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北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》立体几何中的向量方法(四).


立体几何中的向量方法 (四)
----利用向量解决平行与垂直问 题

法门高中

姚连省
1

一、复习
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题 中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题; (化为 向量问题)

(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及 它们之间距离和夹角等问题; (进行向量运算) (回到图形 (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 问题)
2

2、平行与垂直关系的向量表示

? ? 设直线l,m的方向向量分别为 a ? b , ? , 平面 ? , 的法向量分别为 u , ? v
? ? ? ? 线线平行 l // m ? a // b ? a ? ?b ? ? ? ? 线面平行 l // ? ? a ? u ? a ? u ? 0 ? ? ? ? 面面平行 ? // ? ? u // v ? u ? ? v
3

(1)平行关系

? ? 设直线l,m的方向向量分别为 a ? b , , ? 平面 ? , 的法向量分别为 u , ? v
? ? ? ? 线线垂直 l ? m ? a ? b ? a ? b ? 0 ? ? ? ? 线面垂直 l ? ? ? a // u ? a ? ? u ? ? ? ? 面面垂直 ? ? ? ? u ? v ? u ? v ? 0
4

(2)垂直关系

二、新课
(一)用向量处理平行问题

(二)用向量处理垂直问题

5

(一)用向量处理平行问题
例1: 如图已知四边形ABCD、 ABEF为两个正方形, MN 分别在其对角线BF 上,
F M E

B

C

N 且FM ? AN .求证:MN // 平面EBC A 证明 : 在正方形ABCD与ABEF中, D ? BE ? AB, FM ?? AN ,??? ???? , ??? ? FB ? AC ? ? ? ?存在实数?, 使FM ? ? FB, AN ? ? AC. ???? ???? ??? ???? ? ? ??? ??? ? ? ???? ? MN ? MF ? FA ? AN ? ? BF ? EB ? ? AC ??? ??? ??? ???? ??? ? ? ? ? ??? ???? ??? ? ? ? ? ( BE ? BA ? AB ? AD) ? EB ? ? ( BE ? AD) ? EB ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ( BE ? BC ) ? BE ? (? ? 1) BE ? ? BC.

6

例1: 如图已知四边形ABCD、 ABEF为两个正方形, MN 分别在其对角线BF 上,
F M

E

B
N

且FM ? AN .求证:MN // 平面EBC ???? ??? ??? ? ? ? ? MN、 、 共面. BE BC

C

A

D

? M ? 平面EBC ,? MN // 平面EBC
评注: 向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是 存在实数对x,y使p=xa+yb. 利用共面向量定理可以证明线面平行问题。 本题用的就是向量法。

7

例2.在正方形ABCD - A B1C1D1中, 1 求证 : 平面A BD // 平面CB1D1 1
三边所在的直线为x, y, z轴建立空间 A 直角坐标系.设正方体的棱长为1,
则A1 (1, 0, 0), B1 (1,1, 0),
X Z
D

证明 : 如图分别以D1 A1、D1C1、D1D

C

B
D1

C1
B1

C (0, 0,1), D(0, 0,1) ???? ? ???? 则A1 D ? (?1, 0,1), B1C ? (?1, 0,1) ???? ???? ? ? A1 D // B1C.即直线A1 D // B1C,

A1

Y

则A1 D // 平面CB1D1.同理右证:A1B // 平面CB1D1.
8

? 平面A1 BD // 平面CB1 D1.

例2.在正方形ABCD - A B1C1D1中, 1 求证 : 平面A BD // 平面CB1D1 1
D A B Z

C
C1

D1
评注: A1 B1 X 由于三种平行关系可以相互转化, 所以本题可用逻辑推理来证明。 用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化, 在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系, 方能减少运算量。本题选用了坐标法。
9

Y

(二)用向量处理垂直问题 例3 :
在正方体ABCD ? A ' B ' C ' D '中. E,F分别是CC ', BD的中点. 求证:A ' F ? 平面BDE.
证明:如图 ??? ???? ????? ? 取 DA, DC , DD '分别为x轴,y轴,z轴 X 建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为2.

Z

E

F

Y

A(2,0,0),B(2,2,0),A '(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0)
10

例3 : 在正方体ABCD ? A ' B ' C' D' 中. E,F分别是CC ', BD的中点.

