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2013高考数学(理)二轮复习:专题2


专题二 三角函数、平面向量 与解三角形

第6讲 第7讲 第8讲

三角恒等变换与三角函数 解三角形? 平面向量及向量的应用

专题二

三角函数、平面向 量与解三角形

第6讲 三角恒等变换与三角 函数

第6讲 │ 云览高考
[云览高考 ] 考点统计 考点 1 三 角恒等变换

题型 (频率 ) 选择(5) 填空(1)

考点 2 三 选择(4) 角函数的图 填空(1) 象与解析式 解答(1) 考点 3 三 选择(2) 课程标准卷 9(B), 2 角函数性质 解答(8) 四川卷 18(B) 及综合问题 说明: A 表示简单题, B 表示中等题, C 表示难题. 频率为分析各省市课标卷情况.

考例 (难度 ) 辽宁卷 7(A),广东 卷 16(B),江西卷 4(A) 北京卷 15(B), 安徽 卷 16(B),浙江卷 4(B)

第6讲 │ 二轮复习建议

二轮复习建议
命题角度:该部分的命题主要围绕三个点展开.第一个 点是围绕三角恒等变换展开,考查使用和、差角公式,倍角 公式,诱导公式,同角三角函数关系等进行变换求值问题, 试题难度不大;第二个点是围绕三角函数的图象展开,考查 根据三角函数图象求函数解析式、 根据函数解析式判断函数 图象、三角函数图象与性质的综合等问题;第三个点是围绕 三角函数性质展开,考查根据三角函数解析式研究函数性 质,根据三角函数性质推断函数解析式中的参数等问题. 预计 2016 年的考查会延续近几年的命题方向,主要考 查简单的三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用.

第6讲 │ 二轮复习建议

复习建议:根据课标区五年来对该部分的考查情况,该 部分无论在考查难度还是在考查量(分值)上都与其地区有较 大的差异,五年来没有出现一道解答题,即使是选择题、填 空题其大多数的难度也都在 A,B 两个层级,安徽、广东、 陕西等其他新课标省份每年都单独考查一个三角恒等变形、 三角函数图象及性质的解答题,难度不大,因此复习该部分 时主要以基础为主,注重小题为主,兼顾大题,不要过分展 开.

第6讲 │ 主干知识整合
主干知识整合

第6讲 │ 主干知识整合

第6讲 │ 主干知识整合

1.三角函数定义、同角关系与诱导公式 (1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 y P(x,y),则sinα=y,cosα=x,tanα= .各象限角的三角函数 x 值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦. sinα 2 2 (2)同角关系:sin α+cos α=1, =tanα. cosα (3)诱导公式:在360°±α,180°±α,-α,90°±α,270°±α 的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”.

第6讲 │ 主干知识整合
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质 (1)图象的记忆:根据正弦函数图象过(0,0)、余弦函数图 象过(0,1)、正切函数图象过(0,0)及在各象限的符号记忆; (2)性质的记忆:由正弦函数、余弦函数、正切函数的图 象理解各函数的性质,包括:定义域、值域、最值、单调 性、奇偶性、周期性. 3.y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 2π y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)的最小正周期是 , |ω| π y=Atan(ωx+φ)的最小正周期是 .其定义域、值域、单 |ω| 调性等性质结合y=sinx,y=cosx,y=tanx的性质理解.

第6讲 │ 主干知识整合

第6讲 │ 主干知识整合

5.恒等变换公式 sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ, cos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ, tanα±tanβ tan(α±β)= ,sin2α=2sinαcosα, 1?tanαtanβ cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.

第6讲│ 要点热点探究

要点热点探究
? 探究点一 三角恒等变换 例 1 (1)设 tanα,tanβ 是方程 x2- 3x+ 2= 0 的两根,则 tan(α+ β)的值为 ( ) A.- 3 B.- 1 C. 1 D. 3 ?π π? 3 7 (2)[山东卷 ] 若 θ∈? , ?, sin2θ= ,则 sinθ=( ) 4 2 8 ? ? 3 4 7 3 A. B. C. D. 5 5 4 4

第6讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲求tan(α+β)需求tanα+tanβ, tanαtanβ ? (推理)根据已知使用韦达定理可得 ? (结论)整体 代入正切和角公式计算即可; (2)(分析)欲求sinθ只要求出sin2θ ? (推理)根据二倍角余弦 公式只要求出cos2θ ? (结论)根据已知和同角三角函数关系可 得.

第6讲│ 要点热点探究

三角恒等变换的几种问题

[答案]

(1)A

(2)D

[解析] (1)因为tanα,tanβ是方程x2-3x+2=0的两根, 所以tanα+tanβ=3,tanα· tanβ=2,所以tan(α+β)= tanα+tanβ 3 = =-3. 1-tanαtanβ 1-2 ?π π? 3 7 ? ? (2)∵θ∈ 4,2 ,sin2θ= , 8 ? ? ?3 7? ?2 2 ∴cos2θ=- 1-? = 1 - 2sin θ,解之得 ? 8 ? ? ? 3 sinθ= . 4

第6讲│ 要点热点探究

[规范评析] 三角恒等变换的主要题目类型是求值,在求 值时只要根据求解目标的需要,结合已知条件选用合适的公 式计算即可.本例(1)从整体上求解,实际上也可以直接求出 tanα,tanβ的值,再代入和角正切公式求解;本例(2)的主要 问题是使用同角三角函数关系和降幂公式,在开方时符号的 选取,其基本原则是依据角所在的象限确定三角函数值的符 号.

