1、若等差数列 {a n } 有 2n 项,则 问题 奇数项和 S 奇 , 偶数项和 S 偶 , 公差为 d, 等距性: 求公差:

a m , a n 之间的关系:

求公比:

p ? q ,则 a m , a n , a p , aq

如果 m ? n ? 系: 等比中项定义:

p ? q ,则 a m , a n , a p , aq 的关



a n , a n?1 , a n?1 之间的关系:

a n , a n?1 , a n?1 之间的关系:
如果 m,n,p 成等差数列, am , an , a p 的关系: 则

等距性:

S n 与中间项的关系:

S n 与中间项的关系:

奇数项和 S 奇 ,偶数项和 S 偶 ,公比为 q,则 若等比数列 {a n } 有 2n 项,则

S 奇 + S 偶 = S2n S 奇 - S 偶 =(1-q) S 奇

S 奇 + S 偶 =S2n

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S 奇 - S 偶 =-nd

S a ? S a
奇 偶

n

=

n ?1

S 1 ? S q
奇 偶

2、若等差数列 {a n } 有 2n+1 项,则

S奇 + S偶 =
S n ?1 ? S n
奇 偶

S2n

S奇 - S偶

= an+1

常用 设法

三项 四项

a-d, a,a+d a-3d,a-d,a+d,a+3d

a/q,a,aq a/q3,a/q,aq,aq2

解三角形部分 1.正弦定理:

A+B+C=1800

a b ? ? sin A sin B

? 2R

( R为三角形外接圆半径 )

2.定理的变形式:

?1?a : b : c ?
( 2) a ? 2 R



: ,c ? 2 R

,b ? 2 R a ? 2R sin A

?3? a ? b ? c ?

三角形的面积公式 S△= = = 3.正弦定理的适用范围:⑴已知两角及其中一边可求其他的角和边,如:已知A、 B和a,则b= AAS,SSA (2)已知两边及其中一边的对角可求其他的角和边,如:已知a、

b和A,则 sinB= 4.余弦定理: a ? b ? c
2 2 2

? cos A ? ? cos B ? ? cos c ?

b ? a ?c
2 2

2

c ? a ?b
2 2

2

5. 余弦定理的适用范围:⑴已知三边可求其他的角,如:已知 a、b、c,则 cosB = SSS SAS,(2)已知两边及夹角可求其他的角和边,如:已知a、c 和 B,则 b=
数列部分
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1.等差数列 等差数列 {a n } 中,定义: an-an-1=
= 通项公式: n=

a

=

如果 m ? n ? p ? q ,则 则 前 n 项和公式 Sn= 通项公式推导所用的方法: 2.等比数列 等比数列 {a n } 中,定义:
=

. 等 差 中 项 : 若 a,A,b 成 等 差 , . = = 前 n 项和公式推导所用的方法: =

a a

n

=

通项公式: n=

a

=

n ?1

如果 m ? n ? p ? q ,则 则 前 n 项和公式 .

. 等 比 中 项 : 若 a,G,b 成 等 比 ,

? ? S ?? ? ?
n

(q ? 1) ? (q ? 1)
前 n 项和公式推导所用的方法:

通项公式推导所用的方法: 不等式部分 a>b ? a-b>0 不等式性质: 1.a>b ?

a<b ? a-b<0
2.a>b,b>c ? b+d
n

a=b ? a-b=0
3.a>b 6.a>b>0,c>d>0 ? ac
n

a+c>b+c bd (当

4.a>b,c>0 ? ac a>b,c<0 ? ac 7. a>b>0 ? a 且仅当

bc bc 5.a>b,c>d ? a+c
n

b

n

8. a>b>0 ?

a

b

a ?b
2

2



等号成立) (当且仅当 等号成立)

若 a>0,b>0, 则 a+b ≥

ab ≤

一正二定三等

-7-


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