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全国通用2017届高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数2.8函数模型及函数的综合应用课件理


高考理数
§2.8 函数模型及函数的综合应用

知识清单
1.三种函数模型图象与性质的比较
函数 性质 在(0,+∞) 上的增减性 增长速度 图象的变化 越来越快 随x的增大 逐渐表现为 与y轴平行 值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有 logax<xn<ax 越来越慢 随x的增大 逐渐表现为 与 x轴 平行 相对平稳 随n值变化 而各有不同 单调 递增 单调递增 单调递增 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0)

2.解函数应用题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数 学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:

?

【知识拓展】 对常见函数模型的理解 (1)直线模型:即一次函数模型y=kx+b(k≠0),其增长特点是直线上升(x的系数k>0),通过图象可以 很直观地认识它. (2)指数函数模型:形如y=abx+c(b>0,且b≠1,a≠0)的函数模型,其增长特点是随着自变量的增大, 函数值增大的速度越来越快(a>1),常形象地称之为“指数爆炸”. (3)对数函数模型:形如y=mlogax+n(a>0,且a≠1,m≠0)的函数模型,其增长特点是开始阶段增长得 较快(a>1),但随着x的逐渐增大,其函数值增长的速度越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”. (4)幂函数模型:形如y=axn+b(a≠0)的函数模型,其增长情况随y=xα中α的取值变化而定,常见的有 二次函数模型.
b (a,b>0)的函数模型,其图象如下: (5)“对勾”函数模型:形如f(x)=ax+? x

?
其在很多数学问题中有广泛的应用,常利用基本不等式解决,有时利用函数的单调性求解最 值.

突破方法
方法1 一次函数、二次函数模型(分段函数模型)

1.在现实生活中,有很多问题的两变量之间的关系是一次函数关系,对这类问题,可以构建一
次函数模型,其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0).有 些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.对这类问题,可以 构建二次函数模型,利用二次函数图象与单调性解决. 2.当两变量之间的关系不能用同一个关系式表示,而是由几个不同的关系式构成时,可以构造分 段函数模型,先将其看作几个不同问题,将各段的变化规律找出来,再将其合在一起,要注意各段 自变量的范围,特别是端点值. 例1 (2015上海松江一模)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表 明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖 密度x(单位:尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时,v的值为2千克/年;当4<x≤20时,v是x的一 次函数;当x达到20尾/立方米时,因缺氧等原因,v的值为0千克/年. (1)当0<x≤20时,求函数v关于x的函数表达式;

(2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)可以达到最大?并求出最大值. 解析 (1)由题意得当0<x≤4时,v=2; 当4<x≤20时,设v=ax+b,显然v=ax+b在[4,20]内是减函数,
1 ? a?? , ? ?20a ? b ? 0, ? v=-? 8 x+?, 由已知得? 所以 ? 解得 ? ?4a ? b ? 2, ?b ? 5 , ? ? 2 0 ? x ? 4, ?2,       故函数v= ? ? 1 5 ? x ? , 4 ? x ? 20. ? 2 ? 8

?

1 8

5 2

?

(2)设年生长量为f(x)千克/立方米,依题意并由(1)可得 f(x)= ?
0 ? x ? 4, ?2 x,       ? ? 1 5 ? x 2 ? x, 4 ? x ? 20, ? 2 ? 8

当0<x≤4时, f(x)为增函数,故f(x)max=f(4)=4×2=8;
2 2 2 当4<x≤20时, f(x)=-? )=-?(x-10) 1 x+ 5?x=1 ?(x -20x1 100+?, f(x)max=f(10)=12.5.

所以当0<x≤20时, f(x)的最大值为12.5.

8

2

8

8

8

即当养殖密度为10尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值为12.5千克/立方米. 1-1 (2016四川德阳四校联考,19,12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状 况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥 上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时, 车流速度为60千米/小时.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数. (1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式; (2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x· v (x)可以达到最大?并求出最大值.(精确到1辆/小时) 解析 (1)由题意知:当0≤x≤20时,v(x)=60; 当20<x≤200时,设v(x)=ax+b.
1 ? a ? ? , ?200a ? b ? 0, 解得 ? ? 3 再由已知得? ? ? ?20a ? b ? 60, ?b ? 200 . ? 3 ?

