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湖北省黄冈市2013届高三数学交流试题(理科)(黄州区一中选送)


黄 冈 市 2013 届 高 三 数 学 交 流 试 卷( 理 科 )
命题学校:黄州区一中 命题人:杨安胜 审题人:江志伟 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题只有一项是符合题目要求的。 1.已知 z∈C,若|z|- z =2-4i,则 A.1 B.-1 C.i

4 ? 3i 的值是( z
D.- i<

br />


2.若 ? 为锐角,且 sin(? ? A. ?

?
4

)?

24 25

B.

24 25

3 ,则 cos 2? ? ( 5 7 C. ? 25

) D.

7 25

3.设抛物线的顶点在原点,其焦点在 y 轴上,又抛物线上的点 P(k,-2)与焦点 F 的距 离为 4,则 k 等于( ) A.4 B.4 或-4 C.-2 D.-2 或 2
2 4.某校 1 000 名同龄学生的体重 X ? kg ? 服从正态分布 N ? , 2 ,且正态分布的密度曲线

?

?

如下图所示,若 58.5 ~ 62.5 kg 体重属于正常情况, 则这 1 000 名学生中体重属于正常情 况的人数约是(其中 Ф ?1? ? 0.8413 ) ( )

y

o
A. 683

58.5

60.5

62.5

x
C. 954 D. 997 )

B. 819

5.函数 f ? x ? ?

x ? 3 ? 12 ? 3x 的值域为 (
B. ?1, ? 3? ? ? 3? C. ?1, ? ? 2?

A. ?1, ?

2? ?

D.

?1, 2?


6.已知 y=f(x)=ln|x|,则下列各命题中,正确的命题是 ( A.x>0 时, f ?(x) = B.x>0 时, f ?(x) =
1 1 ,x<0 时, f ?(x) =- ; x x 1 ,x<0 时, f ?(x) 无意义 ; x
1 x

C.x≠0 时,都有 f ?(x) =



D.∵x=0 时 f(x)无意义,∴对 y= ln|x|不能求导 7.已知方程 x2+

x 1 - =0 有两个不等实根 a 和 b,那么过点 A(a,a2)、B(b,b2)的直线与 sin? tan ?
D.随θ 值的变化而变化
1

圆 x2+y2=1 的位置关系是 ( ) A.相交 B.相切 C.相离

8.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 (a4 ? 1) ? 2007(a4 ? 1) ? 1,
3

(a2004 ? 1)3 ? 2007(a2004 ? 1) ? ?1, 则下列结论中正确的是 A. S2007 ? 2007, a2004 ? a4 B. S2007 ? 2007, a2004 ? a4 C. S2007 ? 2008, a2004 ? a4 D. S2007 ? 2008, a2004 ? a4

(

)

9.学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项,已知会唱歌的有 2 人,会跳舞的有 5 人, 现从中选 2 人.设 ? 为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,且 P (? ? 0) ? 的人数为 A. 5 ( ) B. 6

7 ,则文娱队 10

C. 7

D. 8

10.三个半径为 R 的球互相外切,且每个球都同时与另两个半径为 r 的球外切.如果这两 个半径为 r 的球也互相外切,则 R 与 r 的关系是 A. R ? r B. R ? 2 r C. R ? 3r D. R ? 6 r ( )

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11.设命题 P:函数 f(x)==x+

a (a>0)在区间(1, 2)上单调递增;命题 Q:不等式|x-1|-|x+2|<4a x

R 对任意 x∈ 都成立.若“P 或 Q”是真命题,“P 且 Q”是假命题,则实数 a 的取值范围是 _______。

1 12.已知极限 lim (n·sin )=1, 则极限 lim n?? n?? n

2n ? n 2 sin 2n ? 1

1 n =_______。


13. 函数 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? d 在区间 [?1,2] 上是减函数,则 b ? c 的最大值为 14.如图,平面 ? ? 平面 ? , A ?? , B ? ? , AB 与两平面 ? 、 ? 所成的角分别为 过 A、B 分别作两平面交线的垂线,垂足为 A ' 、 B ', 则 AB : A ' B ' ?
? A B' A' B ?

