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2015 各区期末第21题 圆综合(附答案)


(2015 海淀期末)21.如图,四边形 ABCD 是平行四边形,点 A,B,C 在⊙O 上,AD 与⊙ O 相切,射线 AO 交 BC 于点 E,交⊙O 于点 F.点 P 在射线 AO 上,且∠PCB=2∠BAF. (1)求证:直线 PC 是⊙O 的切线;
D

(2)若 AB= 10 ,AD=2,求线段 PC 的长.
C O


A

E B

F P

(2015 西城期末)21.如图,在⊙O 中,弦 BC,BD 关于直径 AB 所在直线对称.E 为半径 OC 上一点, OC ? 3OE ,连接 AE 并延长交⊙O 于点 F,连接 DF 交 BC 于点 M. (1)请依题意补全图形; (2)求证: ?AOC ? ?DBC ; (3)求
BM 的值. BC

(2015 东城期末)21.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,以 AB 为直径的⊙O 与边 AC 交于 点 D,过点 D 的直线交 BC 边于点 E,∠BDE=∠A. (1)证明:DE 是⊙O 的切线; (2)若⊙O 的半径 R=5,tanA= 3 ,求线段 CD 的长. 4

(2015 朝阳期末)22.如图,在△ABC 中,BA=BC,以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC,BC 于 点 D,E,BC 的延长线 与⊙O 的切线 AF 交于点 F. F (1)求证:∠ABC=2∠CAF; C E (2)若 AC= 2 10 ,CE:EB=1:4,求 CE,AF 的长. D

A

O

B

(2015 石景山期末)21.已知:如图,Rt △AOB 中 , ?O ? 90 ? ,以 OA 为半径作⊙ O, BC 切⊙ O 于点 C,连接 AC 交 OB 于点 P. (1)求证:BP=BC; (2)若 sin ?PAO ? 求⊙ O 的半径.

A P C

1 ,且 PC=7, 3

B

O

(2015 丰台期末)21.如图,PB 切 BA⊥PE 交

O 于点 B,联结 PO 并延长交 O 于点 E,过点 B 作
A

O 于点 A,联结 AP,AE. O 的切线;
1 ,求 O 的半径. 2
P

(1)求证:PA 是

(2)如果 OD=3,tan∠AEP=

D B

O

E

(2015 昌平期末)21.已知: 如图,在 Rt△ AB C 中,∠ C=90°,BD 平分∠ABC,交 AC 于点 D,经过 B、D 两点的⊙ O 交 AB 于点 E,交 BC 于点 F, EB 为⊙ O 的直径. (1)求证:AC 是⊙ O 的切线; (2)当 BC=2,cos∠ABC ?

D A

C F O B

1 时,求⊙ O 的半径. 3

E

(2015 顺义期末)23.如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,CD 与⊙O 相切, AD∥BC, 连结 OD,AC. (1)求证:∠B=∠DCA;
D

5 (2)若 tan B= ,OD= 3 6 , 2
求⊙O 的半径长.
A O

C

B

(2015 海淀期末)21.(本小题满分 5 分) 解:(1)连接 OB,OC. ∵AD 与⊙O 相切于点 A,∴FA⊥AD. ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,∴FA⊥BC.…………………1 分 ∵FA 经过圆心 O, ∴OF⊥BC 于 E, CF ? BF .

D C O

A

E B

F P

∴∠OEC=90° ,∠COF=∠BOF. ∵∠BOF=2∠BAF.∴∠COF=2∠BAF. ∵∠PCB=2∠BAF,∴∠PCB=∠COF. ∵∠OCE+∠COF=180° , ? ∠OEC=90° ∴∠OCE+∠PCB=90° ,即∠OCP=90° .∴OC⊥PC. ∵点 C 在⊙O 上,∴直线 PC 是⊙O 的切线.………………………………2 分 (2)∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴BC=AD=2.∴BE=CE=1. 在 Rt△ABE 中,∠AEB=90° ,AB= 10 , ∴ AE ?

