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椭圆公开课教案


淮北煤师院附中 市级公开课教案

椭圆及其标准方程

授课人:钮杰

0

8.1 椭圆及其标准方程
[教学目标]: (1)知识目标:使学生掌握椭圆的定义,理解椭圆标准方程的推导,能根据条件 确定椭圆的标准方程。 (2)能力目标:通过椭圆的定义和标准方程的推导,培养学生自己动手的能力, 并提高学生运用坐标法的自觉性以及解决几何问题的能力。 (3)德育目标:从实践中得到椭圆图形,揭示出椭圆的一般规律,掌握椭圆的本 质特性,体现了从特殊到一般,从感性到理性的辩证唯物主义观点。 (4)美育目标:让学生从椭圆的几何图形中感知曲线美,建立适当的坐标系,得 椭圆的标准方程,体现了数学的对称美,也充分展示了数与形结合的和谐美。 [教学重点]:椭圆的定义及其标准方程 [教学难点]: 椭圆定义中常数的限制条件、椭圆标准方程的推导和标准方程中“b” 的引入 [教学方法]:启发与引导 [教辅工具]:细绳、画板、铅笔、实物、投影仪、多媒体 [教学过程]: 一、引入:前面,我们学习了曲线与方程等知识,请同学们回忆一下: 问题 1:什么叫曲线方程?求曲线方程的一般步骤? 问题 2:圆的几何特征是什么?除上述特征外,我们还见过具有哪些特征的点 的轨迹也是圆? 问题 3:你能否可类似地提出一些轨迹命题,并对其作深入的探索? 例如:

二、进行新课 通过学提到 “到两点距离之和等于常数的点” 因势利导及通过实物及多媒体展 示得到椭圆定义。 1、定义:平面内与两点 F1、F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 叫做椭圆,这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦距。 说明: (1)

(2)

1

(板书课题)

§8.1 椭圆及标准方程

y
M

2.椭圆的标准方程 1°建直角坐标系,设点 (1)以两定点 F1、F2 所在直线 为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系,设|F1F2|=2C o F1 (C>0),M(x,y)为椭圆上任意 点,则 F1(-c,0) 2(c,0),又设 M 到 F1F2 ,F 的距离之和为 2a。 (2)点的集合 P=?M? MF ? MF2 ? 2a ? 1 (3)代数方程

F2

x

?x ? c ?2 ? y 2 ? ?x ? c ?2 ? y 2

? 2a

(4)化简方程(引导学生推导,并用实物投影展示学生推导过程) 提示:I、原方程要移项平方,使之抵消部分项,否则相当复杂;一次平方后 还含有根式可整理后再平方。 II、为了使方程简单对称和谐,引入 b,使 b2 =a2 -c2 从而得方程 x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)(说明 a、b 的几何意义) a 2 b2 (5)证明(略) 因此,焦点在 x 轴上的,焦点是 F1(-c,0)F2(c,0)这里 b2=a2-c2 的椭圆标 准方程为: x2 y2 ? ? 1 (a>b>0) a 2 b2 那么焦点在 y 轴上,焦点是 F1(-c,0)F2(c,0)这里 b2=a2-c2 的椭圆标准方程为: x2 y2 ? ? 1 (a>b>0) b2 a 2 2°两种标准方程的比较(引导学生归纳) 可根据分母的大小来判定椭圆的焦点在哪一个轴上, 分母哪个大, 焦点就在哪 个轴。

3.例题分析:
2

例 1、求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)(4,0),椭圆上一点到两焦点距离之和 等于 10。 3 5 (2)两个焦点的坐标分别是(0,-2)(0,2),并且经过点 ( ? , ) 2 2

(变化 1)已知 B(-3,0),C(3,0),|CA|,|BC|,|AB|成等差数列, 求点 A 的轨迹方程。 解:∵|CA|、|BC|、|AB|成等差数列 ∴2|BC|=|CA|+|AB| 又∵B(-3,0),C(3,0) ∴|CA|+|AB|=12 ∴A 点的轨迹方程为椭圆。 设椭圆的轨迹方程为 x2 y2 ? ?1 a 2 b2 ∴2a=12,c=3 ∴b2=a2-c2=36-9=27 x2 y2 ? ?1 ∴A 的轨迹方程为 36 27 (变化 2)已知 B、C 是两个定点,|BC|=6,且△ABC 的周长为 16,求顶点 A 的轨迹方程。

点评: (1)求出曲线方程后要注意检查一下方程的曲线上的点是否符合题意, 如果不符合题意的点,应在所得方程后注明限制条件。 (变化 3)在△ABC 中,B(-3,0),C(3,0),SinB+SinC=2SinA,求顶点 A 的轨迹方程。

3

三、课堂练习 P96:2、3

四、总结 1、椭圆的定义(当 2a=|F1F2|动点轨迹是线段 F1F2,当 2a<|F1F2|动点不存在) 2、椭圆的标准方程 x2 y2 1° 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) a b 2 x y2 2° 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) b a

五、布置作业 P95:练习一 1,P96 习题 8.1、1.3

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