? ? 和 。 4 6



?a b ? 15.把实数 a,b,c,d 排形成如 ? ? 的形式,称之为二行二列矩阵.定义矩阵的一种运算 ?c d ?

?a ?a b ? ? x ? ?ax ? by? ,该运算的几何意义为平面上的点(x,y)在矩阵 ? ?c d ? · ? ? ? ?y cx ? dy? ? ? ? ? ? ? ?c

b? 的作用下变换 d? ?

成点(ax+by,cx+dy),则点(2,3)在矩阵 ?

?0 1 ? ? 的作用下变换成点________,又若曲线 ?1 0 ?

?1 a ? x2+4xy+2y2=1 在矩阵 ? 的作用下变换成曲线 x2-2y2=1, 则 a+b 的值为_________。 b 1? ? ?
2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) ?? ? ? 已知向量 m =(1+cosB,sinB)与向量 n =(0,1)的夹角为 ,其中 A、B、C 为 ΔABC 的 3 三个内角。 (1)求角 B 的大小; (2)若 AC= 2 3 ,求 ΔABC 周长的最大值。

17.(本小题满分 12 分) 设甲、乙两套试验方案在一次试验中成功的概率均为 p ,且这两套试验方案中至少有一套 试验成功的概率为 0.51,假设这两套试验方案在试验过程中,相互之间没有影响.设试验 成功的方案的个数 ? . (1)求 p 的值; (2)求 ? 的数学期望 E? 与方差 D ? .

18. (本小题满分 12 分) B、 D 将两块三角板按图甲方式拼好 (A、 C、 四点共面) 其中 ?B ? ?D ? 90? ,?ACD ? 30? , , ?ACB ? 45? ,AC = 2,现将三角板 ACD 沿 AC 折起,使点 D 在平面 ABC 上的射影 O 恰 好在 AB 上(如图乙) . D D (1)求证:AD⊥平面 BDC; (2)求二面角 D-AC-B 的大小; (3)求异面直线 AC 与 BD 所成角的大小。 C A A O B 19. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C1 : 图甲 B 图乙

C

25 x2 y2 , 其左、右顶点分别 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一条准线方程是 x ? 4 a2 b

是 A、B;双曲线 C 2 :

x2 y2 ? ? 1 的一条渐近线方程为 3x-5y=0. a2 b2
y M

P

(1)求椭圆 C1 的方程及双曲线 C2 的离心率; (2)在第一象限内取双曲线 C2 上一点 P,连结 AP 交椭圆 C1 于点 M,连结 PB 并延长交椭圆 C1 于点 N, 若 AM ? MP . 求 MN ? AB 的值。 A

O N

B

x

20. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足: S n ? a (S n ? an ? 1) ( a 为常数, a ? 0, a ? 1 )
3

(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? an ? S n ? an ,若数列 {bn } 为等比数列,求 a 的值;
2

(3)在满足第(2)问的条件下, cn = 求证: Tn ? 2n ?

1 1 ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn . an +1 a n+1 -1

1 。 2

21.(本小题满分 14 分) 由函数 y ? f ? x ? 确定数列 ?an ? , an ? f ? n ? ,若函数 y ? f ? x ? 的反函数 y ? f 确定数列 ?bn ? , bn ? f
?1 ?1

? x? 能

? n? ,则称数列 ?bn ? 是数列 ?an ? 的“反数列”。

(1)若函数 f ? x ? ? 2 x 确定数列 ?an ? 的反数列为 ?bn ? ,求 ?bn ? 的通项公式; (2) (1) ?bn ? , 对 中 不等式

1 1 1 1 ? ?? ? ? log a ?1 ? 2a ? 对任意的正整数 n bn ?1 bn ? 2 b2 n 2

恒成立,求实数 a 的取值范围;

1 ? ? ?1? n 1 ? ? ?1? (3)设 c ? ?3 ? ? ? 2n ? 1? ? ?为正整数? ,若数列 ?cn ? 的反数列为 n 2 2
? ?

