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2016届高三理科数学试题(27)


2016 届高三理科数学试题(27)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A= x | y ? lg ? x ? 1? , B ? y | y 2 ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 A ? B ? ( A.

?

?

r />?

?



? x |1 ? x ? 3?

B.

? x |1 ? x ? 3?

C.

? y |1 ? y ? 3?

D.

? x |1 ? x ? 3?
)

2.直线 y ? 4 x 与曲线 y ? x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( A. 2 2 B. 4 2 C. 2 ) D. 4

3.下列四个结论,其中正确结论的个数是(

①命题“ ?x ? R, x ? ln x ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, x0 ? ln x0 ? 0 ” ; ②命题“若 x ? sin x ? 0, 则x ? 0 ”的逆否命题为“若 x ? 0,则x ? sin x ? 0 ” ; ③“命题 p ? q 为真”是“命题 p ? q 为真”的充分不必要条件; ④若 x ? 0 ,则 x ? sin x 恒成立. A.4 个 B. 3 个 4. 已知函数 f ? x ? ? C.2 个 D. 1 个

1 2 x ? cos x, f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数, 则 f ? ? x ? 的图象大致是 ( ) 4

A

B

C

D

3 5.已知函数 f ? x ? ? a sin3x ? bx ? 4(a ? R, b ? R) , f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,

则 f ? 2014? ? f (?2014) ? f ? ? 2015? ? f ?(?2015) ? ( A.8 B.2014 C.2015 D. 0



6. 已知 f ? x ? ? 2x ? 3? x ? R? , 若 f ? x ? ? 1 ? a 的必要条件是 x ?1 ? b ? a, b ? 0? , 则 a, b 之间的关系是( A. b ? ) B. b ?

a 2

7.设函数 f ( x) ?

? g ( x) ? 3sin(? x ? ? ) ? 2 ,则 g ( ) 的值是( 6 1 A. 1 B. -5 或 3 C. 2

1 ? ? cos(? x ? ? ) 对任意的 x ? R ,都有 f ( ? x) ? f ( ? x) ,若函数 2 6 6
) D. -2

a 2

C. a ?

b 2

D. a ?

b 2

1

?1, x ? 0 ? x ?1 ? 3) 的零点个数为( ) 8.已知符号函数 sgn( x ) ? ?0, x ? 0 ,则函数 f ( x) ? sgn(ln x) ? (2 ? ?1, x ? 0 ?
A.1 B.2 C.3 D.4 )

9.已知 ? , ? ? ? 0, ? ? ,且 tan ?? ? ? ? ? A. ?

? 4 4 ? | cos( x ? ) | 10.已知方程 ,则下面结论 2 ? k 在(0,+∞)上有两个不同的解 a,b(a<b) x
B. 正确的是( ) A.sina=acosb B.sina=-acosb C.cosa=bsinb D.sinb=-bsina )

?

1 1 , tan ? ? ? ,则 2? ? ? 的值是( 2 7 3? 3? C. ? D. 4 4

11.设函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x ) ,对任意 x ?R 都有 f ?( x) ? f ( x) 成立,则( A. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) B. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) C. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) D. 3 f (ln 2)与2 f (ln 3) 的大小不确定

12 . 定 义 在 ? 0, +? ? 上 的 单 调 函 数 f ( x), ?x ? ? 0, ??? , f ? f ( x) ? log2 x? ? 3 , 则 方 程

f ( x) ? f ?( x) ? 2 的解所在区间是(
A. ? 0, ?

) C. ?1,2? D. ?2,3?

? ?

1? 2?

B. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 幂函数 y ? (m2 ? 3m ? 3) xm 过点 ? 2, 4 ? ,则 m = 14. 把函数 f ( x ) ? ? sin x cos x ? cos ? x ? .

数 g( x ) ? sin ? x 的图象,则 ? 的最小值为

? 图象上各点向右平移 ? (? ? ? ) 个单位, 得到函 ?
.