第6讲│ 要点热点探究

变式题 ( ) 8 A. 3

1 cos2α (1) 若 tan(π - α) =- ,则 2 的值为 3 sin2α+cos α 8 B. 5 8 C.- 7 8 D. 15

5 3 (2)设 α, β 都是锐角, 且 cosα= ,sin(α+β)= , 则 cosβ 5 5 =( ) 2 5 2 5 A. B. 25 5 5 5 2 5 2 5 C. 或 D. 或 25 5 5 25

第6讲│ 要点热点探究
[答案] (1)D (2)D

1 cos2α [解析] (1)根据已知得tanα= , = 3 sin2α+cos2α cos2α-sin2α . 2sinαcosα+cos2α 方法1:将上式分子分母同时除以cos2α,得原式= 1 1-tan2α 1-9 8 = = . 2 15 2tanα+1 +1 3 1 方法2:变换tanα= 为cosα=3sinα,代入上式,得原式 3 9sin2α-sin2α 8 = = . 6sin2α+9sin2α 15

第6讲│ 要点热点探究

2 5 4 (2)根据已知,得sinα= ,cos(α+β)=± . 5 5 4 若cos(α+β)= ,则cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα 5 4 5 3 2 5 2 5 +sin(α+β)sinα= × + × = ; 5 5 5 5 5 4 若cos(α+β)=- ,则cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+ 5 4 5 3 2 5 2 5 β)cosα+sin(α+β)sinα=- × + × = . 5 5 5 5 25

第6讲│ 要点热点探究
? 探究点二 三角函数的图象与解析式 例 2 (1)[· 浙江卷 ] 把函数 y= cos2x+ 1 的图象上所有点的横坐 标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度, 再向下平移 1 个单位长度,得到的图象是 ( )

图 2- 6- 1

第6讲│ 要点热点探究
? π? (2)函数f(x)=Asin(ωx+φ) ?A>0,ω>0,|φ|<2 ? 的部分图象如图 ? ?

2-6-2所示,则将y=f(x)的图象向右平移 象解析式为( )

π 个单位后,得到的图 6

A.y=sin2x
? 2π? C.y=sin?2x+ 3 ? ? ?

图2-6-2 B.y=cos2x
? π? D.y=sin?2x-6 ? ? ?

第6讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲得函数图象需得函数解析式 ? (推理) 根据函数图象变换法则得函数解析式 ? (结论)根据函数解析式和 选项中的图象判断之. (2)(分析)欲求所要的函数解析式需求f(x)的解析式,需求A, ω,φ ? (推理)根据函数图象可得最大值、四分之三周期、函数在 π π x= 处的函数值,逐次解之 ? (结论)以x- 代替x即得所求. 6 6

第6讲│ 要点热点探究

常见三角函数图象与解析式问题
[答案] (1)A (2)D

[解析] (1)根据题设条件得到变化后的函数为y=cos(x+ 1),结合函数图象可知选项A符合要求.故选A. 3 11π π 3π (2)由图象知A=1, T= - = ,T=π?ω=2, 4 12 6 4 ? ? π π π π π 由sin?2× 6+φ?=1及|φ|< ,得 +φ= ?φ= ?f(x)= 2 3 2 6 ? ? ? π? π ? ? sin 2x+ 6 ,则图象向右平移 个单位后得到的图象解析 6 ? ? ? ? ? π? π? π? ? ? ? 式为y=sin?2 x-6 ?+6 ?=sin?2x- 6 ?,故选D. ? ? ? ? ? ?

第6讲│ 要点热点探究

[规范评析] 根据函数解析式得出函数图象时要注意对已 知的函数解析式进行恒等变换,把函数解析式化为一个角的 一个三角函数形式,然后再根据函数图象的变换法则找出符 合要求的函数图象;根据函数图象得出函数解析式时,要善 于根据函数图象上反映出的函数性质、特殊点的坐标确定函 数解析式中的待定系数.

第6讲│ 要点热点探究
π 变式题 (1)函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,|φ|< ,x∈R的部 2 分图象如图2-6-3所示,则( ) ?π ?π π? π? A.f(x)=-4sin?8x+4 ? B.f(x)=4sin?8x-4 ? ? ? ? ? ?π ?π π? π? C.f(x)=-4sin?8x-4 ? D.f(x)=4sin?8x+4 ? ? ? ? ?