?dn ? , ?cn ? 与 ?dn ? 的公共项组成的数列为 ?tn ? ,

求数列 ?tn ? 前 n 项和 Sn 。

4

黄冈市 2011 届高三数学交流试卷(理科)答案详解
1~5 :CABAD 6~10:CBAAD 1.选 C。设 z=a+bi,|z|- z =2-4i,则 a=3,b=-4,∴z=3-4i.

4 ? 3i 4 ? 3i (4 ? 3i)(3 ? 4i) i (4 ? 3i )(4 ? 3i ) ? ? ? ?i。 z 3 ? 4i 25 25
2. 选 A . 法 1:? ? ? (0,

?
2

),?? ?

?
4

? (?

? ?

? 3 1 2 , ), 又 sin(? ? ) ? ? ( , ), 4 4 4 5 2 2

?? ?
法 2:

?

? ? ? ( , ) ,?? ? ( 5? , ? ),? 2? ? ( 5? , ? ),? cos 2? ? cos 5? ? ? 3 , 4 6 4 12 2 6 6 2

sin( 2? ?

?
2

) ? 2 sin(? ? 24 . 25

?
4

) cos( ? ?

?

3 4 24 ? ) ? 2? ? ? ? ? sin( ? 2? ) ? ? cos 2? , 4 5 5 25 2

? cos 2? ? ?

3.选 B 。 由题意可得 x2 ? ?2 py( p ? 0) ,焦点 F (0, ? ) ,准线 y ? 由抛物线的定义得 | PF |?| y p | ?

p 2

p , 2

p p ? 4 ?| ?2 | ? ? p ? 4 ,则 x2=-8y, 2 2

又(k,-2)在抛物线上,故有 k 2 ? ?8 ? (?2) ? k ? ?4 . 4.选 A.令 y ?

x ? 60.5 2 ∵ x ~ N ? ?, 2 ? 2

∴ y ~ N ?0 , 1 ?

∴ p ? x ? 62.5? ? p ? x ? 58.5? = p ? y ? 1? ? p ? y ? ?1? = Ф ?1? ? Ф ? ?1? ? Ф ?1? ? ?1 ? Ф ?1? ? ? 2Ф ?1? ? 1 = 2 ? 0.8413 ? 1 ? 0.6826 ? ? ∴体重属于正常情况的人数约是 0.6826 ?1 000 ? 683
2 5 选 D。对于 f ? x ? , 有 3 ? x ? 4, 则 0 ? x ? 3 ? 1 ,令 x ? 3 ? sin ? , 0 ? ? ?

?
2

,则

? f ? x ? ? x ? 3 ? 3 ? 4 ? x ? ? sin ? ? 3 ?1 ? sin 2 ? ? ? sin ? ? 3 cos ? ? 2sin(? ? ) 3 ? ? 5? 1 ? ? ∵ ?? ? ? ,∴ ? sin(? ? ) ? 1, 1 ? 2sin(? ? ) ? 2 . 3 3 6 2 3 3
6.选 C. f ( x) ? ?

?ln x, ( x ? 0) ?ln(? x).(x ? 0)
1 . x 1 1 ? (?1) ? (这里应用定义求导 .) ?x x

(1) x ? 0时, f ( x) ? ln x ? f ?( x) ? (ln x)? ?

