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高中数学必修1(人教B版)第三章基本初等函数(1)3.4知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 基本初等函数(I) 3.4 函数的应用(II)

一、学习任务 了解指数函数、对数函数、幂函数、简单分段函数等函数模型的意义,并能进行简单应用. 二、知识清单
函数模型的应用

三、知识讲解
1.函数模型的应用 描述: 函数模型的概念 函数模型就是

用函数知识对日常生活中普遍存在的成本最低、利润最高、产量最大、收益最好、 用料最省等实际问题进行归纳加工,建立相应的目标函数,确定变量的取值范围,运用函数的方 法进行求解,最后用其解决实际问题. 几种函数模型的增长速度比较 在区间 (0, +∞) 上,尽管函数 y = ax (a > 1) , y = loga x(a > 1) 和 y = xa (a > 0) 都是增 函数,但它们的增长速度不同,随着 x 的增大,指数函数 y = ax (a > 1) 的增长速度会越来越 快,会超过并远远大于幂函数 y = xa (a > 0) 的增长速度,而 y = loga x(a > 1) 的增长则会越 来越慢,因此总会存在一个 x 0 ,当 x > x0 时,就有 loga x < xa < ax . 例题: 向高 H 为的水瓶内注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图像如图所示,那 么水瓶的形状是( )

解:B 取 OH 的中点 E 作 h 轴的垂线,由图可知,当水深 h 达到容量高度的一半时,体积大于一

半,易知符合题意. 如在测量某物理量的过程中,因机器和观察的误差,使得 n 次测量分别得到 a1 , a2 , ? an 共 n 个数据,我们规定所测物理量“最佳近似值 a ”为这样一个量:与其它近似值比较,a 与各数 据的差的平方和最小.依此规定,由 a1 , a2 , ? an 推出的 a = ______. 解:a =

a1 + a2 + ? + an n 设 f (x) = (x ? a1 )2 + (x ? a2 )2 + ? + (x ? an )2 ,从而建立二次函数模型. 因为 f (x) = nx 2 ? 2(a1 + a2 + ? + an )x + a1 2 + a2 2 + ? + an 2 . 2(a1 + a2 + ? + an ) a + a2 + ? + an 由二次函数性质知:当 x = 时,f (x) 有最小值, = 1 2n n a + a2 + ? + an 所以 a = 1 . n
某汽车制造商在 2014 年初公告:公司计划 2014 年生产 43 万辆汽车.已知该公司近三年的汽 车生产量如下表所示:

2011 2012 2013 8 18 30 如果我们分别将 2011、2012、2013、2014 定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数 模型:二次函数模型 f (x) = ax 2 + bx + c(a ≠ 0),指数函数模型 g(x) = a ? b x + c(a ≠ 0, b > 0, b ≠ 1),哪个模型能更好地反映该公司年销量 y 与年份 x 的关
年份 产量(万辆) 系? 解:建立年销量 y 与年份 x 的函数,可知函数必经过 (1, 8),(2, 18),(3, 30). (1)构造二次函数模型

f (x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0),
将点的坐标代入,可得

? a + b + c = 8, ? 4a + 2b + c = 18, ? 9a + 3b + c = 30,
解得

? a = 1, ? b = 7, ? c = 0,
则 f (x) = x 2 + 7x,故 f (4) = 44,与计划误差为 1 . (2)构造指数函数模型

g(x) = a ? b x + c(a ≠ 0, b > 0, b ≠ 1),
将点的坐标带入,可得

? ab + c = 8, ? ab 2 + c = 18, ? 3 ab + c = 30,
解得

? ? ? ? ?

125 ? ? ? ?a = 3 , ? 6 b= , ? ? 5 ? ? c = ?42. 125 125 6 x 6 4 ? ( ) ? 42 ,故 g(4) = ? ( ) ? 42 = 44.4 ,与计划误差 1.4.由 3 3 5 5 (1)(2)可得,f (x) = x 2 + 7x 模型能更好地反映该公司年销量 y 与年份 x 的关系.
则 g(x) =

四、课后作业

(查看更多本章节同步练习题,请到快乐学kuailexue.com)

1. 某种细胞在培养过程中正常情况下,时刻 t (单位:分)与细胞数 n (单位:个)的部分数据如下:

t 0 n 1

20 60 2 8

140 128 )
D.260

根据表中数据,推测繁殖到 1000 个细胞时的时刻 t 最接近于 ( A.200
答案: A 解析:

B.220
t

C.240

n 与 t 的函数关系式是 n = 2 20 . 1 ,则使产品达到市场要求的最少过滤次数为 ( 3
C.8 D.7

2. 某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过 0.1% ,而这种溶液最初杂质含量为 2%,现进行过 滤,已知每过滤一次杂质含量减少

)(

lg 2 ≈ 0.301, lg 3 ≈ 0.4771 )
A.10
答案: C

B.9

3. 农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2003年某地区农民人均收入为 3150 元(其中工资性 收入为 1800 元,其他收入为 1350 元), 预计该地区自2004年起的 5 年内,农民的工资性收入将以 每年 6% 的年增长率增长,其他收入每年增加 160 元.根据以上数据,2008年该地区农民人均收入介 于 (

)
B.4400 元 ? 4600 元 D.4800 元 ? 5000 元

A.4200 元 ? 4400 元
答案: B

C.4600 元 ? 4800 元
解析: 2008年该地区农民人均收入为

1800 × (1 + 6%)5 + 1350 + 160 × 5 ≈ 4559 元.

4. 某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过 3 小时,这种细菌由 1 个可 以繁殖成
答案:

个.

512

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