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三角函数基本性质


三角函数基本性质
1、正弦函数 y ? sin x( x ? R) 、余弦函数 y ? cos x( x ? R) 的性质: (1)定义域:都是 R。 ? (2)值域:都是 ??1,1? ,对 y ? sin x ,当 x ? 2k ? ? ?k ? Z ? 时, y 取最大值 2 3? k 1; 当 x ? 2k ? ? Z ? 时, ? ?Z ? 时,y 取最小值-

1;对 y ? cos x ,当 x ? 2k ? k ? ? 2 y 取最大值 1,当 x ? 2k? ? ? ? k ? Z ? 时, y 取最小值-1。如

? 3 1 (1)若函数 y ? a ? b sin(3x ? ) 的最大值为 ,最小值为 ? ,则 a ? __, b ? _ 2 2 6 ? ? (2)函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ( x ? [ ? , ] )的值域是____ 2 2 sin ? 的最大值和最小值分别是____ 、_____ (3)若 2? ? ? ? ? ,则 y ? cos ? ? 6 ? (4) 函数 f ( x) ? 2 cos x sin( x ? ) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x 的最小值是_____, 此时 x 3 =_________ 特别提醒 :在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余弦函数的有界性了 吗? 3、周期性:① y ? sin x 、 y ? cos x 的最小正周期都是 2 ? ;② f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 2? 和 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) 的最小正周期都是 T ? 。如 |? | ?x (1)若 f ( x) ? sin ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? f (2003) =___ 3 (2) 函数 f ( x) ? cos4 x ?2sin x cos x ? sin 4 x 的最小正周期为____ ? ? (3) 设函数 f ( x) ? 2 sin( x ? ) ,若对任意 x ? R 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立, 2 5 则 | x1 ? x2 | 的最小值为____ ? R是 ) 奇函数,对称中心是 4 、 奇 偶 性 与 对 称 性 : 正 弦 函 数 y ? s i nx (x ? ? k? ,0?? k ? Z ? ,对称轴是直线 x ? k? ? 2 ? k ? Z ? ;余弦函数 y ? cos x( x ? R) 是偶 ? ? ? 函数,对称中心是 ? k? ? , 0 ? ? k ? Z ? ,对称轴是直线 x ? k? ? k ? Z ?(正(余)弦型 2 ? ? 函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线,对称中心为图象与 x 轴 的交点) 。如 ? 5? ? (1)函数 y ? sin ? ? 2 x ? 的奇偶性是______、 ? 2 ? 5 ? ______ (2) 已知函数 f ( x ) ? ax ? b sin3 x ? 1( a,b 为常数) , 且 f ( 5 ) ? 7, 则 f( ?) (3) 函数 y ? 2 cos x(sin x ? cos x) 的图象的对称中心和对称轴分别是_____、 _____
(4)已知 f ( x ) ? sin( x ? ? ) ? 3 cos( x ? ? ) 为偶函数,求 ? 的值。

? ?? ? ( 5 ) 单 调 性 : y ? sin x在 ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? 上 单 调 递 增 , 在 2 2? ?

1

? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? 单调递减;y ? cos x 在 ?2k? ,2k? ? ? ? ? k ? Z ? 上单调递 ? 2 2? ? 减,在 ?2k? ? ? ,2k? ? 2? ? ? k ? Z ? 上单调递增。特别提醒,别忘了 k ? Z !
6、形如 y ? A sin(? x ? ? ) 的函数: 1 (1)几个物理量:A―振幅; f ? ―频率(周期的倒数) ;? x ? ? ―相位;? ― T 初相; Y 2 (2)函数 y ? A sin(? x ? ? ) 表达式的确定:A 由最值确定; ? 由 3 2? 周 期 确 定 ; ? 由 图 象 上 的 特 殊 点 确 定 , 如 9 ? f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0 , | ? |? ) 的 图象 如 图所 示 ,则 2 -2 23题 图 f ( x) =_____ (3)函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的画法:①“五点法”――设 X ? ? x ? ? ,令 X ? 3? =0, , ? , , 2? 求出相应的 x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;② 2 2 图象变换法:这是作函数简图常用方法。 (4)函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象与 y ? sin x 图象间的关系:①函数 y ? sin x 的图象纵坐标不变,横坐标向左( ? >0 )或向右( ? <0 )平移 | ? | 个单位得