(2) x ? 0时f ( x) ? ln(? x) ? f ?( x) ? [ln(? x)]? ?
5

1 1 a ? b a2 ? b2 , ab=- , lAB:y=(b+a)(x- )+ . 2 sin? tan ? 2 1 a 2 ? b 2 ( a ? b) 2 | | | ? | sin? 2 2 圆心 O(0,0)到其距离为 d= = =1. 故相切. 1 12 ? (a ? b) 2 1? tan 2 ?
7. 选 B . a+b=- 8.选 A.令 f (x)=x3+2007x, f '( x) ? 3x2 ? 2007 ? 0 , f (x)在 R 上单调递增,且 f (x)为奇函数. 由条件,有 f(a4?1)=1,f (a2004?1)=?1,即 f (1?a2004)=1.∴a4?1=1?a2004,从而 a4+a2004=2 又 a2004?1≤a4?1,∴a2004<a4.而 S2007 ?
2007(a1 ? a2007 ) 2007(a4 ? a2004 ) ? ? 2007 . 2 2

9.选 A.设既会唱歌又会跳舞的有 x 人,则文娱队中共有(7-x)人,那么只会一项的人数是 (7-2x)人.∵ P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? 1 ? P(? ? 0) ?

7 3 ,∴ P (? ? 0) ? . 10 10

2 C 7?2x (7 ? 2x)(6 ? 2x) 3 3 ? , ∴x=2.故文娱队共有 5 人. 即 2 ? , ∴ (7 ? x )(6 ? x ) 10 C 7?x 10

10.选 D.设 O1 , O2 , O3 分别是半径为 R 的三个球的球心,

C1 , C2 分别是半径为 r 的两个球的球心,则它们构成立体图形(如图) H 是△ O1O2O3 的 ,
中心. 因为△ O1O2O3 是边长为 2R 的正三角形, O1 H ?

2 3 又 R . ?C1O1H 是以 ?C1HO1 3
2

为直角的直角三角形,故 C O ? C1H ? O1H ,即 ? R ? r ?
2 1 1 2 2

?2 3 ? ? r ?? ? 3 R? , ? ? ?
2

2

解得 R ? 6 r .

C1 O2 H 2R O3 C2
11. (0, ] ? (1,?? ) 。P:0<a≤1;Q:a>

r

R+r O1

3 4

3 3 .若 P 真 Q 假,则 0<a≤ ;若 P 假 Q 真,则 a>1。 4 4

1 1 n sin n 2 ? sin 1 2n n )=1- 1 = 1 n )=1- lim ( 12. . 解析: lim ( - n?? n?? 1 2n ? 1 2 2n ?1 2 2 2? n

6

z max ? ?

3 15 ? 6 ? ? 。由题意 f ?( x) ? 3x 2 ? 2bx ? c 在区间 [?1,2] 上满足 f ?( x) ? 0 恒成立, 13. 2 2
则?

? f ?(?1) ? 0 ? 2b ? c ? 3 ? 0 ? 2b ? c ? 3 ? 0 ,即 ? ,此问题相当于在约束条件 ? 下求目标函 ? f ?(2) ? 0 ?4b ? c ? 12 ? 0 ?4b ? c ? 12 ? 0

数 z ? b ? c 的最大值.作出可行域(图略),由图可知,当直线 l : b ? c ? z 过点 M 时, z 最大, 由?

? 2b ? c ? 3 ? 0 3 15 3 . 得 M (? ,?6) ,∴ z max ? ? ? 6 ? ? 2 2 2 ?4b ? c ? 12 ? 0

14. 2:1. 连接 AB?和A?B ,设 AB=a,可得 AB 与平面 ? 所成的角为 ?BAB? ? 在 Rt ?BAB ?中有AB ? ?

?
4

,

? 2 a ,同理可得 AB 与平面 ? 所成的角为 ?ABA? ? , 6 2

所以 A?A ?

1 a ,因此在 Rt ?AA ?B ?中A ?B ? ? ( 2 a)2 ? ( 1 a)2 ? 1 a , 2 2 2 2 1 a ? 2 :1 。 2

所以 AB : A ' B ' ? a :

15. (3,2) 。解析: (ax+by,cx+dy)=(0× 2+1× 3,1× 2+0× 3)=(3,2), ,2
2 2 设(x,y)是曲线 x +4xy+2y =1 的点,在矩阵 ?