图2-6-3

第6讲│ 要点热点探究

(2)设f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,该 函数的部分图象如图2-6-4所示,△EFG是边长为2的等边 三角形,则f(1)的值为( ) 3 6 A.- B.- C. 3 D.- 3 2 2

图2-6-4

第6讲│ 要点热点探究

[答案]

(1)A

(2)D

T 2π π [解析] (1)由图象可知 =6-(-2)=8= ,所以ω= . 2 2ω 8 π π 又图象过(-2,0)得 ×(-2)+φ=0?φ= .所以f(x)= 8 4 ?π π? Asin?8x+4 ?.又(2,-4)在函数图象上,所以A=-4,故选A. ? ?

第6讲│ 要点热点探究

(2)由题意,函数f(x)=Acos(ωx+φ)的最小正周期为4, 2π π 所以 =4,解得ω= (ω>0).因为函数f(x)为奇函数,所以φ |ω| 2 π π =kπ+ (k∈Z).又0<φ<π,所以φ= .因为△EFG是边长为2 2 2 3 的等边三角形,所以点E的纵坐标是2× = 3 .故A= 3 2 (A>0).所以 ?π π? f(x)= 3cos?2x+2 ?.所以f(1)= 3cosπ=- 3.故选D. ? ?

第6讲│ 要点热点探究
? 探究点三 三角函数的性质与综合问题 (1)[湖南卷 ] 函数
? π? f(x)= sinx- cos?x+ ?的值域为 6? ?

例 3 (

) A. [- 2,2] B. [- 3, 3] ? 3 3? ? C. [- 1,1] D.?- , ? 2 2 ? ? ? (2)[· 课程标准卷]

? ? π? ?π 已知 ω>0, 函数 f(x)=sin?ωx+ ?在? ,π? 4 ? ?2 ? ?

单调递减,则 ω 的取值范围是( ?1 5 ? ?1 3 ? ? 1? A.? , ? B.? , ? C.?0, ? 2? ?2 4 ? ?2 4 ? ?

) D. (0,2]

第6讲│ 要点热点探究

(1)(分析)欲求函数f(x)值域需化f(x)=Asin(ωx ? π? +φ)的形式 ? (推理)把cos ?x+ 6 ? 展开重组即可 ? (结论)据三 ? ? 角函数性质得出值域; (2)(分析)欲求ω的范围需得ω满足的不等式 ? (推理)根据 ?π π π? 已知 ?2ω+4,πω+4 ? 需在函数y=sinx的单调递减区间内 ? ? ? (结论)得出不等式解之. [思考流程]

第6讲│ 要点热点探究

三角函数的性质与综合问题

[答案] (1)B

(2)A

? π? 3 3 [解析] (1)函数f(x)=sinx-cos?x+ 6 ?= sinx- cosx 2 ? ? 2 ? ? π? π? = 3sin ?x- 6 ? ,所以函数f(x)=sinx-cos ?x+ 6 ? 的值域为 ? ? ? ?

[- 3, 3],故选B.

第6讲│ 要点热点探究

?π ? 3π (2)函数y=sinx单调递减区间为?2+2kπ, 2 +2kπ?,由于 ? ? ? ?π ? π? 函数f(x)=sin ?ωx+4 ? 在区间 ?2,π? 单调递减,所以区间 ? ? ? ? ?π ? π π? ?π 3π π π π ? ω+ ,πω+ ? ? ? +2kπ, +2kπ? ,所以 +2kπ≤ ω+ 4 4 ? ?2 2 2 2 4 ?2 ?

π 3π 1 5 且πω+ ≤ +2kπ,解得ω≥4k+ 且ω≤2k+ ,取k=0即 4 2 2 4 1 5 得 ≤ ω≤ . 2 4

第6讲│ 要点热点探究

[规范评析] 三角函数的性质由函数的解析式确定,在解 答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键, 在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式变换 函数解析式.三角函数的值域、三角函数的单调性也可以使 用导数的方法进行研究.

第6讲│ 规律技巧提炼

规律技巧提炼
?规律 解答三角函数的图象与性质类的试题,变换是核心,把 三角函数的解析式通过变换,化为正弦型、余弦型、正切型函数, 然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行研究. ?技巧 1.角的变换技巧,如 2α=(α+β)+(α-β)=(2α+θ)-θ= 1 · 4α 等,基本原则是化未知为已知. 2 2.当已知 sinα± cosα 时,可以与同角三角函数关系联合使用,同 时注意(sinα± cosα)2=1± sin2α,利用这个关系可进行换元,如求 y =sinx+cosx+sin2x 的值域,只要令 t=sinx+cosx,则 sin2x=t2 -1,即化为求 y=t2+t-1,t∈[- 2, 2]的值域.

第6讲│ 规律技巧提炼

?易错

1.求三角函数值域时,在自变量的范围内存在函数最值时 ? π? ? π ? π ? ? ? ? 容易出错,如求 y=sin 2x+ 3 在 0, 4 上的值域,此时 2x+ ∈ 3 ? ? ? ? ?π 5π? ?1 ? 3 1 ? , ?, ? ,1?, 此时函数值是从 增大到 1 , 再减小到 , 其值域是 6? 2 2 ?3 ?2 ? ?1 3? ? 不是? , ? . 2? ?2 ?

