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陕西省五校2014届高三第二次联考理数


陕西省长安一中、 高新一中、 交大附中、 师大附中、 西安中学五校 2014 届高三第二次联合模拟考试

数学(理)试题
命题学校:交大附中
注意事项: 1. 本试题卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,总分 150 分,考试时间 120 分钟。 2. 答题前,考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试题卷指定的位置

上。 3. 选择题的每小题选出答案后, 用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上。 4. 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答。超出答题区域或在其 他题的答题区域内书写的答案无效;在草稿纸、本试题卷上答题无效。 5. 考试结束,将本试题卷和答题卡一并交回。

审题学校:长安一中

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 10 小题,每小 题 5 分,共 50 分) 1. 命题 p : x ? R 且满足 sin 2 x ? 1 .命题 q : x ? R 且满足 tan x ? 1 .则 p 是 q 的( A. 充分非必要条件 C. 充要条件
2



B. 必要非充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ) C. x ?

2. 抛物线 y ? 2 x 的准线方程为( A. y ? ?

1 4

B. y ? ?

1 8

1 2


D. x ? ?

1 4

3. 直线 a , b 异面, a ∥平面 ? ,则对于下列论断正确的是(

① 一定存在平面 ? 使 b ? ? ;② 一定存在平面 ? 使 b ∥ ? ;③一定存在平面 ? 使 b ? ? ;④ 一定存 在无数个平面 ? 与 b 交于一定点. A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ②③④

4. 过 P(2, 0) 的直线 l 被圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 截得的线段长为 2 时,直线 l 的斜率为( A. ?



2 4

B.

?

2 2

C. ?1

D. ?

3 3

? 4 x ? y ? 2 ? 0, y ? 5. 已知 x, y 满足不等式 ? 2 x ? y ? 8 ? 0, 设 z ? ,则 z 的最大值与最小值的差为( ) x ? x ? 2, ?
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 )

6. 函数 y ? ln(x ? 1) 与 y ? A. (0,1) B. (1, 2)

1 的图像交点的横坐标所在区间为( x
C. (2,3) D. (3, 4)

7. 从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩,统计如表,则这 100 人成绩的标准差为( 分数 人数 A. 3 B.3 5 20 C. 4 10 3 30 2 30 D. 1 10



2 10 5

8 5


8.已知 a ? 4, e 为单位向量,当 a, e 的夹角为

2? 时, a ? e 在 a ? e 上的投影为( 3
D.

A.5

B.

15 4

C.

15 13 13

5 21 7


9. 将 1,2,…,9 这 9 个数平均分成三组,则每组的三个数都成等差数列的概率是( A.

1 1 1 C. D. 70 336 420 2x 2 ( x ? 0) ,关于方程 g ( x) ? m g ( x) ? 2m ? 3 ? 0 有三个不同实数解, 10. 函数 g ( x) ? log 2 x ?1
B. 则实数 m 的取值范围为( A. ) C. (?

1 56

(??,4 ? 2 7 ) ? (4 ? 2 7 ,??) B. (4 ? 2 7 ,4 ? 2 7 )

3 2 ,? ) 4 3

D. (?

3 4 ,? ) 2 3

二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 定积分

?

1 ?1

( x ? 1)dx 的值为____________.

12. 已知直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x3 ? ax ? b 切于点 (1,3) ,则 b 的值为__________. 13.函数 f ( x ) ? log 2

x ,等比数列 ?an ? 中, a2 ? a5 ? a8 ? 8 , 4

则 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ... ? f (a9 ) ? _______________. 14. 已知 ?ABC 面积 S 和三边 a, b, c 满足: S ? a 2 ? (b ? c) 2 , b ? c ? 8 ,则 ?ABC 面积 S 的最大 值为_______________ . 15.本小题有(Ⅰ )、 (Ⅱ ) 、 (Ⅲ )三个选答题,请考生任 选一题做答.如果多做,则按所做的前一题计分. (Ⅰ )选修 4-1:几何证明选讲
P O A

O 的切线, A 为切点. PC 如图,已知 PA 是⊙
O 的一条割线,交⊙ O 于 B, C 两点,点 Q 是 是⊙

B Q C

弦 BC 的中点.若圆心 O 在 ?APB 内部,则 ?OPQ ? ?PAQ 的度数为________. (Ⅱ )选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? (e t ? e ? t ) ? ? 2 参数方程 ? 中当 t 为参数时,化为普通方程为_______________. ? y ? 1 (e t ? e ? t ) ? 2 ?
(Ⅲ )选修 4-5:不等式选讲 不等式 x ? 8 ? x ? 4 ? 2 的解集为__________________.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. 正四面体 ABCD 边长为 2. E , F 分别为 AC, BD 中点. (Ⅰ )求证: AC ? 平面 EFD ; (Ⅱ )求二面角 E ? FD ? C 的余弦值.
B F E D A

C

1 0 17. 观察下面一组组合数等式: 1? Cn ? n ? Cn ?1 ; 1 1 2 ? Cn ? n ? Cn ?1 ; 1 2 3 ? Cn ? n ? Cn ?1 ;

…… …… (Ⅰ ) 由以上规律,请写出第 k (k ? N * ) 个等式并证明; (Ⅱ )随机变量 X ~ B(n, p) ,求证: EX ? np .

