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福建省南安第一中学2014-2015学年高一数学下学期期末考试试题


南安一中 2014~2015 学年度下学期期末考 高一数学科试卷
本试卷考试内容为:人教版必修 5. 分第 I 卷(选择题)和第 II 卷,共 4 页,满分150分, 考试时间120分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.考生作答时,请将答案答在答题纸上,在本试卷上答题无效.按照题号在各题的答题区域 内作答,超出答题区域书写

的答案无效. 3.答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题纸纸面清洁,不破损.考试结束后,将本试卷自行保存,答题纸交回. 第 I 卷(选择题 共 60 分)

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求. 1.设 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则下列不等式正确的是( A. ac ? bc B. )
2 2

1 1 ? a b

C. a ? c ? b ? c

D. a ? b

2.已知数列 ?an ? 为等差数列,若 a1 ? a9 ? 24 ,则 a5 ? ( A.24 B.12 C.6 D. 2 6

)

3.在△ABC 中, a ? 4 , b ? 7 , sin B ? A.

1 7

B.

7 16

C.

7 8

1 ,则 sin A =( 4 4 D. 7
2

)

4.在等比数列 ?an ? 中,若 a5 , a 6 是方程 x -4x+1=0 的两个根,则 a4 ? a7 =( A.2
2

)

B. ?1
2 2

C. 1

D. ?1 ) D.

5.在△ABC 中, a ? b ? c +bc ,则 A 的值是( A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

5? 6
)

x-y+1≥0, ? ? 6.设 x,y 满足约束条件?x+y-1≥0,则 z=x ? 2y 的最小值是( ? ?x≤3, A.-1 B.11 C.2 D.1

1

7.据科学计算,运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为 2 km, 以后每秒钟通过的路程增加 2 km,经过 15 秒火箭与飞船分离,则这 15 秒火箭共飞行了( A.480 km
2 2

)

B.65534 km

C.120 km

D.240 km )

8.不等式 x ? 2 x ? 1 ? a ? 2a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A. ? ??,0? ? ?2, ??? B. ? ??, ?2? ??0, ??? C. ? 0, 2? D. ? ?2,0?

9. 《莱因德纸草书》 (Rhind papyrus)是世界上最古老的数学著作之一.该书中有一道这样的题 目:100 个面包分给 5 个人,每人一份,若按照每个人分得的面包个数从少到多排列,可得 到一个等差数列, 其中较多的三份和的 A.35 B. 32

1 等于较少的两份和, 则最多的一份面包个数为 ( 3
C.30 D. 27 )



10.在 ?ABC 中, a ? 3, b ? x, cos B ? A. ? 3, ?? ?
2

B.
2

?

2 ,若 ?ABC 有两解,则 x 的取值范围是( 3

5, ??

?

C.
2

?

5,3

?

D.

? 0, 5 ?

11.不等式 x ? x ? 2 ? 0 和 x ? (2a ? 1) x ? a ? a ? 0 的解集分别为 A 和 B ,且 A ? B ,则实 数 a 取值范围是( A. ? 0,1? ) B. ?0,1? C. ??1,1? D. ? ?1,1?

12.如下图所示,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点的 仰角∠MAN=60°,C 点的仰角∠CAB=30°以及∠MAC=105°;从 C 点测得∠MCA=45°.已知山 高 BC=150 米,则所求山高 MN 为( A. 300 3 C. 150 3 )米.

B. 150 6 D. 300 6

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.在△ABC 中, BC ? 4 , AC ? 5 , AB ?

21 ,则内角 C =_________.

14.已知正数 a , b 满足 a ? b ? 3 ,则 a ? b 的最大值为________. 15.已知数列 ?an ? 满足 an ?

1 (n ? 1, n ? N * ), a1 ? 2 ,则数列 ?an ? 的前 6 项和 S6 =____. 1 ? an ?1

??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ?OA ? OM ? 0 ? 16.已知 OA ? (2, ?3), OB ? (1,5) ,若将满足条件 ? ??? 的动点 M 所表示的平面区域记 ? ???? ? OB ? OM ? 0 ? ?
为 D.则单位圆 x ? y ? 1落在区域 D 内的部分的弧长为_________.
2 2

2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,演算过程或证明步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c( x ? R) ,且 f ( x) ? 0 的解集为 ? ?2,0 ? . (Ⅰ)求 b, c 的值; (Ⅱ)若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? f (n), n ? N * ,求数列 ?an ? 的通项公式 an .