第6讲│ 规律技巧提炼

2.图象均是由点构成,图象变换也就是点的变换,而点是由 横、纵坐标组成,图象变换的本质就是横、纵坐标作相应的变 化,所以从改变横坐标x、纵坐标y的角度看,有平移变换与伸缩 变换:平移变换分为水平方向上的平移(y不变,x都改变相同的 量)和垂直方向上的平移(x不变,y都改变相同的量);伸缩变换分 水平方向上的伸缩(y不变,x都改变相同的率)和垂直方向上的伸 π 缩(x不变,y都改变相同的率),如函数y=sin2x的图象向右平移 6 ? ? π? π? 个单位应是y=sin2?x- 6 ?,而不是y=sin?2x- 6 ?. ? ? ? ?

第6讲│ 命题立意追溯

命题立意追溯

运算求解能力——三角变换的方法技巧 示例 已知α为第二象限角,sinα+cosα= ( ) 5 A.- 3 5 C. 9 5 B.- 9 5 D. 3 3 ,则cos2α= 3

第6讲│ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题的立意是考查使用三角恒等变换公式进行运 算的能力.通过灵活选用公式、不同方位变换已知和求解目标, 考查运算的合理性和灵活性.

第6讲│ 命题立意追溯

[思考流程] (分析)欲求cos2α只要求出cosα,sinα,sin2α三者 之一即可 ? (推理)根据已知和同角三角函数关系可得 ? (结论) 计算求解.

第6讲│ 命题立意追溯

[答案] A
[解析]因为 sinα+cosα= 2 所以 sin2α=- . 3 由于 sinα+cosα=
? π? 2sin?α+4 ?= ? ?

3 1 ,两边平方得 1+2sinαcosα= , 3 3

3 >0,且 α 为第二象限角, 3

π 3π 所以 2kπ+ <α<2kπ+ ,k∈Z, 2 4 3π 所以 4kπ+π<2α<4kπ+ ,k∈Z, 2 所以 cos2α=- 1-sin 2α=-
2

4 5 1- =- . 9 3

第6讲│ 命题立意追溯
[跟踪练] π? 4? 1.已知sinθ+cosθ= ?0<θ<4 ? ,则sinθ-cosθ的值 3? ? 为( ) 2 2 1 1 A. B.- C. D.- 3 3 3 3 15 2.如果α为第二象限角且sinα= ,则 4 ? π? sin?α+4? ? ? =( ) sin2α+cos2α+1 2 2 A. 2 B.- 2 C. D.- 2 2

第6讲│ 命题立意追溯

1. [答案]

B

4 7 [ 解析 ] sinθ + cosθ = 平方得 2sinθcosθ = ,所以 (sinθ - 3 9 7 2 π cosθ)2=1-2sinθcosθ=1- = .当 0<θ< 时,sinθ-cosθ<0,所以 9 9 4 2 sinθ-cosθ=- . 3

第6讲│ 命题立意追溯

2. [答案]

B

15 [解析] 当 α 为第二象限角, 且 sinα= 时, sinα+cosα≠0 4 1 且 cosα=- , 4 ? π? 2?? ? ? ? ? sin α + cos α ? ? α + sin ? ? ?sinα+cosα? 4 2 2 ? ? ? ? 故 = = ? sin2α+cos2α+1 2sinαcosα+2cos2α 4cosα??sinα+cosα??? 2 = =- 2. 4cosα

第6讲│ 教师备用例题

教师备用例题

选题理由:例1说明角的变换方法,具有较高的技巧性,可 在探究点一中使用;例2是由函数性质推断函数解析式,可在探 究点二中使用;例3说明三角函数综合解答题的模式.

第6讲│ 教师备用例题

例1

[2012· 江苏卷]

设α为锐角,若cos

? π? ?α+ ? 6? ?

4 = ,则 5

? π? sin?2α+12?的值为________. ? ?

第6讲│ 教师备用例题

17 2 [答案] 50
[解析] 本题考查三角函数求值问题.解题突破口为寻找 已知角和所求角之间的整体关系. ? ? ? π? 3 π?? 24 由条件得sin?α+6 ?= ,从而sin?2?α+6??= , ? ? 5 ? ? ?? 25 ? ? ? π? ? π? 16 7 cos?2?α+6??=2× -1= ,从而sin?2α+12?= 25 25 ? ? ?? ? ? ? π π? 24 2 7 2 17 2 ? ? sin 2α+3-4 = × - × = . 2 25 2 50 ? ? 25

第6讲│ 教师备用例题

例2

? ? ?π 2π? ? ? π ? ?上 函数y=sin(ωx+φ) ?ω>0且? ?φ?< ? 在区间 ? , 2 6 3 ? ? ? ?