18. 向量 a ? (sin

k? 1 3 k? x, ), b ? ( , cos x), k ? 0 .函数 f ( x) ? a ? b . 6 2 2 6

(Ⅰ ) 若 k ? 12 ,求函数 f ( x) 的单调减区间; (Ⅱ )将函数 f ( x) 的图像向左平移

2 ?上至 个单位得到函数 g ( x) ,如果函数 g ( x) 在 x ? (0, 2014 k

少存在 2014 个最值点,求 k 的最小值.

19. 设数列 ?an ? 的前 n 项的和 S n 与 an 的关系是 S n ? ?a n ? 1 ? (Ⅰ ) 求数列 ?an ? 的通项; (Ⅱ )求数列 ?S n ? 的前 n 项和 Tn .

1 ,n? N*. n 2

x2 y2 20. 椭圆 C1 以双曲线 C 2 : ? ? 1 的实轴为短轴、虚轴为长轴,且与抛物线 C3 : y 2 ? 12x 交 4 16
于 A, B 两点. (Ⅰ ) 求椭圆 C1 的方程及线段 AB 的长; (Ⅱ )在 C1 与 C3 图像的公共区域内,是否存在一点 P( x0 , y0 ) ,使得 C1 的弦 EF 与 C3 的弦 MN 相 互垂直平分于点 P ?若存在,求点 P 坐标,若不存在,说明理由.

21. 函数 f ( x) ? sin x . (Ⅰ )令 f1 ( x) ? f ' ( x), f n?1 ( x) ? f n' ( x), (n ? N * ) ,求 f 2014 ( x) 的解析式; (Ⅱ )若 f ( x) ? 1 ? ax ? cos x 在 ?0, ? ?上恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ )证明: f (

2? (n ? 1)? 3 2 (n ? 1) . )? f( ) ? ... ? f ( )? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 4(2n ? 1)

?

长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学 高 2014 届第二次模拟考试 数学(理)答案
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 10 小题,每小 题 5 分,共 50 分) 1. C 2. B 3. D 4. A 5. A 6. B 7. C 8.D 9. A 10. D

二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. ? 1 12. 3 13. -9 14.

64 0 15. (Ⅰ ) 90 (Ⅱ ) x 2 ? y 2 ? 1(Ⅲ ) ?x x ? 5?. 17

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.解: (1)由已知得

AC ? ED ,连接 AF 得 AC ? EF ,

? AC ? 平面 EFD .
(2)方法 1:过 A, E 分别作底面垂线,垂足分别为, 则 OF ?

3 3 , , GF ? 3 2

由 GF ? FD , 所以 ?GFE 为二面角 E ? FD ? C 的平面角,在 Rt ?EFC 中, EF ?

2,

?cos ?GFE = cos?CFE ?

2 3

?

6 . 3

方法 2:空间向量法.底面中心为 o ,以 OC, OD, OA 分别为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系。 由题意平面 DFC 的法向量为 OA ? (0,0,

2 6 2 3 2 6 ) .平面 EFD 的法向量为 CA ? ( ,0,? ), 3 3 3

所以二面角 E ? FD ? C 的余弦值 cos? ?

6 . 3

1 k ?1 17. 解: (1) k ? Cn ? n ? Cn ?1 ,证略. 1 2 n n (2)由二项分布得: EX ? Cn p(1 ? p) n?1 ? 2 ? Cn p(1 ? p) n?2 ....? nCn p 0 n?1 1 n?2 n?1 n ? nCn ? n ? Cn ....? nCn ?1 p(1 ? p) ?1 p(1 ? p) ?1 p ) 0 n?1 1 n ?2 n?1 n?1 ? np(Cn ? Cn ....? Cn ) ?1 (1 ? p) ?1 p(1 ? p) ?1 p

? np(1 ? p ? p) n?1 ? np .

18.解: (1) f ( x) ? a ? b ? sin( 所以减区间为 ?k ? (2) g ( x ) ? cos 个周期,

k? ? ? x ? ) , k ? 12 时 f ( x) ? sin( 2?x ? ) 6 6 6

? ?

1 2? ,k ? ?. 6 3?

k? 12 x ,周期为 T ? ?上至少有 1007 , 每一个周期有两个最值点, 所以 x ? (0, 2014 6 k

12 ? 1007 ? 2014, k ? 6 ,所以 k 的最小值为 6. k 1 1 3 n , a 2 ? , a3 ? 得 a n ? n ?1 . 4 4 16 2 1 1 n n ?1 得 2 a n ? 2 a n ?1 ? , n 2 2

19.解: (1)方法 1:数学归纳法证明:由 a1 ? 数学归纳法证明略.

