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7.1空间直角坐标系


7.1 空间直角坐标系

一、引入
在初中,我们学过数轴,那么什么是 数轴?决定数轴的因素有哪些?数轴上的 点怎么表示?
A x -1

0

1

2

数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。
数轴上的点可用与这个点对应的实数x来表示。

/>
一、引入
在教室里同学们的位置坐标
O
讲台

y

x

在高中,我们学过平面直角坐标系,那 么如何建立平面直角坐标系?决定的因素有 哪些?平面直角坐标系上的点怎么表示?
y

N

P

平面直角坐标系是由两条 原点重合、互相垂直的数轴 组成的。
x

0

M

平面直角坐标系上的点用 它对应的横纵坐标,即一 对有序实数对(x,y)表示。

如何确定空中飞行的飞机的位置?

教室里某位同学的头所在的位置
z

y O

x

在空间,我们是否可以建立一个坐标系, 使空间中的任意一点都可用对应的有序实数 组表示出来呢?

空间直角坐标系
? 1.建立了一个空间直角坐标系 Oxyz.其中 ? (1)点O叫做坐标原点; z ? (2)x轴、y轴、z轴叫做坐标轴; D` ? (3)以线段OA的长为单位长度. ? 2.通过每两个坐标轴的平面 A` 叫做坐标平面,分别称为: ? xOy平面、yOz平面、zOx平面. O ? 称这个坐标系为右手直角坐标 系.如无特别说明,本书建立 A 的坐标系都是右手直角坐标系. (图1) x

C` B`

C B

y

空间直角坐标系 —Oxyz
z
1

(1)在平面上画空 间直角 竖轴 坐标系Oxyz, 一般 ∠xoy为135° ∠yoz为90° 纵轴 (2)y轴、z轴上的都取原 来的长度,而x轴上的 右手直角坐标系 长度则取原来的一半 y

o
1

1

x

横轴



z

zox



yoz


面 Ⅱ Ⅰ

xoy
Ⅶ Ⅷ



o

y
Ⅵ Ⅴ

x

空间直角坐标系共有八个卦限

建立了空间直角坐标系以后,空 间中任意一点如何用坐标表示呢?
? 设B`为空间的一个定点,过B`分别作垂直于x轴、 y轴、z轴的平面,依次交x轴、y轴、z轴于点
? 空间的点 ?z? ? 有序数组 ( x , y , z ) ? 设点A,C,D`在x轴、 y轴、z轴上的坐标 C` Z D` 分别为x、y、z, A` B` ? 那么点B`就对应惟 C 一确定的有序实数 O y X Y 组(x,y,z).

A,C,D`.

1? ? 1

A

x

(图2)

B

方法:

过P点作xOy面的垂线,垂足为 P0 点。

点 P0 在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的横坐标、 纵坐标。再过P点作z轴的垂线,垂足 P1 在z轴上的坐 标z就是P点的竖坐标。
z

z P1

P

1

?
y
1

P点坐标为 (x,y,z)
y

x
x

1 M

? o

?P

N

0

例1:如图
在 长 方 体 OABC Dⅱ Bⅱ 中, A = A C O 3, C = 4, D ⅱ 2 , 写 出 D , C , A ⅱ B O O = , 四 点 的 坐 标.

z D' C' B' O A'

D’ (0,0,2) C (0,4,0) A’ (3,0,2)
B’ (3,4,2)

C y
x A B

例、在空间直角坐标系中标出下列各点 A(0,4,0) B(3,4,0) C(3,4,2)
z
2

C ?3 , 4 , 2 ?
4

y

o
3

A (0, 4, 0 ) B (3, 4, 0 )

x

1、在空间直角坐标系中描出下列

各点,并说明这些点的位置
A(0,1,1) B(0,0,2) C(0,2,0) D(1,0,3) E(2,2,0) F(1,0,0)
z

D

?

?B
1

?A
?
1

O

C

F

?1

?

y

?E

x

练习:在空间直角坐标系中作出下列各点
(1)、A(1,4,1); (-1,-3,3) C ?
z

(2)、B(2,-2,-1); (3)、C(-1,-3,3);

(-1,-3,0) C1 ? (2,-2,0) B1

1
O

?

1

? B?
x

1

? A(1,4,1) y ?
A1(1,4,0)

(2,-2,-1)

练习:
点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点,写出 满足下列条件的点的坐标. (1)与点M关于x轴对称的点 (2)与点M关于y轴对称的点 (x,-y,-z) (-x,y,-z)

(3)与点M关于z轴对称的点
(4)与点M关于原点对称的点

(-x,-y,z)
(-x,-y,-z)

(5)与点M关于xOy平面对称的点 (x,y,-z)
(6)与点M关于xOz平面对称的点 (x,-y,z)

(7)与点M关于yOz平面对称的点 (-x,y,z)

? 2006年3月俄罗斯空军 特技飞行表演队在我 国著名风景区张家界 市天门山进行特技表 演. ? 为了保证安全飞行, 飞行员及地面指挥员 们如何准确确定飞机 之间的距离?

平面上两点间的距离公式怎样?类比平面 两点间的距离公式的推导,你能猜想一下 空间两点 P1 ( x 1 , y 1 , z 1 ), P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 间的距 离公式吗?
平面上两点间 的距离公式: | P1 P2 |?
z

( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )
2

2

P2 ( x 2 , y 2 , z 2 )

P1 ( x 1 , y 1 , z 1 )
O y

x

二、空间两点间的距离
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为 空 间 两 点

z

R
?M
M1
2

d ? M 1M
Q
N

2

? ?
2

?

在 直 角 ? M 1 NM 及 直 角 ? M 1 PN

P
o

中 , 使 用 勾 股 定

y 理知
d
2

x

? M 1P

2

? PN

2

? NM

2 2

,

z

? M 1 P ? x 2 ? x1 , PN ? y 2 ? y 1 ,
NM
2

R
?M 2
M1

?

Q
N
y

P
o

? z 2 ? z1 ,

x
2

?d ?
M 1M
2

M 1P
?

2

? PN
2

? NM

2 2
2 2

? x 2 ? x 1 ? ? ? y 2 ? y1 ? ? ? z 2 ? z1 ? .
空间两点间距离公式

特殊地:若两点分别为

M ( x , y , z ) , O ( 0 ,0 ,0 )
? x ? y ? z .
2 2 2

d ? OM

例 1 求证以 M 1 ( 4,3,1) 、 M 2 ( 7,1,2) 、 M 3 ( 5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.

解:
M 1M M 2M
2 3

2

? ? ?

( 7 ? 4 ) ? ( 1 ? 3 ) ? ( 2 ? 1 ) ? 14 ,
2 2 2

2

(5 ? 7 ) ? ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? 6,
2 2 2

M 3M 1

2

( 4 ? 5 ) ? ( 3 ? 2 ) ? (1 ? 3 ) ? 6 ,
2 2 2

? M 2M

3

? M 3M 1 ,

原结论成立.


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