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6.1 不等式性质与基本不等式


6.1 不等式性质与基本不等式

高三(Ⅰ)部数学组

题型一

用不等式表示不等关系

【例1】某汽车公司由于发展的需要需购进一批 汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单 价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车. 根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买 6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式.
分析 设出未知数,根据题意找出相应的不等关系, 然后用不等式将它们正确表示出来.

解 则

设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆,
?40x ? 90y ? 1 000, ?x ? 5, ? ? 即 ? y ? 6, ?x, y ? N*, ?

?4x ? 9y ? 1 00, ? x ? 5, ? ? ? y ? 6, ? x, y ? N*, ?

文字语言 数学符号 文字语言 数学符号 大于 > 至多 ≤ 小于 < 至少 ≥ 大于等于 ≥ 不少于 ≥ 小于等于 ≤ 不多于 ≤
(2)注意区分“不等关系”和“不等式”的异

同,不等关系强调的是“关系”,可用“>”、 “<”、“≥”、“≤”、“≠”表示,不等式 则是表现不等关系的“式子”.对于实际问题中 的不等关系可以从“不超过”、“至少”、 “至多”等关键词上去把握,并考虑到实际意 义,本题中容易忽视“x,y∈N*”.

练习1、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板,随 着铁钉的深入,铁钉所受阻力会越来越大,使 得每次钉入木板的钉子长度满足后一次为前一 次的(k∈N*),已知一个铁钉受击3次后全部进 入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉 长度是钉长的 ,请从这个实例中提炼出一个 不等式组. 解析:设铁钉的长度为1,依题意得,第二次钉 子没有完全进入木板,第三次全部进入木板.
4 4 ? ? ?1 ? 7 7k ? 4 4 ?4 ? ?1 ? ? 7 7k 7k 2 ? k ? N* ? ? ?



题型二、比较代数式的大小
例2

例3、比较x2-x与x-2的大小。 解:(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2

=(x-1)2+1,
因为(x-1)2≥0, 所以(x2-x)-(x-2)>0, 因此x2-x>x-2.

例4. 比较 x 3 与 x 2 ? x ? 1 的大小.

解:x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1 =x2(x-1)+(x-1) =(x-1)(x2+1), ∵ x2+1>0, ∴ 当x>1时,x3>x2-x+1; 当x=1时,x3=x2-x+1,

当x<1时,x3<x2-x+1.

1 (3)(2010· 全国Ⅰ文)设 a=log32, b=ln2, c=5- , 则( 2 A.a<b<c C.c<a<b B.b<c<a D.c<b<a

)

ln2 解析:解法 1:a=log32= ,∵0<ln2<1,ln3>1, ln3 ∴a<ln2=b,即 a<b, 1 1 ln2 ln2 又 c=5-2= = = , 5 5ln2 ln2 5 ∵2 5>22=4>3,∴ln2 5>ln3,故 c<a,∴c<a<b. 解法 2:a<b 比较同上. 1 1 a=log 3,c= ,∵log23<2 而 5>2, 5 2 ∴log23< 5,∴a>c,∴c<a<b. 答案:C

(4)(理)已知0<x<y<a<1,m=logax+logay, 则有( ) A.m<0 B.0<m<1 C.1<m<2 D.m>2 解析:由0<x<y<a得,0<xy<a2,又0<a<1, 故m=logax+logay=logaxy>logaa2=2故选D. 答案:D

题型三、用不等式的性质证明不等式
【例5】 对于实数a,b,c,有下列命题: ①若a>b,则ac<bc; ac2 ? bc2 ,则a>b; ②若 ③若a<b<0,则 a 2 ? ab ? b2 ;
a b ? ; ④若c>a>b>0,则 c - a c - b

1 1 ? ,则a>0,b<0. ⑤若a>b,a b

其中真命题的个数是() A. 2 B. 3 C. 4

D. 5

分析 判断命题的真假,要紧扣不等式的性质,特别注 意条件与结论间的联系. 解 ①中,c的符号不确定,故ac,bc大小也不能确定,故为 假命题.②中,由 ac2 ? bc2 知c≠0,又 c 2 >0,则a>b,故为真命题.
?a ? b, ?a ? b, 2 ③中,由 ?a ? 0 得 ab ? b ,由? ,可得 a 2 ? ab , ? ?b ? 0

a 2 ? ab ? b 2 为真命题.④中,由a>b,得-a<-b,∴c-a<c-b, ∴
1 1 ? 又c>a>b>0,∴0<c-a<c-b,∴ c - a c - b ? 0 .