单调递减,且函数值从1减小到-1,那么此函数图象与y轴 交点的纵坐标为( ) 6+ 2 1 2 3 A. B. C. D. 2 2 2 4

第6讲│ 教师备用例题

[答案] A

[解析] 因为函数的最大值为 1,最小值为-1,且在区 ?π 2π? 2π ? ? 间 6, 3 上单调递减,又函数值从 1 减小到-1,可知 - 3 ? ? π π T 2π 2π = = ,则周期 T=π,所以 ω= T = =2,此时函数为 6 2 2 π ?π ? π ? ? y=sin(2x+φ).又由函数过点 6,1 ,代入可得 φ= ,因此 6 ? ? 函数为 y= ? π? 1 ? ? sin 2x+6 ,令 x=0,可得 y= .故选 A. 2 ? ?

第6讲│ 教师备用例题

2 π 例3 [· 安徽卷] 设函数 f(x)= cos2x+ + sin2x. 2 4 (1)求 f(x)的最小正周期; ? ? π? π? (2)设函数 g(x)对任意 x∈ R, 有 g?x+ ?= g(x), 且当 x∈?0, ? 2 2? ? ? ? 1 时, g(x)= - f(x).求 g(x)在区间 [-π, 0]上的解析式. 2

第6讲│ 教师备用例题
π? 2 ? 解:(1)f(x)= cos?2x+ 4 ?+sin2x 2 ? ? π π? 1-cos2x 2? = ?cos2xcos4-sin2xsin4 ?+ 2? 2 ? 1 1 = - sin2x. 2 2 故f(x)的最小正周期为π. ? π? 1 1 ? ? (2)当x∈ 0, 2 时,g(x)= -f(x)= sin2x,故 2 2 ? ? ? π ? π ? π? ①当x∈?- 2,0?时,x+ ∈?0, 2 ?.由于对任意x∈R, 2 ? ? ? ? ? π? g?x+ 2 ?=g(x),从而 ? ? ? π? 1 ? ? π?? 1 1 ? ? ? ? ? ? g(x)=g x+ 2 = sin 2 x+2 = sin(π+2x)=- sin2x. 2 ? ? 2 ? ? ?? 2

第6讲│ 教师备用例题

? ? π? π? ②当x∈?-π,-2 ?时,x+π∈?0, 2 ?,从而 ? ? ? ?

1 1 g(x)=g(x+π)= sin[2(x+π)]= sin2x. 2 2 综合①②得g(x)在[-π,0]上的解析式为
? π? ?1 -π,- ?, ?2sin2x,x∈? 2? ? g(x)=? ? ? ?-1sin2x,x∈?-π,0?. ? 2 ? 2 ?

第 7讲

解三角形

第7讲 │ 云览高考

[云览高考 ] 考点统计 题型 (频率) 考例 (难度 ) 考点 1 正弦定 选择 (5) 课程标准卷 17(1)(B), 陕西 理与余弦定理 填空 (2) 卷 9(B),北京卷 11(B),安 的应用 解答 (1) 徽卷 15(C),四川卷 4(B) 考点 2 三角形 课程标准卷 17(2)(B), 湖南 解答 (1) 面积 卷 15(C) 考点 3 解三角 0 形的实际应用 说明: A 表示简单题,B 表示中等题,C 表示难题. 频率为分析各省市课标卷情况.

第7讲 │ 二轮复习建议

二轮复习建议
命题角度:该部分的命题围绕三点展开.第一点是围绕利 用正弦定理定理解三角形展开,目的是考查使用这两个定理解 一般的斜三角形,通常是选择题或者填空题;第二点是围绕解 三角形在实际问题中的应用展开,考查使用正弦定理、余弦定 理以及三角函数的知识解决实际应用问题的能力,一般以解答 题的方式进行考查;第三点是三角函数、三角恒等变换和解三 角形的交汇,目的是考查综合运用知识解决问题的能力,一般 以解答题的方式进行考查.解三角形是高考中的一个重要命题 点. 预计 2016 年对该部分的考查会延续前几年的命题方向,并 有适度的创新,如把平面向量、三角恒等变换等结合起来进行 考查.

第7讲 │ 二轮复习建议

复习建议:该部分的知识点不多,但可以与三角函数、 平面向量、实际应用题等问题相互交汇,具有较为广阔的命 题背景.从五年来课程标准卷的考查情况看,该部分出现过 一个实际应用题、一个解三角形与三角变换交汇的解答题, 出现过两个难度为 C 级的解三角形的试题,因此复习该部分 时要重在引导学生提高使用正弦定理、余弦定理解一般的斜 三角形的能力(实际应用题也是解一般的斜三角形).

第7讲 │ 主干知识整合
主干知识整合

第7讲 │ 主干知识整合

1.正弦定理 a b c = = =2R(R为外接圆半径), sinA sinB sinC 变形:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC. 2.余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA, 变形: b2+c2-a2 ?b+c?2-a2 cosA= = -1. 2bc 2bc

第7讲 │ 主干知识整合

3.面积公式 1 abc 1 S= absinC.导出公式:S= (R为外接圆半径),S= (a 2 4R 2 +b+c)r(r为内切圆半径). 4.常用技巧 (1)利用正弦定理实现边角互化; π (2)若三角形ABC为锐角三角形,则A+B> ,sinA>cosB, 2 cosA<sinB,a2+b2>c2.类比三角形ABC为钝角三角形可得相 应结论.