15.设 f ( x) ? cos 2 x ? 2a(1 ? cos x) 的最小值为 ? 16 . 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数

1 ,则 a ? 2



f ( x) 满 足

f ( x ? 4) ? ? f ( x) , 且 x ? ?0, 2? 时 ,

f ( x) ? log2 ( x ? 1) ,给出下列结论:
① f (3) ? 1 ; ②函数 f ( x ) 在

??6, ?2? 上是增函数;

③函数 f ( x ) 的图像关于直线 x=1 对称; ④若 m ? ? 0,1? ,则关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 0 在[-8,16]上的所有根之和为 12. 则其中正确的命题为_________。 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤共 70 分。

2

17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ? x ? ? 2cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? a , 且当 x ? [0, (1)求 f ? x ? 的单调递增区间; (2)先将函数 y ? f ? x ? 的图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的 图象向右平移

?
2

] 时, f ? x ? 的最小值为 2,

? ? 个单位, 得到函数 y ? g ? x ? 的图象, 求方程 g ? x ? ? 4 在区间 [0, ] 12 2

1 ,再把所得的 2

上所有根之和。 18.(本小题满分 12 分)

?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知点 ( a, b) 在直线

x(sin A ? sin B) ? y sin B ? c sin C 上。
(1)求角 C 的大小; (2)若 ?ABC 为锐角三角形且满足 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) ? x 3 ? x 2 ? ax (a ? R) . (1)若 x ?

m 1 1 ? ? ,求实数 m 的最小值。 tan C tan A tan B

2 为函数 f ( x) 的极值点,求实数 a 的值; 3
3

(2)若 a ? ?1 时,方程 f (1 ? x ) ? (1 ? x ) ? b 有实数根,求实数 b 的取值范围.

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 2ax ? 2)e .
2 x

(Ⅰ)函数 f ( x ) 在 x ? 0 处的切线方程为 2 x ? y ? b ? 0 ,求 a、b 的值; (Ⅱ)当 a ? 0 时,若曲线 y ? f ( x) 上存在三条斜率为 k 的切线,求实数 k 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

1? a 2 x ? ax ? ln x ( a ? R ) . 2

(1)当 a ? R 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)若对任意 a ? (2,3) 及任意 x1 , x2 ? ?1,2?,恒有 ma ? ln 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立, 求实数 m 的取值范围.

3

22. (本小题满分 12 分) x 设函数 f ( x) ? ? a ln(1 ? x), g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx . 1? x (1)若函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值,求函数 f ( x) 的最大值; (2)①是否存在实数 b ,使得关于 x 的不等式 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立?若存在,求 出 b 的取值范围;若不存在,说明理由; n ②证明:不等式 ?1 ? ? 2k ? ln n ? 1 ? n ? 1, 2, ???? 2 k ?1 k ? 1

4

数学(理科)参考答案
1-12:BDBAA 13. 2 14. ADACB CC 15. -2+ 3 16.①④

? 12

17. 解: (1)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? a ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? a ?1 ,

? ? ? 7? ? , f ( x) ? ?1 ? a ? 1 ? 2 ,得 a ? 2 ; ? ?? x ? ?0, ? , ? 2 x ? ? ? , min 2 6 ?6 6 ? ? ? ?

? ? ? ? 即 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 3 ,由题意得 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , 2 6 2 6
得 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

,

k ?Z ,

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ?k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

?k ? Z ? .?5 分

? 1 ? (2)由题意得 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 3 ,又由 g ( x) ? 4 得 sin( 4 x ? ) ? , 6 6 2
解得 4 x ?

?
6

? 2k? ?

?
6

或2k? ?

5? , 即 6

x?

k? ? k? ? ? 或 ? ?k ? Z ? , 2 12 2 4

? ? ? ? ? ? ?? ,故所有根之和为 ? ? .??10 分 ? x ? ?0, ?,? x ? 或 12 4 3 12 4 ? 2?
18.解: (1)由条件可知 a(sin A ? sin B) ? b sin B ? c sin C , 根据正弦定理得 a ? b ? c ? ab ,
2 2 2

又由余弦定理知 cosC ?

? a2 ? b2 ? c2 1 ? ,故角 C 的大小为 。??5 分 3 2ab 2

(2) m ? tanC ?

1 ? sin C ? cos A cos B ? ? 1 ? ? ?? ? ? ? tan A tan B ? cosC ? sin A sin B ?

