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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版必修二【配套备课资源】空间两点式距离公式


3.3

3.3
[学习要求]
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空间两点间的距离公式

1.了解推导出空间两点间的距离公式的过程; 2.会应用空间两点间的距离公式求空间中的两点间的距离. [学法指导] 通过由平面上两点间的距离公式,猜想空间两点距离公式, 然后由空间特殊的两点距离向一般的两点距离过渡,从而推 导出空间两点间距离公式,经历从易到难,从特殊到一般的 认识过程.

填一填·知识要点、记下疑难点

3.3

1. 数轴上两点 P1(x1), 2(x2)间距离|P1P2|=|x1-x2| , P 特别地, A(x) 点
本 到原点距离为|OA|= |x| . 课 时 2.平面直角坐标系中,两点 P (x ,y ),P (x ,y )间距离|P P |= 1 1 1 2 2 2 1 2 栏 目 ?x2-x1?2+? y2-y1?2,特别地,点 A(x,y)到原点距离为|OA|= 开 关 x2+y2

.

3.空间两点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)的距离公式是|AB|=

?x2-x1?2+?y2-y1?2+?z2-z1?2.特别地,点 A(x,y,z)到原点 x2+y2+z2 . 的距离公式为|OA|=

研一研·问题探究、课堂更高效

3.3

[问题情境]
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我们已经学习了平面上任意两点 A(x1,y1),B(x2,y2)之 间的距离公式|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2.那么空间中任 意两点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)之间距离的公式是怎 样的?本节我们就来探讨这个问题.

研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 问题 1 求长方体对角线的长

3.3

在图中,连接长方体两个顶点 A,

C′的线段 AC′,AC′是长方体一条对
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角线,那么你能给长方体的对角线下一个 定义吗?
答 长方体中,不同在同一个平面内的两个顶点的连线称为 长方体的对角线.

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问题 2

3.3

建筑用砖通常是长方体,我们很容易用尺子测量出一

块砖的长、宽、高,那么怎样测量它的对角线的长度?

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直接测量比较困难,我们可以用间接的方法去测量,如下

图所示,如果有三块砖,按照图(1)的方式码放,可以测量 AC′的长度;如果有两块砖,按照图(2)的方式码放,也可以 测量AC′的长度.

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导引 如图,一块砖的长、宽、高分别为 a,b,c,怎样计算 长方体的对角线的长?

3.3

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问题 3 如导引中的图,在底面 ABCD 中,如何计算线段 AC 的长度?

问题 4 答
小结

在 Rt△ABC 中,由勾股定理可知,|AC|= a2+b2.
如导引中的图, 想一想, 如何计算线段 AC′的长度? 在 Rt△ACC′中, 由勾股定理可知, |AC′|= a2+b2+c2.
一般地,如果长方体的长、宽、高分别为 a、b、c,那

么对角线长 d= a2+b2+c2.

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探究点二 空间中两点的距离公式

3.3

问题 1 在平面上任意两点 A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离的 公式是什么?
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答 |AB| = ?x1-x2?2+?y1-y2?2.
问题 2 你能猜想出空间中任意两点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2, z2)之间的距离的公式吗?
答 |AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2+?z1-z2?2. 问题 3 在空间直角坐标系中,坐标轴上的点 A(x,0,0),B(0,y,0),
C(0,0,z),与坐标原点 O 的距离分别是什么?
答 |OA|=|x|,|OB|=|y|,|OC|=|z|.

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3.3

问题 4 在空间直角坐标系中, 如何求原点 O(0,0,0)与点 P(x0, y0,z0)的距离?
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作一个棱在坐标轴上、 O, 为顶点的 以 P

长方体,如右图,O,P 两点的距离就是长方 体对角线的长. 由于长方体的长、 高|OA|, 宽、 |OB|, |OC|
分 别 为 |x0| , |y0| , |z0| , 所 以 |OP| = |OA|2+|OB|2+|OC|2 = x2+y2+z2. 0 0 0

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问题 5 如何求空间中任意两点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)

3.3

之间的距离?

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作长方体如右图所示:AB 是长方体的对角线,长方体的

每一条棱都与坐标轴平行.

易知,C,D 两点坐标分别为(x1,y2,z1), (x2,y2,z1).由于 AC 平行于 y 轴, 所以|AC|=|y1-y2|,
同理有|CD|=|x1-x2|,|DB|=|z1-z2|.由长方体对角线长公 式,得|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2+?z1-z2?2.

小结

空间中两点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)之间的距

离公式为:|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2+?z1-z2?2.

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探究点三 空间中两点间的距离公式的应用 例 1 给定空间直角坐标系,在 x 轴上找一点 P,使它与点 P0(4,1,2)的距离为 30.
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3.3



设 点 P 的 坐 标 是 (x,0,0) , 由 题 意 , |P0P| = 30 , 即

?x-4?2+12+22= 30,所以(x-4)2=25.
解得 x=9 或 x=-1. 所以点 P 的坐标为(9,0,0)或(-1,0,0). 小结 空间两点间的距离公式与平面解析几何中求平面上两 点间的距离类似,只是多了一个 z 坐标的差的平方.公式的记 忆方法:同名坐标差的平方和的算术根.