第7讲│ 要点热点探究
要点热点探究
? 探究点一 正弦定理与余弦定理的应用 例 1 (1)[天津卷 ] 在△ ABC 中,内角 A,B, C 所对的边 分别是 a,b, c.已知 8b=5c, C= 2B,则 cosC=( ) 7 7 7 24 A. B.- C.± D. 25 25 25 25 (2)[· 陕西卷 ] 在△ ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a, b, c,若 a2+ b2= 2c2,则 cosC 的最小值为( ) 3 2 1 1 A. B. C. D.- 2 2 2 2

第7讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲求cosC只要求出cos2B ? (推理)只 需求出cosB ? (结论)在8b=5c,C=2B下使用正弦定理即得. (2)(分析)欲求cosC的最小值,建立cosC关于边a,b,c的 关系式 ? (推理)代入a2+b2=2c2消去c得关于a,b的关系式 ? (结论)使用基本不等式a2+b2≥2ab即得.

第7讲│ 要点热点探究

正弦定理与余弦定理的几种问题

[答案] (1)A

(2)C

[解析] (1)本题考查三角函数的倍角公式及正弦定理, 考查运算求解能力,属中档题. 4 由正弦定理得8sinB=5sinC,∵C=2B,∴cosB= ,∴ 5 ?4? 7 2 2 cosC=cos2B=2cos B-1=2?5? -1= . 25 ? ? a2+b2-c2 a2+b2 2ab 1 (2)由余弦定理知cosC= = ≥ = .故选 2ab 4ab 4ab 2 C.

第7讲│ 要点热点探究

[规范评析] 解三角形就是根据正弦定理和余弦定理得出 方程进行的.当已知三角形边长的比时使用正弦定理可以转 化为边的对角的正弦的比值,本例第一题就是在这种思想指 导下求解的;当已知三角形三边之间的关系式,特别是边的 二次关系式时要考虑根据余弦定理把边的关系转化为角的余 弦关系式,再考虑问题的下一步解决方法.

第7讲│ 要点热点探究

变式题 (1)在△ABC 中,B=60° ,AC= 3,则 AB+2BC 的最大值为________. (2)在△ABC 中,已知 sinB+sinC=sinA(cosB+cosC),则 △ABC 的形状为________.

第7讲│ 要点热点探究

[答案] (1)2 7 (2)直角三角形

[解析] (1)A+C=120° ?C=120° -A,A∈(0° ,120° ),由 BC AC = =2得BC=2sinA, sinA sinB AB AC = =2?AB=2sinC=2sin(120° -A)= 3 cosA+ sinC sinB sinA, ∴AB+2BC= 3cosA+5sinA= 28sin(A+φ)=2 7 sin(A +φ),故最大值是2 7.

第7讲│ 要点热点探究

(2)设A,B,C对边分别为a,b,c,由已知等式利用正 ?a2+c2-b2 a2+b2-c2? ? 弦、余弦定理得b+c=a? , + ? ? 2ac 2ab ? ? ? 2 2 2? ? ?=0. b + c - a 整理得(b+c)? ? ∴b2+c2=a2,∴△ABC为直角三角形,且∠A=90° .

第7讲│ 要点热点探究

?

探究点二

三角形的面积问题

例2 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b, c,已知向量m=(cosA,cosB),n=(2c+b,a),且m⊥n. (1)求角A的大小; (2)若a=4,求△ABC面积的最大值.

第7讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(条件)m⊥n,即已知三角形的边角的一个 方程 ? (目标)求角A ? (方法)根据正弦定理把边的关系转化 为角的三角函数方程即可得出; (2)(条件)a=4和第一问求出的角A ? (目标)求三角形面 积的最大值 ? (方法)根据余弦定理和不等式的知识得出bc的 最大值即可.

第7讲│ 要点热点探究

三角形的面积问题 解:(1)∵m⊥n, ∴ m· n=(cosA,cosB)· (2c+b,a)=(2c+b)cosA+acosB =0.(2分) 由正弦定理可得(2sinC+sinB)cosA+sinAcosB=0, 即2sinCcosA+(sinBcosA+sinAcosB)=0, 整理可得sinC+2sinCcosA=0. 1 2π ∵0<C<π,∴sinC>0,∴cosA=- ,∴A= .(5分) 2 3

第7讲│ 要点热点探究

(2)由余弦定理可得,a2=b2+c2-2bccosA,即16=b2+ 16 2 c +bc≥3bc(当且仅当b=c时取等号),故bc≤ .(8分) 3 1 3 4 3 故△ABC的面积为S= bcsinA= bc≤ ,当且仅当b 2 4 3 4 3 4 3 = c= 时,△ABC的面积取得最大值 .(12分) 3 3

第7讲│ 要点热点探究

[规范评析] 在含有边角混合等式的问题中,如何进行转 化是问题的关键.当等式中含有角的余弦、正弦时首先要考 虑使用正弦定理把边的关系转化为角的三角函数关系,以便 于问题的解决.在解三角形问题中要注意方程思想的应用, 正弦定理、余弦定理本身就是一个方程,当已知三角形面积 时得边角的一个方程,就把求解的元素纳入到方程中,通过 方程解三角形.