?

sin C cos A sin B ? cos B sin A 2 sin 2 C 2c 2 2(a 2 ? b 2 ? ab) ? ? ? ? cosC sin A sin B sin A sin B ab ab

?a b ? ? 2? ? ? 1? ? 2 ? (2 ? 1) ? 2 , ?b a ?
当且仅当 a ? b 即 ?ABC 为正三角形时,实数 m 的最小值为 2。???12 分 19. (1) f ?( x) ?
x[3ax 2 ? (3 ? 2a ) x ? ( a 2 ? 2)] a ? 3x 2 ? 2 x ? a ? ax ? 1 ax ? 1 2 2 由于 x ? 为 y ? f ( x) 的极值点,则有 f ?( ) ? 0 3 3

5

2 2 2 即 3a( ) 2 ? (3 ? 2a) ? (a 2 ? 2) ? 0 且 a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 0 3 3 3
当 a ? 0 时, f ?( x) ? x(3x ? 2) ∵在 x ? ∴ x?

???4 分

2 2 2 附近, x ? 时, f ?( x) ? 0 ; x ? 时, f ?( x) ? 0 3 3 3

2 为函数 y ? f ( x) 的极值点成立. 3
???5 分

∴a ? 0

(2)当 a ? ?1 时,由方程 f (1 ? x ) ? (1 ? x )3 ? b 可得 ln x ? (1 ? x )2 ? (1 ? x ) ? b ∵ b ? ln x ? x ? x ,令 h( x) ? ln x ? x ? x 2
2

∴ h?( x) ?

1 (2 x ? 1)(1 ? x) ? 1 ? 2x ? x x

∵ x ? 0 ,则当 0 ? x ? 1 时, h ?( x) ? 0 ,从而 h( x) 在(0,1)上为增函数; 当 x ? 1 时, h ?( x) ? 0 ,从而 h( x) 在 (1,??) 上为减函数 ∴ h( x) ? h(1) ? 0 ???????????10 分

2 ∵ x ? 0 ∴ b ? ln x ? x ? x ? 0

即 b 的取值范围为 (??,0] ???????????12 分 20.解: (Ⅰ) f ( x) ? ( x ? 2ax ? 2)e , f (0) ? 2e ? 2 , 2 ? b ? 0 ,得 b ? ?2 ,
2 x 0

f ? ( x) ? ( x 2 ? 2ax ? 2 ? 2 x ? 2a)e x ? [ x 2 ? (2 ? 2a) x ? 2 ? 2a]e x , f ? (0) ? [ x 2 ? (2 ? 2a) x ? 2 ? 2a]e x ? 2 ? 2a ? ?2 ,求得 a ? 2 ,
∴ a ? 2 , b ? ?2 ; (Ⅱ) f ( x) ? [ x ? (2 ? 2a ) x ? 2 ? 2a ]e ,
2 x ?

??????????4 分

令 h( x) ? f ( x) ,依题知存在 k 使 h( x) ? k 有三个不同的实数根,

?

h? ( x) ? ( x 2 ? 2ax ? 2 ? 2 x ? 2a ? 2 x ? 2a ? 4)e x ? [ x 2 ? (4 ? 2a) x ? 4 ? 4a]e x ,
令 h ( x) ? [ x ? (4 ? 2a ) x ? 4 ? 4a ]e ? 0 ,求得 x1 ? ?2, x2 ? 2a ? 2 ,
2 x ?

由 a ? 0 知 x1 ? x2 , 则 f ( x) 在 (??, ?2) , (2a ? 2, ??) 上单调递增, 在 (?2, 2a ? 2) 上单调递减, 当 x ??? 时, f ( x) ? 0 ,当 x ??? 时, f ( x) ? ?? ,
? ?

?

6

∴ f ( x) 的极大值为 f (?2) ? e (2a ? 2) ,

?

?

?2

f ? ( x) 的极小值为 f ? (2a ? 2) ? e2a?2 (2 ? 2a) ,?????????? 10 分
所以此时 e2a?2 (2 ? 2a) ? k ? e?2 (2a ? 2) . ???????????? 12 分 21.(1) f '( x) ? (1 ? a) x ? a ?

