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2018届高三数学总复习:配套练习90练 第41练 数列综合练(含答案解析)


第 41 练 数列综合练
训练目标 训练题型 识的综合应用. (1)用方程(组)思想可解决等差、等比数列的综合问题;(2)一般数列的解法思 解题策略 想是转化为等差或等比数列; (3)数列和其他知识的综合主要是从条件中寻找数 列的通项公式或递推公式. 一、选择题 1.(2016·山西大学附中期中)已知-9,a1,a2,-1 四个实数成等差数列,-9,b1,b2, (1)数列知识的综合应用;(2)学生解题能力的培养. (1)等差数列、等比数列的综合;(2)一般数列的通项与求和;(3)数列与其他知

b3,-1 五个实数成等比数列,则 b2(a2-a1)等于(
A.8 C.±8 B.-8 D. 9 8

)

1 1 1 1 2.(2016·甘肃天水月考)数列 1, , , ,?, 的前 1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+?+n

n 项和为(
A. C. 2n 2n+1

) B. 2n n+1

n+2 n+1

3n D. 2n+1
2n 2

3.已知等比数列的各项都为正数,且当 n≥3 时,a4a2n-4=10 ,则数列 lg a1,2lg a2,2 lg a3, 2 lg a4,?,2 A.n·2
n
3

n-1

lg an,?的前 n 项和 Sn 等于(

)
n-1

B.(n-1)·2
n

-1

C.(n-1)·2 +1

D.2 +1
2 2

n

4.若在数列{an}中,对任意正整数 n,都有 an+an+1=p(p 为常数),则称数列{an}为“等方 和数列”,称 p 为“公方和”,若数列{an}为“等方和数列”,其前 n 项和为 Sn,且“公方 和”为 1,首项 a1=1,则 S2 014 的最大值与最小值之和为( A.2 014 C.-1 B.1 007 D.2
3

)

5.(2016·郑州期中)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知(a4-1) +2 016(a4-1)=1, (a2 013-1) +2 016·(a2 013-1)=-1,则下列结论正确的是( A.S2 016=-2 016,a2 013>a4
3

)

B.S2 016=2 016,a2 013>a4 C.S2 016=-2 016,a2 013<a4 D.S2 016=2 016,a2 013<a4 二、填空题 6. (2017·武汉联考)已知等差数列{an}满足 a2=3, a5=9, 若数列{bn}满足 b1=3, bn+1=abn, 则{bn}的通项公式 bn=________. 7.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则 Sn=____________. 8.(2016·辽宁师大附中期中)已知数列 an-1=-n + 则 λ 的取值范围是__________________. 9.(2016·辽宁沈阳期中)设首项不为零的等差数列{an}的前 n 项和是 Sn,若不等式 an+ ≥λ a1对任意 an 和正整数 n 恒成立,则实数 λ 的最大值为________. 三、解答题 10.已知数列{an}是等比数列,首项 a1=1,公比 q>0,其前 n 项和为 Sn,且 S1+a1,S3+a3,
2 2 2

5 2 λ n+5λ -2λ +1 为单调递减数列, 2

S2 n n2

S2+a2 成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)若数列{bn}满足 an+1=( )anbn,Tn 为数列{bn}的前 n 项和,若 Tn≥m 恒成立,求 m 的最大 2 值.

答案精析

-1+9 8 2 1.B [由题意,得 a2-a1=d= = ,b2=9, 4-1 3 又因为 b2 是等比数列中的第三项, 所以与第一项同号,即 b2=-3,所以 b2(a2-a1)=-8.故选 B.] 1 2 1 1 2.B [∵ = =2( - ), 1+2+3+?+n n(n+1) n n+1 ∴数列 1, 1 1 1 1 , , ,?, 的前 n 项和为 1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+?+n

1 1 1 1 1 1 2n 2[(1- )+( - )+?+( - )]=2(1- )= , 2 2 3 n n+1 n+1 n+1 故选 B.] 3.C [∵等比数列{an}的各项都为正数,且当 n≥3 时,a4a2n-4=10 ,∴an=10 ,即 an= 10 ,∴2
n n-1
2n 2 2n