?1 a ? ? x' ? x ? ay, ? 的作用下的点为(x′,y′),即 ? y ' ? bx ? y, ?b 1 ? ?

(x+ay)2-2(bx+y)2=1,(1-2b2)x2+(2a-4b)xy+(a2-2)y2=1. 又 x′2-2y′2=1,∴
?1 ? 2b ? 1, ?a ? 2, ? a+b=2. 故 ?2a ? 4b ? 4, ? ?b ? 0. ∴ ? ?a 2 ? 2 ? 2, ?

?? ? ? 16. 解:法 1(1) m =(1+cosB,sinB)与 n =(0,1)的夹角为 :∵ 3 ?? ?? ? ∴m 与向量 p =(1,0)的夹角为 6
sin B ? 3 B 3 ? tan ? ∴ ,即 tan ? 1 ? cos B 6 3 2 3 B ? B ? ? B= 。 而 B∈ (0,π) ,∴ ? (0, ) ,∴ ? ,∴ 2 2 2 6 3

(2 分) (4 分) (6 分)

? b ,∴ 2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac= (2 3)2 , 3 a?c 2 (a ? c)2 ) (当且仅当 a=c 时等号成立) ∵ a,c>0, ∴ 2+c2≥ a ,ac≤ ( 2 2 ( a ? c) 2 a ? c 2 (a ? c) 2 ∴ 12=a2+c2-ac≥ ?( ) ? (10 分) 2 2 4
B= (2)令 AB=c,BC=a,AC=b∵ ∴ (a+c)2≤48,∴ a+c≤ 4 3 ,∴ a+b+c≤ 4 3 + 2 3 = 6 3 (当且仅当 a=c 时取等号)

7

故 ΔABC 的周长的最大值为 6 3 。

(12 分)

?? ? ? 1 m?n sin B ?? ? ?? ? ? 法 2: (1)cos< m , n >=cos ? ? 3 2 | m || n | (1 ? cos B)2 ? sin 2 B ? 1

1 sin 2 B 1 cosB= 或 cosB=-1(舍) 分) (2 (4 ? , 分)即 2cos2B+cosB-1=0,∴ 2 2 ? 2cos B 4 ? 而 B∈ (0,π) B= ,∴ (6 分) 3
∴ (2)令 AB=c,BC=a,AC=b,ΔABC 的周长为 l ,则 l =a+c+ 2 3
2 sin A sin( ? ? A) , 而 a=b· ,c=b· 3 sin B sin B

∴l =

2 b 3 2 [ ? sin A ? sin( ? ? A)] = 2 3 ? 4[sin A ? sin( ? ? A)] 3 sin B 2 3

= 2 3 ? 4 ? 2sin ∵ (0, A∈

?
3

cos(?

?

? A) ? 2 3 ? 4 3 cos( A ? ) 3 3

?

(10 分)

2? ? ? ? ? ) A- ? (? , ) ,当且仅当 A= 时, lmax ? 2 3 ? 4 3 ? 6 3 。 ,∴ (12 分) 3 3 3 3 3

17. (1)记“这两套试验方案在一次试验中均不成功”的事件为 A , 则“至少有一套试验成功”的事件为 A . (1 分)

由题意,这两套试验方案在一 次试验中不成功的概率均为 1 ? p . (2 分) 所以 PAA) ? (1 ?P)),从而P( A) = 1- (1- p)2 . P( ( ) = (1- p 2 ,
2

令1 ? (1 ? p) 2 ? 0.51, 解得p ? 0.3 .
(2) ? 的取值为 0,1, 2 .