X

y ? sin? x ? ? ? 的图象;②函数 y ? sin ? x ? ? ? 图象的纵坐标不变,横坐标变为原来 1 的 ,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;③函数 y ? sin ?? x ? ? ? 图象的横坐标不 ? ? x? ? )的 图 象 ; ④ 函 数 变 , 纵 坐 标 变 为 原 来 的 A 倍 , 得 到 函 数 y ? Asi n( y ? Asi n( ? x? ? ) 图象的横坐标不变,纵坐标向上( k ? 0 )或向下( k ? 0 ) ,得 到 y ? Asin ??x ? ? ? ? k 的 图 象 。 要 特 别 注 意 , 若 由 y ? s i ? n ?x? 得 到 ? y ?s i ? n ? x ? ? ? 的图象,则向左或向右平移应平移 | | 个单位,如 ? ? (1)函数 y ? 2sin(2 x ? ) ? 1 的图象经过怎样的变换才能得到 y ? sin x 的图象? 4 x ? x (2) 要得到函数 y ? cos( ? ) 的图象,只需把函数 y ? sin 的图象向 ___ 平移 2 4 2 ____个单位 7? (3)将函数 y ? 2sin(2 x ? ) ? 1 图像,按向量 a 平移后得到的函数图像关于原点
3

对称,这样的向量是否唯一?若唯一,求出 a ;若不唯一,求出模最小的向量 (4)若函数 f ? x ? ? cos x ? sin x ? x ? ? 0, 2? ?? 的图象与直线 y ? k 有且仅有四个不 同的交点,则 k 的取值范围是 (5)研究函数 y ? A sin(? x ? ? ) 性质的方法:类比于研究 y ? sin x 的性质,只需 将 y ? A sin(? x ? ? ) 中的 ? x ? ? 看成 y ? sin x 中的 x , 但在求 y ? A sin(? x ? ? ) 的单 调区间时,要特别注意 A 和 ? 的符号,通过诱导公式先将 ? 化正。如 ? (1)函数 y ? sin( ?2 x ? ) 的递减区间是______ 3

2

x ? (2) y ? log 1 cos( ? ) 的递减区间是_______ 3 4 2

( 3 ) 设函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,? ? ? ? ? ? ) 的图象关于直线 x ? 2? 对 称,它的周期是 ? ,则
2 2
3

1 5? 2? A、 f ( x)的图象过点 (0, ) B、 f ( x) 在区间 [ , ] 上是减函数 2 12 3 5 ? C、 f ( x)的图象的一个对称中心 是( ,0) D、 f ( x) 的最大值是 A
12

?? ? (4)对于函数 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? 给出下列结论: 3? ?
①图象关于原点成中心对称; ②图象关于直线 x ?

?
12

成轴对称;

③图象可由函数 y ? 2sin 2 x 的图像向左平移 ④图像向左平移

? 个单位,即得到函数 y ? 2cos 2 x 的图像。 12 其中正确结论是_______ (5) 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 图象与直线 y ? 1 的交点中, 距离最近两点间的 ? 距离为 ,那么此函数的周期是_______ 3 7、正切函数 y ? tan x 的图象和性质: ? (1)定义域: {x | x ? ? k? , k ? Z } 。遇到有关正切函数问题时,你注意到 2 正切函数的定义域了吗? (2)值域是 R,在上面定义域上无最大值也无最小值; (3)周期性:是周期函数且周期是 ? ,它与直线 y ? a 的两个相邻交点之间 的距离是一个周期 ? 。绝对值或平方对三角函数周期性的影响:一般说来,某一 周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是:弦减半、切不变.既为周期函数 又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变,其它不定。 如 y ? sin 2 x, y ? sin x 的周期都是 ? , 但 y ? sin x ? ? 1 ? ? cos x 的周期为 ,而 y ?| 2sin(3 x ? ) ? |, y ?| 2sin(3 x ? ) ? 2 | , y ?| tan x | 的 2 6 2 6 周期不变; ? k? ? (4)奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是 ? , 0 ? ? k ? Z ? ,特别提醒: ? 2 ? 正(余)切型函数的对称中心有两类:一类是图象与 x 轴的交点,另一类是渐近线 与 x 轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处。 ? ? ? ? (5)单调性:正切函数在开区间 ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 内都是增函数。 2 ? 2 ? 但要注意在整个定义域上不具有单调性。

? 个单位得到; 3

3

三角函数的性质练习题一
一.选择题: 1.要得到 y ? sin

? A? 向左平移 4 单位 ? B ? 向右平移 4 单位 ? C ? 向左平移 2 单位 ? D? 向右平移 2 单
位 2.以下给出的函数中,以 ? 为周期的偶函数是( )

?

x 1 ? 的图象,只要将函数 y ? sin( x ? ) 的图象( ) 2 2 4

?

?

?