AB2 ? BE 2 ? 3 .…………………………………………………………3 分
2 2

设⊙O 的半径为 r,则 OC ? OA ? r , OE ? 3 ? r . 在 Rt△OCE 中,∠OEC=90° ,∴ OC 2 ? OE 2 ? CE 2 .∴ r ? ? 3 ? r ? ? 1 . 解得 r ?

5 .…………………………………………………………………………4 分 3

∵∠COE=∠PCE,∠OEC=∠CEP =90° ,

5 5 OE OC 3? 3 . ? ∴△OCE∽△CPE.∴ .∴ CE CP 1 CP 3?
∴ CP ?

5 .……………………………………………………………………………5 分 4

(2015 西城期末)21.(1)补全图形见图 5.………………1 分 (2)证明:∵ 弦 BC,BD 关于直径 AB 所在直线对称, ∴ ∠ DBC=2∠ ABC.……………………………2 分 又∵ ?AOC ? 2?ABC , ∴ ?AOC ? ?DBC .……………………………3 分 (3)解:∵ BF=BF , ∴ ∠A=∠D. 图5 又∵ ?AOC ? ?DBC , ∴ △AOE∽△DBM.……………………………………………………… 4 分

OE BM . ? OA BD ∵ OC ? 3OE ,OA =OC, BM OE OE 1 ∴ ? ? ? . BD OA OC 3
∴ ∵ 弦 BC,BD 关于直径 AB 所在直线对称, ∴ BC=BD. ∴

BM BM 1 ? ? .………………………………………………………… 5 分 BC BD 3

(2015 东城期末)21. (1)解:连接 OD. ∵OA=OD, ∴∠ODA=∠A. 又∵∠BDE=∠A, ∴∠ODA=∠BDE. ∵AB 是⊙O 直径, ∴∠ADB=90.° 即∠ODA+∠ODB=90°. ∴∠BDE+∠ODB=90°. ∴ ?ODE ? 900 . ∴DE 是⊙O 的切线.…………………2分 (2)∵R=5, ∴AB=10.

A O B E

D C

在Rt?ABC中,
∵tanA=

BC 3 = , AB 4

3 15 ∴BC= AB·tanA=10× = . 4 2

∴AC=

25 ? 15 ? AB 2 ? BC 2 ? 102 ? ? ? ? . ……………3分 2 ? 2?

2

∵∠BDC=∠ABC=90°,∠BCD=∠ACB, ∴△BCD∽△ACB . ∴
[来源:学+科+网]

CD CB ? . CB CA
15 ( )2 9 2 ? . 25 2 2
……………5分

2 ∴ CD ? CB ? CA

(2015 朝阳期末)22. (1)证明:如图,连接 BD. ∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ADB=90° .…………………………………… 1 分 ∴∠DAB+∠ABD=90° . ∵AF 是⊙O 的切线, ∴∠FAB=90° .…………………………………… 2 分 即∠DAB +∠CAF =90° . ∴∠CAF=∠ABD. ∵BA=BC,∠ADB=90° , ∴∠ABC=2∠ABD. ∴∠ABC=2∠CAF.………………………………… 3 分 (2)解:如图,连接 AE. ∴∠AEB=90° . 设 CE= x, ∵CE:EB=1:4, ∴EB=4x,BA=BC=5x,AE=3x. 在 Rt△ACE 中,AC2=CE2+AE2. 即( 2 10 )2= x 2+(3x) 2.

F C E D

A

O

B

∴x =2. ∴CE=2.…………………………………………………………… 4 分 ∴EB=8,BA=BC=10,AE=6. AE AF ? ∵ tan ∠ABF ? . EB BA 6 AF ∴ ? . 8 10 ∴AF=

15 . …………………………………………………………… 5 分 2

(2015 石景山期末)21.(1)证明:连接 OC BC 是⊙ O 切线

………………1 分

??OCB ? 90? ??OCA ? ?BCA ? 90?