(6 分) (7 分)

P(? ? 0) ? (1 ? 0.3)2 ? 0.49 , P(? ? 1) ? 2 ? 0.3 ? (1 ? 0.3) ? 0.42 , P(? ? 2) ? 0.32 ? 0.09 .
所以 ? 的分布列为 (9 分)

?
P

O

1

2 (10分)

0.49 0.42 0.09

? 的数学期望 E? ? 0 ? P(? ? 0) ? 1? P(? ? 1) ? 2 ? P(? ? 2) ? 0.6 ,
方差D? ? (0 ? 0.6) 2 ? 0.49 ? (1 ? 0.6) 2 ? 0.42 ? (2 ? 0.6) 2 ? 0.09 ? 0.42 。 (12分)

8

18. (1)证:由已知 DO⊥平面 ABC, ∴平面 ADB⊥平面 ABC, (2 分)

又∵BC⊥AB,∴BC⊥平面 ADB,又∵AD?平面 ADB,∴BC⊥AD, 又∵AD⊥DC,∴AD⊥平面 BDC (2)解:由(1)得 AD⊥BD, 由已知 AC = 2,得 AB ? 2 ,AD = 1,∴BD = 1,∴O 是 AB 的中点, DO ? 过 D 作 DE⊥AC 于 E,连结 OE,则 OE⊥AC. ∴∠DEO 是二面角 D-AC-B 的平面角, 且 DE ?
3 DO 6 6 . ∴ ?DEO ? arcsin . , sin ?DEO ? ? ? 2 DE 3 3

(4 分)

2 2

(6 分)

即二面角 D-AC-B 的大小为 arcsin

6 . 3

(8 分)

(3)解:取 AC 的中点 G,连结 OG,以 O 为原点,分别以 GO、OB、OD 所在直线为 x 轴、 y 轴、 轴建立空间直角坐标系, A(0 , z 则 ?
D (0 , , 0 2 2 , ) ,B (0 , 0 , ) ,C ( ? 2 0 2 2 2 , ), 0 2

2 2 2 ) . ∴ AC ? (? 2 , 2 ,0) ,BD ? (0 , ? , ). 2 2 2

(10 分)

设 AC 与 BD 所成的角为 ? ,则 cos ? ?

| AC ? BD | | AC || BD |

?

1 ,∴ ? ? 60? . 2
(12 分) y M P

即异面直线 AC 与 BD 所成角的大小为 60? .

? a 2 25 ?c ? 4 ? ?a ? 5 ?b 3 ? 解得 : ?b ? 3 19.解: (1)由已知 ? ? ?a 5 ?c ? 4 ? ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? ?
∴椭圆的方程为

A

O N

B

x

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ,双曲线的方程 ? ? 1. 25 9 25 9

又 c? ?

25 ? 9 ? 34 ∴双曲线的离心率 e2 ?

34 5

(5 分)

(2)由(Ⅰ)A(-5,0) ,B(5,0), 设 M ( x0 , y0 ),则由AM ? MP 得 M 为 AP 的中点, ∴P 点坐标为 (2 x0 ? 5,2 y0 )

9

2 2 ? x0 y 0 ? ?1 ? ? 25 9 将 M、P 坐标代入 C1、C2 方程得 ? 2 ? (2 x0 ? 5) ? y 0 ? 1 ? 25 9 ?

消去 y0 得 2x0 ? 5x0 ? 25 ? 0
2

解之得 x 0 ?

5 或x 0 ? ?5(舍) 2

由此可得 P(10, 3 3 ) ,直线 PB: y ?

3 3 3 3 ( x ? 5) 即 y ? ( x ? 5) 10 ? 5 5
5 ? x ? 或5(舍) 2
(12 分)

代入

x2 y2 ? ? 1得 : 2 x 2 ? 15x ? 25 ? 0 , 25 9
5 2 ? x N ? xM ,

? xN ?