? A? y ? cos2 x ? sin2 x

? B?

y? t a n x

?C ?
?
9

y? s i n x c o s x
处取最大值

? D? y ? c o s

3.函数 y ? Asin ?? x ? ? ? 在同一区间内的 x ? 值?

1 4? ,在 x ? 处取得最小 2 9

x 2

1 ,则函数解析式为( 2



? A? y ?

1 ?x ?? sin ? ? ? 2 ?3 6?

? B? y ?

1 ?? ? sin 3? ? ? x 2 6? ?

?C ? y ?


1 ?x ?? sin ? ? ? 2 ? 3 6?

? D? y ?
Y

1 ? ?? sin 3? ? ? x 2 ? 6?

4. y ? cot x sin x, x ? ? 0, ? ?

Y

? 3? ?? , ? 2

? 的图象是( ? ?

1 O

?
(A)

3?

X -1 Y 1 X O -1

O

?
(B)

?

3?

X

Y 1 O -1

? ?
(D)
Y

X

?

?

3?

3?

(C)
5. 三角函数式 ① y ? 3sin ? 2 x ?

? ?

5? ? ? 6 ? 5? ? ? 12 ?

② y ? 3sin ? 2 x ?

? ? ? ?

7? ? ? 6 ? 2? ? ? 3 ?


3

?
O

X

③ y ? 3sin ? 2 x ?

? ?

④ y ? 3sin ? 2 x ?

2?

其中在 ?

? ? 2? ? 上的图象如图所示的函数是( , ?6 3 ? ?

-3

4

? A? ③
二.填空题:

? B? ①



?C ? ①

② ④

? D? ①

② ③ ④

6.把函数 y ? cos x ? sin x 的图象向左平移 m ? m

0? 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则

m 的最小值是 ______
7。若函数具有以下性质: ⑴关于 y 轴对称 ⑵对于任意 x ? R ,都有 f (4 ? x) ? f (4 ? x) 则 f ( x ) 的解析式

为 _________________ (只须写出满足条件的的一个解析式即可) 8.若 ? ??0, 2? ? ,且 si n ? ? cos? ,求角 ? 的取值范围 _______________ 9 .已知 f ( x ) ? sin(

5k? ? x ? ),k ( ? 0, k ?Z 且 ) f ( x) 的周期不大于 1 ,则最小正常数 3 3

k ? ____________
三.解答题: 10.已知函数 y ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos2 x( x ? R) (1)求函数的最小正周期(2)求函数的增区间 (3)函数的图象可由函数 y ? 2 sin 2x( x ? R) 的图象经过怎样的变换得出? (4)若把函数的图象向左平移 m(m

0) 单位得一偶函数,求 m 的最小值

11.已知函数 f ( x) ? log 1 cos( ?
2

x ? ) 3 4
9? 是 f ( x ) 图象 4

(1) 求 f ( x ) 的定义域 的一条对称轴

(2)求函数的单调增区间(3)证明直线 x ?

5

12.设 f ( x) ? a sin ? x ? b cos ? x,(?

0) ,周期为 ? ,且有最大值 f ( ) ? 4 12

?

(1) 试把 f ( x ) 化成 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的形式,并说明图象可由 y ? sin x 的图象经 过怎样的平移变换和伸缩变换得到 (2) 若 ? , ? 为 f ( x) ? 0 的两根( ? , ? 终边不共线) ,求 tan(? ? ? ) 的值

13.已知函数图象 y= A sin(? x ? ?) ( A 坐标分别为 (

0, ?

0, ?

?
2

) 上相邻的最高点与最低点的

5? 11? ,3), ( , ?3) ,求该函数的解析式. 12 12

三角函数的性质练习题二
一.选择题: 1.下列函数中同时满足下列条件的是( ) ① 在 ? 0,

? ?? ? 上是增函数 ②以 2? 为周期 ? 2?
( B ) y? c o s x

③是奇函数

( A) y ? tan x
2.如果 ? , ? ? ?

1 (C ) y ? t a n x 2

( D ) y? ? t a n x

?? ? , ? ? 且 tan ? ?2 ?
( B) ?

cot ? ,则( )
(C )? ? ? 3? 2
6

( A)?

?

?

( D)? ? ?

3? 2

3。已知 sin ? ? ?