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x ?

4 ,定义域为 D . x ?1

(Ⅰ)若 D ? ?1, ??? ,求函数的 f ( x ) 最小值; (Ⅱ)若 D = (??,1) ? (1, ??) 时, ( x ? 1) f ( x) ? mx 恒成立,求实数 m 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 B 为锐角, 3a ? 2b sin A ? 0 , 且 a、b、c 成等比数列. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)判断△ABC 的形状.

3

20. (本小题满分 12 分) 某洗衣机厂计划在下一个月生产两种型号的洗衣机,每台 A 型或 B 型洗衣机所得利润分别为 6 百元和 4 百元,而生产一台 A 型或 B 型洗衣机所耗原料分别为 2 和 3 个单位;所需工时分别为 4 和 2 个单位时间,如果允许使用的原料为 100 单位,工时为 120 单位时间,且 A 或 B 型洗衣机 的产量分别不低于 5 台和 10 台,应当生产每种类型洗衣机多少台,才能使利润最大?

21. (本小题满分 12 分) 某海域的东西方向上分别有 A,B 两个观测点(如图) ,它们相距 5(3+ 3)海里.现有一艘 轮船在 D 点发出求救信号,经探测得知 D 点位于 A 点北偏东 45°,B 点北偏西 60°,这时,位于

B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3海里的 C 点有一救援船,其航行速度为 30 海里/小时.
(Ⅰ)求 B 点到 D 点的距离 BD; (Ⅱ)若命令 C 处的救援船立即前往 D 点营救,求该救援船到达 D 点需要的时间.

22. (本小题满分 14 分) 1 2 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足(p-1)Sn=p -an(p>0,p≠1),且 a3= . 3 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; 1 (Ⅱ)设 bn= ,数列{bnbn+2}的前 n 项和为 Tn,若对于任意的正整数 n,都有 2-log3an

Tn<m2-m-

5 成立,求实数 m 的取值范围. 4

4

南安一中 2014~2015 学年度下学期期末考 高一数学科试卷参考答案 一.选择题:1—6:CBACCA 7—12:DCCCDB 二.填空题: 13. 60
?

14.

9 4

15. 3

16.

? 4

三.解答题: 17. 解: (Ⅰ)? x ? bx ? c ? 0 的解集为 ? ?2,0 ? ,
2

? -2 和 0 是方程 x 2 ? bx ? c ? 0 的两根????????????????????2 分
? x ? x ? ?2 ? ?b ,解得, b ? 2, c ? 0 .?????????6 分 ? 由根和系数的关系知 ? 1 2 x x ? 0 ? c ? 1 2
(Ⅱ) Sn ? f (n) ? n2 ? 2n ,

? 当 n ? 1 时, a1 ? s1 ? 3 ??????????????????????????8 分 2 ? 当 n ? 1 时, an ? sn ? sn?1 ? (n2 ? 2n) ? ?? n ? 1? ? 2(n ? 1) ? ? 2n ? 1 ? ? 综上可知, an ? 2n ? 1.???????????????????????????12 分
18. 解: (Ⅰ)当 D ? ?1, ??? ,即 x ? 1 ,?

4 ? 0, x ? 1 ? 0 ????????????2 分 x ?1

? f ( x) ? x ?

4 4 ? ? x ? 1? ? ?1 ? 2 x ?1 x ?1

? x ? 1?