方法 2: n ? 2 时,由 S n ? S n ?1 ? ?a n ? a n ?1 ? 所以 2 a n ? 2 ? a1 ? (n ? 1) ?
n

1 n , a n ? n ?1 . 2 2 n?2 3 4 n?2 (2)由(1)得 S n ? 1 ? n ?1 , 所以 Tn ? n ? ( 2 ? 3 ? n ?1 ) , 2 2 2 2 n?4 由错位相消法得 Tn ? n ? 2 ? n ?1 . 2

x2 y2 20. 解: (1)椭圆 C1 : ? ? 1 ;联立方程组解得 A(1,2 3), B(1,?2 3) ,所以 AB ? 4 3 . 4 16
( 2 )假设存在,由题意将 E , F 坐标带入 C1 做差得 k EF ? ?

16 x0 ,将 M , N 坐标带入 C3 得 4 y0

k MN ?

6 2 ,? k EF ? k MN ? ?1,? y0 ? 24x0 ? 12x0 ,故满足条件的 P 点在抛物线 C3 外,所以不 y0

存在这样的点 P .

21.解:(Ⅰ ) f1 ( x) ? cos x, f 2 ( x) ? ? sin x, f 3 ( x) ? ? cos x, f 4 ( x) ? sin x …周期为 4,

? f 2014 ( x) ? f 503?4?2 ( x) ? f 2 ( x) ? ? sin x .
(Ⅱ )方法一:即 sin x ? 1 ? ax ? cos x 在 ?0, ? ?上恒成立, 当 x ? 0 时, a ? R ; 当 x ? ?0, ? ?时, a ?

sin x ? cos x ? 1 sin x ? cos x ? 1 ,设 g ( x ) ? , x x (cos x ? sin x) x ? (sin x ? cos ? 1) x cos x ? x sin x ? sin x ? cos x ? 1 g ' ( x) ? ? , x2 x2

设 h( x) ? x cos x ? x sin x ? sin x ? cos x ? 1 ,

? ? h ' ( x) ? x(cosx ? sin x) ,则 x ? (0, ) 时 h ' ( x) ? 0 , h( x) 增; x ? ( , ? ?, h( x) 减. 4 4 ? ? 而 h(0) ? 0, h( ) ? 0, h(? ) ? 0 ,所以 h( x) 在 ( , ? ? 上存在唯一零点,设为 x0 ,则 4 4
x ? (0, x0 ), h( x) ? 0, g ( x) ? 0; x ? ( x0 , ? ?, h( x) ? 0, g ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 x0 处取得最大值,在

x ? ? 处取得最小值,? a ? g (? ) ?
综上:? a ?

2

?

.

2

?

.
'

方法二:设 g ( x) ? sin x ? 1 ? ax ? cos x , g ( x) ? cos x ? a ? sin x ?

2 sin( x ?

?
4

)?a.

? x ? ?0, ? ?,? 2 sin( x ?

?
4

) ? ? 1, 2 .

?

?

' 当 a ? ?1 时, g ( x) ? 0 在 ?0, ? ?上恒成立,? g ( x) ? g ( x) min ? g (0) ? 0 成立,故 a ? ?1 ;

当a ?

2 时, g ' ( x) ? 0 在 ?0, ? ?上恒成立, g ( x) min ? g (? ) ? 2 ? ?a ? 0 得 a ?

2

?

,无解.

当 ?1 ? a ?

2 时,则存在 x0 ? (0, ? ?使得 x ? (0, x0 ) 时 g ( x) 增, x ? ( x0 , ? ? 时 g ( x) 减,

故 g ( x) min ? ?g (0), g (? )?,? ? 综上:? a ?

? g (0) ? 0 2 2 ,解得 a ? ,故 ? 1 ? a ? . ? ? ? g (? ) ? 0

2

?

.

(Ⅲ )由(Ⅱ )知: x ? ?0, ? ? 时 sin x ? 1 ? 即 2 sin( x ?

2

?
4

?

x ? cos x ,? sin x ? cos x ?

2

?

x ?1

)?

2

k? ? ? ?? , 2n ? 1 4 k? k? ? ? 2 k? ? 2k 1 ? 2 sin ? 2 sin( ? ? )? ( ? ) ?1 ? ? , 2n ? 1 2n ? 1 4 4 ? 2n ? 1 4 2n ? 1 2
当 1 ? k ? n ? 1 时, 0 ?

?

x ?1 .

? ? 2? (n ? 1)? ? 2 1 2(n ? 1) 1 ? 2? f ( )? f( ? ... ? f ( )? ? ( ? ) ? ... ? ( ? 2n ? 1) 2n ? 1 ? 2n ? 1 2 2n ? 1 2 ? 2n ? 1)
=

2 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 3(n ? 1) ? ? ? , 2n ? 1 2 2 2(2n ? 1)

? f(

2? (n ? 1)? 3 2 (n ? 1) . )? f( ) ? ... ? f ( )? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 4(2n ? 1)

?


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