第7讲│ 要点热点探究
? 例3 探究点三 解三角形的实际应用

如图2-7-1,某测量人员,为了测量西江北岸不能到达的两 点A,B之间的距离,她在西江南岸找到一个点 C,从C点可以观察 到点A,B;找到一个点D,从D点可以观察到点A,C;找到一个点 E,从E点可以观察到点B,C;并测量得到数据:∠ACD=90° ,∠ ADC=60° ,∠ACB=15° ,∠BCE=105° ,∠CEB=45° ,DC=CE =1 km. (1)求△CDE的面积;(2)求A,B之间的距离.

如图2-7-1

第7讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(条件)CD,CE长度 ? (目标)求△CDE的面 积 ? (方法)求出∠DCE,据三角形面积公式计算; (2)(条件)∠ACB ? (目标)A,B之间的距离 ? (方法)在△ ACD,△BCE求出AC,BC,使用余弦定理求出AB.

第7讲│ 要点热点探究
解三角形的实际应用 解:(1)连接DE,在△CDE中,∠DCE=360° -90° -15° -105° =150° , 1 1 1 1 1 S△CDE= DC· CE· sin150° = ×sin30° = × = (km2). 2 2 2 2 4

(2)依题意知,在Rt△ACD中,AC=DC· tan∠ADC= 1×tan60° = 3.在△BCE中,∠CBE=180° -∠BCE-∠CEB =180° -105° -45° =30° ,

第7讲│ 要点热点探究
BC CE = , sin∠CEB sin∠CBE CE 1 得BC= · sin∠CEB= ×sin45° = 2. sin30° sin∠CBE ∵cos15° =cos(60° -45° )=cos60° cos45° +sin60° sin45° 6+ 2 1 2 3 2 = × + × = , 2 2 2 2 4 在△ABC中,由余弦定理 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos∠ACB, 6+ 2 2 可得AB =3+2-2 3× 2× =2- 3, 4 ∴AB= 2- 3km. 由正弦定理

第7讲│ 要点热点探究

[规范评析] 解三角形的实际应用问题就是把求解的量纳 入到一个可以使用正弦定理、余弦定理求解的三角形中,这 个三角形的一些元素如果不完全具备就要借助于其他的三角 形求解,如本题中就是先根据两个可解三角形求出了我们需 要求解的三角形的两边长度.

第7讲│ 规律技巧提炼

规律技巧提炼
?规律 当已知三角形的两边和其中一个边的对角求解第三边时, 可以使用正弦定理,也可以使用余弦定理.使用余弦定理就是根据 余弦定理本身是一个方程, 这个方程联系着三角形的三个边和其中 的一个内角,在这类试题中要注意方程思想的运用. 1 ?技巧 在与三角形面积 S= absinC 有关的问题中,注意使用不等 2 ?a+b?2 ? . 式 ab≤? ? 2 ? ?易错 当已知两边及一边的对角,而使用正弦定理解三角形时, 可能有一解、两解,注意讨论;在求与三角形内角有关的三角函数 取值范围、最值时忽视角的范围.

第7讲│ 命题立意追溯
命题立意追溯
应用意识 ——通过解三角形进行数学建模 示例 [2012· 安徽卷 ] 设△ ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分 别为 a, b, c,则下列命题正确的是________(写出所有正确命题 的编号 ). π π 2 ①若 ab>c ,则 C< ; ②若 a+ b>2c,则 C< ; 3 3 π π 3 3 3 ③若 a + b = c ,则 C< ;④若 (a+ b)c<2ab,则 C> ; 2 2 π ⑤若 (a2+ b2)c2<2a2b2,则 C> . 3

第7讲│ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题考查三角形、正余弦定理以及基本不 等式,考查转化化归思想及运算能力,难度较大.逐一判 断,结合三角形的性质、正余弦定理、不等式性质以及基 本不等式,恰当运用不等式变形的方法和技巧.

第7讲│ 命题立意追溯

π [思考流程] (分析)已知三边关系,要比较其中一个角与 3 π 或 的大小,需把边的关系转化为三角函数的关系,根据三 2 角函数值的范围确定角的大小关系 ? (推理 )可通过三种方 式进行推理转化: (1)根据正弦定理或余弦定理把边的关系转 化为角的三角函数的关系; (2)先把边的关系利用不等式的性 质朝目标转化后再转化为三角函数的关系; (3) 取特殊值 ? (结论)根据转化出来的具体的三角函数值的范围确定角的范 围,并判断大小.