1 ?? ? 且 ? ? ? ?? , ? ? ,则 ? 可表示成( ) 3 2? ?
1 ( D )? ? ? a r c s i? n( 3 )

? 1 1 1 i n ( (C)) ? ? ? arcsin(? ) ( A )? a r c s ? i n ( ( B )? ? a r c s ? 2 3 3 3
4.若 sin x ? cos x ? 1 ,则 sin x ? cos x 的值是( )
n n

(A )1

( B) ? 1

(C )? 1

( ( D) 不确定

5。下面函数的图象关于原点对称的是( )

( A ) y? ? s i n x

( B ) y? ? x s i n x

(C ) y? s i ? n ( x )(D ) y? s i nx

6.函数 y ? sin x ? cos x 的取值范围是( )

? ( A) ? ?0, 2 ?
二.填空题: 7.函数 y ? sin

( A )? 0 ,?2 (C )? 1,?2

? ( D )? ? 1 , ?2

x x ? cos , x ? ? ?2? , 2? ? 的增区间为 _____________________ 2 2

8 . 设 f ( x) 是 以 5 为 周 期 的 函 数 , 且 当 x ? ? ?

? 5 5? , ? 时 , f ( x) ? x ? 2 2?



f (6.5) ? _________________ n( x ?? ? ) b c? os( x ?? ?, ) 其 4 中 a, b ,? , ? 均为非零实数,若 9 . 设 f ( x) ? a s i ? f(2003 ?) ,则 3 f (2004) 的值为 _____________
三.解答题: 10.若

sin ? ? cos ? ?xy ? ? sin ? cos ?

,试求 y ? f ( x) 的解析式

11.已知函数 y ? 1 ? sin x ? 1 ? sin x (1) 求函数的定义域和值域 (2)用定义判定函数的奇偶性

(3) 作函数在 ? 0, ? ? 内的图象 (4)求函数的最小正周期及单调区间

7

12.设函数 y ? f ( x) 的定义域为 R (1) 求证:函数 y ? f ( x) 关于点 ( a, 0) 对称的充要条件是 f (2a ? x) ? ? f ( x) (2) 若函数 y ? f ( x) 的图象有两个不同对称点 ( a, 0) , (b, 0) ,证明函数 y ? f ( x) 是周 期函数.

三角函数的性质练习题三
一.选择题: 1.若 f ( x ) ?

1 的最大值为 M,最小值为 N,则( cos 2 x ? 2



( A )M ? 3N? 0 ( B )M ? 3N? 0 (C ) 3 M ? N? 0 ( D ) 3 M ? N? 0
2.在直角三角形中两锐角为 A, B ,则 sin A sin B 的值( (A)有最大值 )

1 和最小值 0 2

(B)有最大值

1 ,但无最小值 2

(C)既无最大值也无最小值

(D)有最大值 1,但无最小值

3.函数 y ? log2 ?1 ? sin x ? ? log2 (1? sin x) ,当 x ? ? ?

? ? ?? 时的值域为( , ? 6 4? ?



( A )?? 1,?0

( B )? ? 1,?0
? ?

(C )? 0 ,?1

( D )? 0 ,? 1


4.函数 y ? ? sin x ? cos x, x ? ?? ,

3? ? ,则此函数的最大值,最小值分别为( 2? ?

( A ) 1? , 1

( B )? 1, ?

2

(C ) 2? ,

2

(D ) 2 , 1

5 、函数 f ( x) ? 2sin(3x ? ? )在区间 ? a, b? 上是增函数,且 f (a) ? ?2, f (b) ? 2 ,则
8

g ( x) ? 2cos(3x ? ? ) 在区间 ? a, b? 上(
(A)是增函数 (B)是减函数

) (C)可取最大值 2 ) (D)可取最小值 ?2

6、函数 y ? sin x ? 2sin x 的值域为(

( A )?? 3? , ?1
二.填空题:

( B )?? 1,?3

(C )? 0 ,?3

( D )? ? 3 ,?0

1.函数 y ? sin x ? cos x 的定义域为 _____________ 值域为 ______ 2.函数 y ? (1 ? sin x)(1 ? cos x) 的最大值为 _________ 最小值为 __________ 3.设单位圆上的点 P( x, y ) ,求过点 P 斜率为 ?

________________

3 的直线在y轴上截距的最大值为 4

4.设直角三角形两个锐角为A和B,则 sin A ? sin B 的范围是 ___________ 三.解答题: 5.求下列函数的最值

(1) y ?

sin x , x ? ? 0, ? ? 2 ? sin x

(2) y ?

cos x , x?R 2 ? sin x

2 6.已知关于x的函数 y ? 1 ? 2a ? 2a cos x ? 2sin x 的最小值为 f ( a ) ,求

? ? 的最大值 f (a ) 的解析式。13.设函数 y ? sin 2 x ? a cos x ? 5 a ? 3 , x ? ? ?0, ?
8 2 ? 2?
为1,求实数 a 的值。

9


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