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3.3

跟踪训练 1 在 z 轴上求一点 M,使点 M 到点 A(1,0,2)与点 B(1,-3,1)的距离相等.

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设点 M 的坐标是(0,0,z).依题意,得 ?0-1?2+?0-0?2+?z-2?2

= ?0-1?2+?0+3?2+?z-1?2. 解得 z=-3.

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3.3

例 2 在 xOy 平面内的直线 x+y=1 上确定一点 M,使 M 到 点 N(6,5,1)的距离最小.
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解 由已知,可设 M(x,1-x,0), 则|MN|= ?x-6?2+?1-x-5?2+?0-1?2= 2?x-1?2+51 所以,当 x=1 时,|MN|min= 51. 故点 M 为(1,0,0). 小结 在空间直角坐标系中, xOy 平面内的点的坐标的一般形 式为(x,y,0),由于点 M 又在直线 x+y=1 上,所以点 M 的 y 坐标为 1-x.

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跟踪训练2 在yOz平面上求与三个已知点A(3,1,2),B(4, -2,-2),C (0,5,1)等距离的点的坐标. ?|PA|=|PC| ? 解 设 P(0,y,z),由题意? , ?|PB|=|PC| ? 所以
? ? ? ? ?

3.3

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?0-3?2+?y-1?2+?z-2?2= ?0-0?2+?y-5?2+?z-1?2 ?0-4?2+?y+2?2+?z+2?2= ?0-0?2+?y-5?2+?z-1?2
?y=1 ? ,所以? ?z=-2 ?

?4y-z-6=0 ? 即? ?7y+3z-1=0 ?



所以点 P 的坐标是(0,1,-2).

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例 3 如 右 图 , 正 方 体 OABC -

3.3

D′A′B′C′的棱长为 a,|AN|=2|CN|, |BM|=2|MC′|.求 MN 的长.
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?a 2a ? 的坐标为?3, 3 ,0?,点 ? ?



由已知,得点 N

M 的坐标为

?a 2a? ? ,a, ?, 3? ?3

于是|MN|=
小结

?a a? ?2a ? ? 2a?2 2 2 ? - ? +? -a? +?0- ? = 3? ?3 3? ?3 ? ?

5 3 a.

在求解此类问题时,关键是能根据已知图形,建立适

当的空间直角坐标系,正确写出相关点的坐标.

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跟踪训练 3 求证:以 A(10,-1,6),B(4,1,9),C(2,4,3)三点 为顶点的三角形是等腰直角三角形.
证明
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根据空间两点间距离公式,得

|AB|= ?10-4?2+?-1-1?2+?6-9?2=7, |BC|= ?4-2?2+?1-4?2+?9-3?2=7, |AC|= ?10-2?2+?-1-4?2+?6-3?2= 98. 因为|AB|2+|BC|2=|AC|2,且|AB| = |BC|,所以△ABC 是等腰 直角三角形.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.3

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1.点 P(1, 2, 3)到原点 O 的距离是 A. 6 B. 5 C.2 D. 3

( A )

解析 d= 12+? 2?2+? 3?2= 6.

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2.若 P(x,2,1)到 Q(1,1,2),R(2,1,1)的距离相等,则 x 的值为 ( B )
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1 A. 2

B.1

3 C. 2

D.2

解析 由 ?x-1?2+?2-1?2+?1-2?2
= ?x-2?2+?2-1?2+?1-1?2,解得 x=1.

练一练·当堂检测、目标达成落实处
3.已知点 A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则 A、B 两点距离的 最小值为 5 A. 5
解析

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( C ) 55 B. 5 3 5 C. 5 D.2

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由距离 公式 |AB|= ?2-1+t?2+?t-1+t?2+?t-t?2 = ? 1?2 9 2 5t -2t+2= 5?t-5? +5, ? ? 1 3 5 显然当 t=5时,|AB|min= 5 ,即 A、B 两点之间的最短距离为 3 5 5 .

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-5 或 7 4.若 A(4,-7,1),B(6,2,z),|AB|=11,则 z=________.

解析 ∵|AB|=11,
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∴(6-4)2+(2+7)2+(z-1)2=112, 化简得(z-1)2=36,即|z-1|=6,∴z=-5 或 z=7.

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3.3

空间中两点的距离公式,是数轴上和平面上两点间距离公式的进
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一步推广,反之,它可以适用于平面和数轴上两点间的距离的求 解 . 设 P1(x1 , y1 , z1) , P2(x2 , y2 , z2) , 则 |P1P2| = ?x2-x1?2+?y2-y1?2+?z2-z1?2, P1, 2 两点落在坐标平面内或 当 P 与坐标平面平行的平面内时,此公式可转化为平面直角坐标系中 的两点间距离公式,当两点落在坐标轴上时,则公式转化为数轴 上两点间距离公式.


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