A B C

? OA ? OC
??OCA ? ?OAC

P

O

?O ? 90? ??OAC ? ?APO ? 90? ?APO ? ?BPC ??OAC ? ?BPC ? 90? ??BPC ? ?BCA

? BC ? BP
在 Rt ?AOP 中

………………2 分

(2) 延长 AO 交⊙ O 于点 E,连接 CE

A B C

sin ?PAO ?
? ?

1 3 设 OP ? x, AP ? 3x
则 AO ? 2 2 x ………3 分

P

O E

AO ? OE, ?OE ? 2 2 x ? AE ? 4 2 x

sin ?PAO ? ?

1 3

CE 1 ? AE 3 AC 2 2 ? ? AE 3 3x ? 7 2 2 ? ? 3 4 2x
解得:x=3

………4 分

? AO ? 6 2

……………5 分

(2015 丰台期末)21.(1)证明:如图,联结 OA,OB . ∵PB 是⊙O 的切线, ∴ ∠PBO=90° . ∵ OA=OB,BA⊥PE 于点 D, ∴ ∠POA=∠POB. 又∵ PO=PO, ∴ △PAO≌△PBO.∴ ∠PAO=∠PBO=90° . ∴PA⊥OA. ∴ 直线 PA 为⊙O 的切线. (2)在 Rt△ADE 中,∠ADE=90°, ∵tan∠AEP= ------- 3 分
[来源:Zxxk.Com] [来源:学§科§网]

------- 1 分

------- 2 分

A

P

D B

O

E

AD 1 = ,∴设 AD=x,DE=2x.----- 4 分 DE 2

∴OE=2x—3. 在 Rt△AOD 中,由勾股定理 ,得

(2x-3)2=x2+32.

------5 分

解得,x1=4,x2=0(不合题意,舍去).∴ AD=4,OA=OE=2x- 3=5. 即⊙O 的半径的长 5. ------ 6 分

(2015 昌平期末)21(1)证明: 如图,连结 OD . ∴ OD ? OB . ∴ ?1 ? ? 2 . ∵ BD 平分 ?ABC , ∴ ?1 ? ?3 . ∴ ? 2 ? ?3 . ∴ OD ∥ BC . ∴ ?ADO ? ?C ? 90 °. ∴ OD ⊥ AC . ∵ OD 是⊙ O 的半径, ∴ AC 是⊙ O 的切线. …………………………………………2 分 (2)解:在Rt△ACB中, ?C ? 90 ,BC=2 , cos∠ABC ? ∴ AB ? …………………………..1 分

D
2

C F
1 3

A

E

O

B

1 , 3

BC ? 6. …………………………………… 3分 cos ?ABC 设 ⊙O 的半径为 r ,则 AO ? 6 ? r .
∵ OD ∥ BC , ∴ △ AOD ∽△ ABC .

OD AO ? . BC AB r 6?r ? ∴ . 2 6 3 解得 r ? . 2
∴ ∴ ⊙O 的半径为

3 . 2

…………………………………… 5 分

(2015 顺义期末)23. (1)证明:连结 OC. ∵CD 与⊙O 相切,OC 为半径, ∴∠2+∠3=90° ,………………………..1 分 ∵AB 是⊙O 的直径,

D 3 2

C

1 A O

B

∴∠ACB=90° ,…………………………2 分 ∴∠1+∠B=90° , 又∵OA=OC, ∴∠1=∠2, ∴∠3=∠B.…………………………....3 分
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

(2)解: ∵AD∥BC,AB 是⊙O 的直径, ∴∠DAC=∠ACB=90° , ∵∠1+∠B=90° ,∠2+∠3=90° ,∠1=∠2, ∴∠B=∠3, ∴△ABC∽△DCA,…………………….4 分 ∴

AC BC , ? DC AB

∵∠B 的正切值为

5 , 2

设 AC= 5k ,BC=2k,则 AB=3k, ∴

5k 2 3 5k ,……………….......................5 分 ? , DC ? DC 3 2

在△ODC 中,OD= 3 6 ,OC=k,
2 ? 3 5k ? 2 ∴? , ? 2 ? ? +k ? 3 6 ? ? 2

?

?

∴解得 k=2, ∴⊙O 的半径长为 3. …………………………………………...6 分


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