故 MN⊥x 轴, 所以 MN ? AB ? 0 ???1 分

20 解: (1) S1 ? a(S1 ? a1 ? 1) , ∴ a1 ? a,

当 n ? 2 时, S n ? a(S n ? an ? 1) ; S n?1 ? a(S n?1 ? an?1 ? 1) 两式相减得: an ? a ? an?1 ,

an ? a (a≠0,n≥2), 即 {an } 是等比数列. an ?1

n ?1 n ∴ an ? a ? a ? a ; ???4 分

(2)由(1)知 a≠1, bn ? (a n ) 2 ?
2 若 {bn } 为等比数列,则有 b2 ? b1b3 ,

a(a n ? 1) n (2a ? 1)a 2 n ? aa n , a , bn ? a ?1 a ?1

而 b1 ? 2a 2 , b2 ? a 3 (2a ? 1) , b3 ? a (2a ? a ? 1) ??6 分
4 2

故 [a 3 (2a ? 1)]2 ? 2a 2 ? a 3 (2a ? 1) ,解得 a ? 再将 a ?

1 , 2

??7 分

1 1 1 n 代入得 bn ? ( ) 成立,所以 a ? . ??9 分 2 2 2 1 n (3)证明:由(2)知 bn ? ( ) , 2 1 1 1 1 cn ? ? 2n 2n ?1 ? 2? n ? n ?1 所以 1 n 1 n?1 ? n ? n ?1 ( ) ?1 ( ) ?1 2 ? 1 2 ? 1 2 ?1 2 ?1 2 2
所以 cn ? 2 ?

? 11 分

1 1 ? n ?1 n 2 2

10

Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? (2 ?
? 2n ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ) ? (2 ? 2 ? 3 ) ? ? ? (2 ? n ? n ?1 ) 2 2 2 2 2 2
1 1 1 ? n ?1 ? 2n ? 2 2 2
???13 分

21.解: (1) f ? x ? ? 2 x ? x ? 0 ? ? an ? 2 n ( n 为正整数) f ?1 ? x ? ? , 所以数列 ?an ? 的反数列为 ?bn ? 的通项 bn ? (2)对于(1)中 ?bn ? ,不等式化为

x2 ? x ? 0? 4
……….. 2 分

n2 n ( 为正整数) 4

2 2 2 1 ? ?? ? ? log a ?1 ? 2a ? …….. 3 分 n ?1 n ? 2 2n 2


Tn ?

2 2 2 ? ?? ? n ?1 n ? 2 2n

Tn?1 ? Tn ?

2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? 0, 2n ? 1 2 ? n ? 1? n ? 1 2n ? 1 2n ? 2
………….….. 5 分

∴ 数列 ?Tn ? 单调递增,

所以 ?Tn ?min ? T1 ? 1 ,要是不等式恒成立,只要 1 ? ∵1 ? 2a ? 0 ,∴0 ? a ?

1 log a ?1 ? 2a ? …………. 6 分 2

1 ,又 1 ? 2a ? a2 ,0 ? a ? 2 ?1 2

所以,使不等式对于任意正整数 n 恒成立的 a 的取值范围是 0, 2 ? 1 ……….. 8 分 (3)设公共项 tk ? c p ? dn , k、p、q 为正整数, 当 ? 为奇数时, cn ? 2n ? 1, d n ?

?

?

1 ? n ? 1? …………………….. 9 分 2

2 p ?1 ?

1 , ? p ? 1? , q ? 4 p ? 3 ,则 ?cn? ? ?bn ? (表示 ?cn ? 是 ?bn ? 的子数列) tn ? 2n ?1 2
2

所以 ?tn ? 的前 n 项和 Sn ? n …………………….. 11 分 当 ? 为偶数时, cn ? 3 , dn ? log3 n …………………….. 12 分
n

3q ? log3 q ,则 q ? 33 ,同样有 ?cn ? ? ?bn ? , tn ? 3n
p

所以 ?tn ? 的前 n 项和 S n ?

3 n ? 3 ? 1? …………………….. 14 分 2
命题学校:黄州区一中 命题人: 杨安胜 2011 年 3 月 审题人: 江志伟

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