1 (1 ? a) x 2 ? ax ? 1 [(1 ? a) x ? 1]( x ? 1) ? ? x x x

x ? 1 ? 0 , f(x )在(0,1)单减,(1,??)单增; ① a ? 1 时,(1 ? a )
② 1 ? a ? 2 时,

1 1 ? 1 , f (x )在(0,1)单减,在(1, )单增, a ?1 a ?1

(

1 ,??)单减; a ?1

③当

( x ? 1)2 1 ? 1 即 a ? 2 时, f '( x) ? ? ? 0, f ( x)在(0, ??) 上是减函数; a ?1 x

④当

1 1 ? 1 ,即 a ? 2 时,令 f '( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 或x ? 1 ,令 f '( x) ? 0 ,得 a ?1 a ?1 1 ? x ?1 a ?1

? 1 ? ? 1 ? ,1? 为减函数?8 分 ? 0, ? , ?1, ?? ? 为增函数 , ? ? a ?1 ? ? a ?1 ?
(2)由(1)知,当 a ? (2,3) 时, f ( x)在[1, 2] 上单调递减, 当 x ? 1 时 , f ( x) 有 最 大 值 , 当 x ? 2 时 , f ( x) 有 最 小 值 ,

a 3 a 3 ? ? ln 2 ,? ma ? ln 2 ? ? ? ln 2 , 2 2 2 2 1 3 1 1 3 由2 ? a ? 3得 ? ? ? ? 0, ? m ? 0 .??12 分 而 a ? 0 经整理得 m ? ? 2 2a 4 2 2a 1 a 22.(1)由已知得: f ?( x) ? ,且函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值 ? 2 ?1 ? x ? 1 ? x

?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? f (1) ? f (2) ?

∴ f ?(0) ? ∴ f ?( x) ?

1

?1 ? 0 ?
1

2

? ?

a ? 0 ,即 a ? 1 1? 0 1 ?x ? 1 ? x ?1 ? x ?2

∴ f ( x) ?

x ? ln(1 ? x), 1? x

?1 ? x ? 当 x ? ? ?1, 0 ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 当 x ? ? 0, ?? ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减;
2

7

∴函数 f ( x) 的最大值为 f (0) ? 0 (2)①由已知得: g ?( x) ?

1 ?b 1? x
1 ?b ? 0 1? x

(i)若 b ? 1 ,则 x ? ? 0, ?? ? 时, g ?( x) ?

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ?? ? 上为减函数, (ii)若 b ? 0 ,则 x ? ? 0, ?? ? 时, g ?( x) ?

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立;

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ?? ? 上为增函数,

1 ?b ? 0 1? x

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 ,不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; (iii)若 0 ? b ? 1 ,则 g ?( x) ? 当 x ? ? 0,

1 1 ? b ? 0 时, x ? ? 1 , 1? x b

? 1 ? ? 1? 时, g ?( x) ? 0 , ? b ? ? 1 ? ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ? 1? 上为增函数, ? b ? 此时 g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 ,
∴不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; 综上所述, b 的取值范围是 b≥1????8 分 ②由以上得:

x ? ln(1 ? x) ? x( x ? 0) 1? x n 1 1 1 1 k 取 x ? 得: 令 ? ln(1 ? ) ? xn ? ? 2 ? ln n , n 1? n n n k ?1 k ? 1 n 1 ? n 1 1 1 ? ? ln ?1 ? ? ?? 2 ? 0. 则 x1 ? , xn ? xn ?1 ? 2 ?? 2 n ?1 2 n ?1 n ? n ?1 ? n ?1 n

?

?

因此 xn ? xn ?1 ? ??? ? x1 ? 又 ln n ?
n

1 . 2

n ?1 ? 1? ln k ? ln k ? 1 ? ln1 ? ln ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k? k ?2 k ?1 n n ?1 n ?1 k ? k n ? 1? ? 1 ?? ? ? ln ?1 ? ? ? ? ? 2 ? ln ?1 ? ? ? ? 2 故 xn ? ? 2 ? k ? k ?1 ? k ? 1 ? k ?? n ? 1 k ?1 k ? 1 k ?1

n ?1 n ?1 n ?1 1? 1 1 1 ? k ? ?? 2 ? ? ? ?? 2 ?? ? ?1 ? ? ? 1 k? n k ?1 ? k ? 1 k ?1 ? k ? 1? k k ?1 ? k ? 1? k

??12 分

8


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