Z

求证:A ' F ? 平面BDE. ????? A ' F ? ( ?1,1, 2), ? ???? ???? F Y DB ? (2,2,0), DE ? (0,2,1) ????? ???? ? A ' F ? DB ? ( ?1,1, 2) (2,2,0) 0,? X ? ? ????? ???? A ' F ? DE ? ( ?1,1, 2) (0,2,1) 0 ? ? ? ????? ???? ????? ???? ? A ' F ? DB, A' F ? DE, 又DB ? DE ? D ? A F ? 平面BDE . '
11

E

例3 : 在正方体ABCD ? A ' B ' C ' D '中. E,F分别是CC ', BD的中点. 求证:A ' F ? 平面BDE.
评注: 本题若用一般法证明, 容易证A’F垂直于BD, 而证A’F垂直于DE, 或证A’F垂直于EF则较难, 用建立空间坐标系的方法 能使问题化难为易。
E Z

F X

Y

12

练习: 在三棱柱ABC ? A ' B ' C '中, A ' C ? AB ', 求证:BC ' ? AB '
C' A'

B'

底面是正三角形,AA ' ? 底面ABC,

证明:设底面边长为1, 设a ? AA', b ? AB, c ? AC a ? b ? 0, a ? c ? 0, b ? c ? 1 / 2. A' C ? A' A ? AC ? c ? a
C

B A

向量法

AB' ? AB ? BB ' ? b ? a BC ' ? BA ? AC ? CC ' ? c ? a ? b
13

练习: 在三棱柱ABC ? A ' B ' C '中,

C' A'

B'

底面是正三角形,AA ' ? 底面ABC, A ' C ? ?AB ', 求证:BC ' ? AB ' ???? ???? ? ? ? ? ? 0 ? A ' C ? AB ' ? (c ? a) ? (b ? a) ? ? ? ? ? ? ?2 ? c?b ? c?a ? a ?b ? a ?2 ? ? 1 a ? c?b ? 2

C

B A

BC ' ? AB' ? (c ? a ? b) ? (b ? a) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (c ? a ? 2a ? b) ? (b ? a) ? (2a ? b) ? (b ? a) ?2 ? ? ?2 ?2 ?2 ? 2 a ? a ? b ? b ? 2a ? b ? 1 ? 1 ? 0

14

练习: 在三棱柱ABC ? A ' B ' C '中, 底面是正三角形,AA ' ? 底面ABC, A ' C ? AB ', 求证:BC ' ? AB ' 设底面边长为 , 高为h, 2 坐标法 如图建立空间直角坐标 . 系
A( 3 ,0,0), B(0,1,0), C (0,?1,0).
C' A' B'

C

B A

A' ( 3 ,0, h), B' (0,1, h), C ' (0,?1, h). ???? ? ???? ? ???? ? AB ' ? (? 3,1, h), A ' C ? (? 3, ?1, ?h), BC ' ? (0, ?2, h) ???? ???? ? ? 0 ? AB ' ? A ' C ? 3 ? 1 ? h 2 , h 2 ? 2. ???? ???? ? ? 2 AB ' ? BC ' ? 0 ? 2 ? h ? 0.? BC ' ? AB '

15

三、小结
利用向量解决平行与垂直问题 ? 向量法:利用向量的概念技巧运算解决问 题。 ? 坐标法:利用数及其运算解决问题。 两种方法经常结合起来使用。

16

四 、 作 业

作业: 如图, 直三棱柱ABC ? A1 B1C1中, ?ACB ? 90 ,
0

AC ? 1, CB ? 2, 侧棱AA1 ? 1, 侧面AA1B1B的 两条对角线交点为D, B1C1的中点为M . 求证CD ? 平面BDM
A

A1

解: 如图,以C为原点建立空间直角坐标系. B( 2 ,0,0), B1 ( 2,1,0), A1 (0,1,1),
C

D

C1
M

B 2 1 1 2 D( , , ), M ( ,1,0), 2 2 2 2 ???? ????? 2 1 1 ???? 1 1 CD ? ( , , ), A1 B ? ( 2, ?1, ?1), ? (0, , ? ), DM 2 2 2 2 2

B1
17

作业: 如图, 直三棱柱ABC ? A1 B1C1中, ?ACB ? 90 ,
0

AC ? 1, CB ? 2, 侧棱AA1 ? 1, 侧面AA1B1B的 两条对角线交点为D, B1C1的中点为M . 求证CD ? 平面BDM
A

A1
D

B

? A1B, DM 为平面BDM内的两条相交直线, ? CD ? 平面BDM .
18

B1

??? ???? ? 则CD ? A1 B ? 0, ??? ???? ? ? CD ? DM ? 0. ? CD ? A1B, CD ? DM .

C

C1
M

作业:2.课本p.116第2题。

教后反思

19

l

? a

? ? ? ? m l // m ?a // b ? a ? ?b

? b

? a

? u

l // ? ? l ? ? ? ? a ? u ?? ? u ? 0 a

?

? v

?

u

? ? ? ? ? // ? ? u // v ? u ? ?v

?
20

l

? a
l

? b

? ? ? ? l ? m ?a ? b ? a ? b ? 0

? a

? u

m

l ?? ? ? ? ? ? a // u ? a ? ?u

?

? u

? v

? ? ? ? ? u ? v ? u?v ? 0
21

??? ?

?


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