又a>b>0,∴

a b ? c-a c-b

为真命题.
1 1 b-a ? ? ? 0 ,∴ab<0, a b ab

a? ⑤中,由? b ? a - b ? 0,

又a>b,∴a>0,b<0为真命题. 综上可知真命题有4个,故选C.

练5、

练 6、(吉林长春)使不等式 a>b 成立的一个充要条件是 ( A.a >b
2 2

)

1 1 B. < a b 1 1 D. a< b 2 2

C.lga>lgb

解析:取a=1,b=-2,可验证A、B、C均 不正确,故选D. 答案:D

6

题型四
例7

利用不等式性质求范围

题型五、利用基本不等式证明不等式
例8

题型六、利用基本不等式比较大小
例 9 (2010· 江苏南京)已知 b>a>0,且 a+b=1,那么 ( a4-b4 a+b A.2ab< < <b 2 a-b a+b a4-b4 B.2ab< < <b 2 a-b a4-b4 a+b C. <2ab< <b 2 a-b a+b a -b D.2ab< <b< 2 a-b
4 4

)

(a+b)2 a+b 1 解析:∵b>a>0,a+b=1,∴b>2,∴2ab< 2 = 2 , (a+b)2 1 a4-b4 a+b a4-b4 且 a2+b2> = .∴ =(a+b)(a2+b2)> .又 2 2 2 a-b a-b -b=a2+b2-b=2b2-3b+1=(1-b)(1-2b)<0.故应选 B.

答案:B
3 点评:可用特值法,∵b>a>0,a+b=1,∴可取 b=4,a 1 =4,则可知其大小关系.

?1? 1 已知 m=a+ (a>2),n=?2?x2-2(x<0),则 m、n 之间 a-2 ? ?

的大小关系是 ( A.m>n C.m=n B.m<n D.m≤n 1 解析:∵m=(a-2)+ +2 a-2
≥2 1 (a-2)· +2=4,等号在 a=3 时成立 a-2

)

n=22-x2<22=4,∴m>n.故选 A.

答案:A

题型七、利用基本不等式求最值
例 10 2 3 (文)(1)已知 + =2(x>0,y>0),求 xy 的最小值. x y (2)若 x、y∈R+,且 2x+8y-xy=0.求 x+y 的最小值.
分析:(1)可利用基本不等式转化为 xy的不等式求解. (2)可消去一个变量,将 x+y 用一个变量表示,再配凑出 能运用基本不等式的条件.
2 3 解析:(1) + ≥2 x y =2,y=3 时成立) 故 xy 的最小值为 6. 6 ,∴2 xy 6 ≤2,∴xy≥6.(等号在 x xy

(2)由 2x+8y-xy=0 得 y(x-8)=2x. 2x ∵x>0,y>0,∴x-8>0,y= . x-8 (2x-16)+16 2x u=x+y=x+ =x+ x-8 x-8 16 =(x-8)+ +10≥2 x-8 16 (x-8)· +10=18. (x-8)

16 等号在 x-8= 即 x=12,y=6 时成立. x-8

? 点评:①求条件最值的问题,基本思想是 借助条件化二元函数为一元函数,代入法 是最基本的方法,代换过程中应密切关注 字母隐含的取值范围,也可用三角代换的 方法. ? ②利用已知条件构造不等式,然后通过解 不等式求得表达式的取值范围,从而得到 最值也是部分问题中采用的方法.

练 10、(2010· 重庆理)已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x +2y 的最小值是 A.3 B.4 9 C. 2 ( 11 D. 2 )

x+2y 2 解析:∵2xy=8-(x+2y),故 8-(x+2y)≤( ), 2 ∴(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0 解得 x+2y≥4 或 x+2y≤-8(舍去) ∴x+2y 的最小值为 4.