lg an=2

n-1

lg 10 =n·2

n

n-1



∴Sn=1+2×2+3×2 +?+n×2
2 3

2

n-1

,①
n

2Sn=1×2+2×2 +3×2 +?+n×2 ,② ∴①-②得-Sn=1+2+2 +?+2 =2 -1-n·2 =(1-n)·2 -1, ∴Sn=(n-1)·2 +1.] 4.D [由题意可知,an+an+1=1, 首项 a1=1,∴a2=0,a3=±1,a4=0,a5=±1,?, ∴从第 2 项起,数列的奇数项为 1 或-1,偶数项为 0, ∴S2 014 的最大值为 1 007,最小值为-1 005, ∴S2 014 的最大值与最小值之和为 2.] 5.D [∵(a4-1) +2 016(a4-1)=1,(a2 013-1) +2 016(a2 013-1)=-1, ∴(a4-1) +2 016(a4-1)+(a2 013-1) +2 016(a2 013-1)=0, 设 a4-1=m,a2 013-1=n, 则 m +2 016m+n +2 016n=0, 化为(m+n)·(m +n -mn+2 016)=0, ∵m +n -mn+2 016>0, ∴m+n=a4-1+a2 013-1=0, ∴a4+a2 013=2,
2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2

n-1

-n·2

n

n

n

n

n

2 016(a1+a2 016) 2 016(a4+a2 013) ∴S2 016= = =2 016. 2 2 又 a4-1>0,a2 013-1<0, ∴a4>1>a2 013,故选 D.] 6.2 +1 解析 根据题意,在等差数列{an}中,
n

a2=3,a5=9,则公差 d=2,
则 an=2n-1, 对于{bn},由 bn+1=2bn-1, 可得 bn+1-1=2(bn-1), 即{bn-1}是公比为 2 的等比数列, 且首项 b1-1=3-1=2, 则 bn-1=2 ,bn=2 +1. 1 7.-
n n

n Sn+1-Sn SnSn+1 Sn

解析 由题意, 得 S1=a1=-1, 又由 an+1=SnSn+1, 得 Sn+1-Sn=SnSn+1, 所以 Sn≠0, 所以 =1,即 1

Sn+1 Sn

?1? 1 1 1 - =-1,故数列? ?是以 =-1 为首项,-1 为公差的等差数列,得 =-1 ?Sn?

S1

1 -(n-1)=-n,所以 Sn=- .

n

8.(0,+∞) 5 2 2 解析 ∵数列 an-1=-n + λ n+5λ -2λ +1 为单调递减数列, 2 ∴当 n≥2 时,an-1>an, 5 5 2 2 2 2 ∴-n + λ n+5λ -2λ +1>-(n+1) + λ (n+1)+5λ -2λ +1, 2 2 即 5 λ <2n+1, 2

由于数列{2n+1}在 n≥2 时单调递增, 因此其最小值为 5, ∴ 5 λ λ <5,∴2 >1,∴λ >0. 2

1 9. 5 解析 在等差数列{an}中,首项不为零,

即 a1≠0,则数列的前 n 项和为 Sn= 由不等式 an+ 2≥λ a1,
2

n(a1+an)
2

.

S2 n n

2

n2(a1+an)2
得 an+
2

4

n2

≥λ a1,

2

5 2 1 1 2 2 ∴ an+ a1an+ a1≥λ a1, 4 2 4 5 an 2 an 1 即 ( ) + + ≥λ . 4 a1 2a1 4

an 5 2 1 1 5 1 2 1 1 设 t= ,则 y= t + t+ = (t+ ) + ≥ , a1 4 2 4 4 5 5 5
1 1 ∴λ ≤ ,即 λ 的最大值为 . 5 5 10.解 (1)方法一 由题意可知 2(S3+a3)=(S1+a1)+(S2+a2), ∴S3-S1+S3-S2=a1+a2-2a3, 即 4a3=a1,

a3 2 1 1 于是 =q = ,∵q>0,∴q= . a1 4 2
1 n-1 ∵a1=1,∴an=( ) . 2 方法二 由题意可知 2(S3+a3)=(S1+a1)+(S2+a2), 当 q=1 时,不符合题意; 1-q 2 当 q≠1 时,2( +q ) 1-q 1-q =1+1+ +q, 1-q ∴2(1+q+q +q )=2+1+q+q, 1 2 2 ∴4q =1,∴q = , 4 1 ∵q>0,∴q= . 2 1 n-1 ∵a1=1,∴an=( ) . 2 1 (2)∵an+1=( )anbn, 2
2 2 2 3

1 n 1 n-1 ∴( ) =( )anbn,∴bn=n·2 , 2 2 ∴Tn=1×1+2×2+3×2 +?+n·2
2 3 2

n-1

,①

∴2Tn=1×2+2×2 +3×2 +?+n·2 ,② ∴①-②得-Tn=1+2+2 +?+2 ∴Tn=1+(n-1)2 . 要使 Tn≥m 恒成立, 只需(Tn)min≥m. ∵Tn+1-Tn=n·2
n+1 n
2

n

n-1

1- 2 n n n -n·2 = -n·2 =(1-n)2 -1, 1-2

n

-(n-1)·2 =(n+1)·2 >0,

n

n

∴{Tn}为递增数列, ∴当 n=1 时,(Tn)min=1, ∴m≤1,∴m 的最大值为 1.


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