4 ? 1 ? 5 (当且仅当 x ? 3 取等号) x ?1

? 函数的 f ( x) 最小值为 5. ??????????????????????????6 分
(Ⅱ)? x ? (??,1) ? (1, ??) 时, ( x ? 1) f ( x) ? mx 可化为 x ? (m ? 1) x ? 4 ? 0
2

当 ? ? (m ? 1) ?16 ? 0 即 ?5 ? m ? 3 时, x ? (m ? 1) x ? 4 ? 0 恒成立???????10 分
2 2 2

当 ? ? (m ? 1) ?16 ? 0 即 m ? 3 或 m ? ?5 时,均不合题意 综上所述, ?5 ? m ? 3 .???????????????????????????12 分

19. 解:由 3a ? 2b sin A ? 0 可得

a 2b ? , sin A 3
5

由正弦定理

a b 2b ? ? .????????????????????4 分 sin A sin B 3
π 3 .又∵B 为锐角,∴B= .????????????????6 分 3 2
2

解得 sinB=

(Ⅱ)∵a,b,c 成等比数列,∴ac= b .????????????????8 分 ∴cosB=

a2+c2-b2 a 2 ? c 2 ? ac 1 = = , 2ac 2 2ac
2

化简得 a +c -2ac=0,解得 a=c. ??????????????????11 分 ∴△ABC 是等边三角形.???????????????????????12 分 20. 解:设生产 A 型洗衣机 x 台,B 型洗衣机 y 台,则根据题意线性约束条件为

2

2x+3y≤100, ? ?4x+2y≤120, ?x≥5, ? ?y≥10,



2x+3y≤100, ? ?2x+y≤60, ?x≥5, ? ?y≥10.

???????????????????????????4 分

线性目标函数为 z=6x+4y. ??????????????????????6 分 根据约束条件作出可行域如图所示,作 3x+2y=0. 当直线 l0 平移至过点 A 时,z 取最大值,
? ?2x+3y=100, 解方程组? ? ?2x+y=60,

得?

? ?x=20. ? ?y=20.

???????????????11 分 (图 2 分)

答:生产两种类型洗衣机各 20 台,所获利润最大.???????????? 12 分

6

21. 解: (Ⅰ)由题意知 AB=5(3+ 3)海里, ∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°, ∴ ∠ ADB = 180° - (45° + 30)° = 105°,?????2 分 在△DAB 中,由正弦定理得 = , sin∠DAB sin∠ADB ∴DB= = =

DB

AB

AB·sin∠DAB 5?3+ 3?·sin45° = sin∠ADB sin105°

5?3+ 3?·sin45° sin45°cos60°+cos45°sin60° 5 3? 3+1? =10 3(海里) ??????????????????????6 分 3+1 2

(Ⅱ)在△DBC 中,∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,???8 分

BC=20 3(海里),由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC=300+1200-2×10 3×20 3× =900,?10 分
30 ∴CD=30(海里),则需要的时间 t= =1(小时).?????????????11 分 30 答:救援船到达 D 点需要 1 小时.?????????????????????12 分 2 22. 解: (Ⅰ)由题设知(p-1)a1=p -a1, 解得 p=a1 或 p=0(舍去).?????????????????????????2 分 2 由条件可知(p-1)S2=(p-1)(a1+a2)=p -a2, 解得 a2=1. 再由(p-1)S3=(p-1)(a1+a2+a3)=p -a3, 1 解得 a3= .
2

1 2

p

1 1 1 由 a3= 可得 = ,故 p=3=a1. ?????????????????????4 分 3 p 3

? 2Sn=9-an ,
当 n ? 1 时,2Sn-1=9-an-1, 以上两式作差得 2(Sn-Sn-1)=an-1-an, 即 2an=an-1-an,
7

1 故 an= an-1. 3

? 数列{an}是首项为 3,公比为3的等比数列.????????????????5 分
1 n-1 2-n 故 an=3( ) =3 . ???????????????????????????6 分 3 (Ⅱ)因为 bn= 所以 bnbn+2= 1 1 1 = = ,?????????????????8 分 2-log3an 2-?2-n? n

1

1 1 1 1 = ( - ),????????????????????8 分 n?n+2? 2 n n+2

Tn=b1b3+b2b4+b3b5+?+bnbn+2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = [(1- )+( - )+( - )+( - )+?+( - )] 2 3 2 4 3 5 4 6 n n+2 1 1 1 1 3 = (1+ - - )< .?????????????????????????11 分 2 2 n+1 n+2 4 故要使 Tn<m -m-
2

5 5 3 2 2 恒成立,只需 ≤m -m- ,即 m -m-2≥0 4 4 4

解得 m≤-1 或 m≥2. 故所求实数 m 的取值范围为(-∞,-1]∪[2,+∞).??????????????14 分

8


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