答案:B

1 1 3、(2010· 四川文)设 a>b>0,则 a + + 的最小值是 ab a(a-b)
2

( A.1 B.2 C.3 D.4

)

解析:∵a>b>0,∴ab>0,a-b>0, 1 1 ∴a + + ab a(a-b)
2

1 1 =a -ab+ab+ + ab a(a-b)
2

1 1 =[a(a-b)+ ]+(ab+ )≥2+2=4. ab a(a-b)

1 ? ?a(a-b)=a(a-b) 等号成立时,应有? ?ab= 1 ab ? 2 ∴a= 2,b= . 2



? 答案:D

小结

两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数
a?b a, b ? R , ? ab ,当且仅当a ? b时等号成立. 2 ? a, b ? R ? , a ? b ? 2 ab (积定和小)
?

a?b 2 ? a, b ? R, ab ? ( ) (和定积大) 2 一正 a、b均为正实数) (
二定 (a ? b或ab为定值) 三相等 (当且仅当a ? b时等号成立.)

例11

4 已知x ?? 1 求y ? x ? 6? , 的最值 . x ?1
a f ( x) ? ? bx 的形式, x

可将函数转化为 分析

再利用均值不等式求解.

4 例1:已知x ? ?1, 求y ? x ? 6 ? 的最值. x ?1 4
解:? y

? x ?1?

x ?1

? 5 , 由x ? ?1有x ? 1 ? 0

4 ? y ? 2 ( x ? 1) ? ( ) ?5 ? 9 x ?1
4 ( 当且仅当x ? 1 ? 即x ? 1时, 取" ?" ) x ?1

如果条件改为 x?2 呢???

4 ?y ? x?6? 有最小值9 x ?1

点评: 1.凑定值 2.凑“=”
(x ? 5)(x ? 2) 变式:设 x ? ?1,求 y ? 的最值最小值为9 x ?1

点评: 分离常数

x?2 例12 求函数y ? 3. 的最大值. 2x ? 5
解:令t ? x ? 2, 则x ? t ? 2 ? t ? 0 ? , 则y ?
2

t 2t ? 1
2

.

当t ? 0时,y ? 0; 1 1 2 当t ? 0时,y ? ? ? . 1 4 1 2t ? 2 2t ? t t 1 2 当且仅当2t ? , 即t ? 时取等号. t 2 3 2 故x ? ? 时,ymax ? . 2 4

x?2 12 例3.求函数y ? 的最大值. 2x ? 5

总结:本题通过换元法使问题得 到了简化,而且将问题转化为熟 悉的分式型函数的求最值问题, 从而为构造积为定值创造有利条 件。

和为定值

?1 练14.求函数y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ? ? x ? 例 2 ?2 2 解:y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x

? 4 ? 2 ? 2 x ? 1?? 5 ? 2 x ?

?

?

5? ?的最大值. 2?

? 4 ? ? 2 x ? 1? ? ? 5 ? 2 x ? ? 8
又y ? 0, 所以0 ? y ? 2 2
3 当且仅当2 x ? 1 ? 5 ? 2 x, 即x ? 时取等号. 2 故ymax ? 2 2.

注 意

?1 练1 4.求函数y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ? ? x ? 例 ?2

5? ?的最大值. 2?

总结:本题将解析式两边平方,构 造出“和为定值”,为利用均值不 等式创造了条件。

题型八、基本不等式的实际应用
例13

1. 不等式的基本性质是解不等式与证明不 等式的理论根据,必须透彻理解,特别要 注意同向不等式可相加,也可相乘,但相 乘时,不等式的两边需都大于零.

2.比较两个实数的大小,一般用作差法,有时 也用作商法. 它们的一般步骤是作差(商)→变形 →判断差与 0(商与 1)的大小→定论. 关键是变形,变形一定要彻底. 3.运用不等式的性质时要切实注意不等式性质 的前提条件,切不可用似乎是很显然的理由, 代替不等式的性质,如由 a>b 及 c>d,推不出 1 1 2 2 ac>bd; a>b, 由 推不出 a >b ; a>b 推不出a<b 由 等.


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