?

故函数v(x)的表达式为

0 ? x ? 20, ?60,        ? v(x)= ? 1 (200 ? x), 20 ? x ? 200. ? ?3

?

(2)依题意并由(1)可得
0 ? x ? 20, ?60 x,        ? f(x)= ? 1 x(200 ? x), 20 ? x ? 200. ? ?3

?

当0≤x≤20时, f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1 200;
1 x(200-x)≤ 1? ? (200 ?, x) ? ? x? 当20<x≤200时, f(x)=? =? 3 3? ?
2 ? ?
2

10 000 3

当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立.
10 . 000 所以,当x=100时, f(x)在区间(20,200]上取得最大值? 3 综上,当x=100时, f(x)在区间[0,200]上取得最大值? 3 333,即当车流密度为100辆/千米时, 10 ≈ 000 3

车流量可以达到最大,最大值约为3 333辆/小时.

方法2

指数函数与对数函数模型

1.指数函数模型常与人口增长、银行利率、细胞分裂等相结合进行考查;而对数函数模型 常与价格指数、环境承载力等有一定的联系. 2.应用指数函数模型与对数函数模型时,关键是对模型的判定,但现在高考对这方面的要求不高. 常见的题型是先设定模型,将有关的已知数据代入,确定其参数,从而确定模型. 3.建立了形如:y=a· bx+c+d或y=alogb(cx+d)(b>0,且b≠1)的函数模型之后,通常利用指数函数或对数 函数的性质及函数图象来处理. 例2 (2016湖南长沙模拟)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快,欲将这种食品价格控制在 适当范围内,决定给这种食品生产厂家提供政府补贴,设这种食品的市场价格为x元/千克,政府补 贴为t元/千克,根据市场调查,当16≤x≤24时,这种食品日供应量p万千克、日需量q万千克近似

地满足关系:p=2(x+4t-14)(t>0),q=24+8ln?.当p=q时的市场价格称为市场平衡价格.
(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数,并求出函数的值域; (2)为使市场平衡价格不高于20元/千克,政府补贴至少为多少元/千克? 解析 (1)由p=q得2(x+4t-14)=24+8ln?(16≤x≤24,t>0),

13 1 20 2 4 x 1 1?<0,∴t是x的减函数. ∵t'=-? 4 x 13 -? 1 ×24+ln 20 1?+ln 20? 1=?5 ∴tmin=? ?= +ln?; 2 4 24 2 24 2 6 13 -? 1 ×16+ln 20 5?+ln 5 ?, tmax=? ?= 2 4 16 2 4

即t=?-?x+ln?(16≤x≤24).

∴值域为? ?1 .

5 5 5? ? ln , ? ln ? ? 6 2 4? ?2 (2)由(1)知t=? ?(16≤x≤24). 13 -? 1 x+ln 20 2 4 x 而当x=20时,t=? ?=1.5, 13 -? 1 ×20+ln 20 2 4 20

∵t是x的减函数,∴欲使x≤20,必须使t≥1.5. ∴要使市场平衡价格不高于20元/千克,政府补贴至少为1.5元/千克. 2-1 (2016山西太原二模,19,12分)请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方 形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点 重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角

三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm). (1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的 比值.

?
60 ? 2 x =? (30-x),0<x<30. 解析 设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm).由已知得a=? 2 x,h=? 2 2

(1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15) +1 800,

2

所以当x=15时,S取得最大值. (2)V=a2h=2?2 (-x3+30x2),V'=6?2 x(20-x). 由V'=0得x=0(舍)或x=20. 当x∈(0,20)时,V'>0;当x∈(20,30)时,V'<0. 所以当x=20时,V取得极大值,也是最大值.
h =? 1 .即包装盒的高与底面边长的比值为? 1. 此时? a 2 2


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