第7讲│ 要点热点探究
[答案] ①②③
[ 解析 ] 对于①,由 c2 = a2 + b2 - 2abcosC<ab 得 2cosC + a2+b2 b a 1 π 1> ab =a+b≥2,则 cosC> ,因为 0<C<π,所以 C< ,故① 2 3 正确;对于 ②,由 4c2 = 4a2 + 4b2 - 8abcosC<a2 + b2 + 2ab 得 a b 1 2 2 ab(8cosC+2)>3(a +b ),即 8cosC+2>3b+a≥6,则 cosC> ,因 2 π 为 0<C<π ,所以 C< ,故②正确;对于③,由 c3 = a3 + b3 有 3 3 3 b a b a 3 3 3 2 c ≥2 a · b ,可得 c ≥ 4ab,得 2cosC+ 4≤a+b,又a+b≥2, 3 所以 2cosC+ 4≤2.

第7讲│ 要点热点探究
π 因为 4<2, 所以 cosC>0.因为 0<C<π, 所以 C< , 故③正确; 2 2ab 对 于 ④ , 由 (a + b)c<2ab , 有 c< ≤ ab , 所 以 a2 + b2 - a+b a2+b2 b a 1 2abcosC≤ab,即 2cosC+1≥ ab =a+b≥2,可得 cosC≥ , 2 π 因为 0<C<π,所以 C≤ ,故④错误;对于⑤,由(a2+b2)c2<2a2b2 3 2 2 2 2 a + b 2 a b 1 2 有c< 2 ≤ab, 由余弦定理可得 2cosC+1> ab ≥2, cosC> , 2 a +b2 π 又因为 0<C<π,所以 C< ,故⑤错误.答案为①②③. 3 3

第7讲│ 命题立意追溯

[跟踪练] 在△ABC 中,a,b,c 是角 A,B,C 所对的边长,且 a2+b2 +c2=2 3absinC,则△ABC 的形状是________(填写直角、锐角、 钝角或正三角形).

第7讲│ 要点热点探究

[答案] 正三角形

[解析] 由题意得 a2+b2+(a2+b2-2abcosC)=2 3absinC, a b 2 2 即 a +b = 3absinC+abcosC, 3sinC+cosC=b+a, ? ? π? a b π? a b a b 2sin?C+6 ?=b+a, 而b+a≥2 b×a=2, 且 2sin?C+6 ?≤2, ? ? ? ? ? π? a b π ? ? 因此b+a=2,a=b,sin C+6 =1,C= ,因此△ABC 是正三 3 ? ? 角形.

第7讲│ 教师备用例题

教师备用例题
选题理由:例1较为全面地考查了解三角形的知识和三角函 数的知识在处理平面图形问题中的应用,可作探究点二的补充; 例2主要考查三角恒等变换在解三角形中的应用,正弦定理只是 辅助作用,这也是三角函数解答题的命题方式之一,可作探究点 二的补充.

第7讲│ 教师备用例题

在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b, cosA b 3 c,其中c=2,且 = = . cosB a 1 (1)求证:△ABC是直角三角形; (2)如图,设圆O过A,B,C三点,点P位于劣弧 AC 上,求 △PAC面积的最大值.

例1

第7讲│ 教师备用例题
cosA sinB 解:(1)证明:由正弦定理得 = , cosB sinA 整理得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B. 又因为0<2A,2B<2π, π ∴2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B= . 2 b 3 π ∵a= ,∴A+B= . 1 2 π π 由A+B= 可知C= ,∴△ABC是直角三角 2 2 形. (2)由(1)及c=2,得a=1,b= 3, ?π π? π 设∠PAB=θ?6<θ<2 ?,则∠PAC=θ- , 6 ? ?

第7讲│ 教师备用例题
在Rt△PAB中,PA=AB· cosθ=2cosθ, ? π? 1 所以S△PAC= PA· AC· sin?θ-6 ? 2 ? ? ? π? 1 = ×2cosθ× 3sin?θ-6 ? 2 ? ? ? π? = 3cosθsin?θ-6 ? ? ? ? 3 ? 1 ? = 3cosθ? sinθ- cosθ? ? 2 ? 2 ? 3 3 2 = cosθsinθ- cos θ 2 2 3 3 1+cos2θ = sin2θ- × 4 2 2

第7讲│ 教师备用例题

? 3? 3 1 ? 3 ? = ? sin2θ- cos2θ?- 2?2 4 2 ? π? 3 ? 3 ? ? 2 θ - = sin 6 ?- 4 . 2 ? π π π π 5π 因为 <θ< ,所以 <2θ- < , 6 2 6 6 6 π π π 3 当2θ- = ,即θ= 时,S△PAC取最大值,为 . 6 2 3 4

第7讲│ 教师备用例题

[2012· 江西卷] 在△ABC中,角A,B,C的对边 ?π ? ?π ? π 分别为a,b,c.已知A= ,bsin?4+C?-csin?4+B?=a. 4 ? ? ? ? π (1)求证:B-C= ; 2 (2)若a= 2,求△ABC的面积.

例2

第7讲│ 教师备用例题
?π ? ?π ? 解:(1)证明:由bsin?4+C?-csin?4+B?=a, ? ? ? ?

应用正弦定理,得 ?π ? ?π ? sinBsin?4+C?-sinCsin?4+B?=sinA, ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 2 2 ? ? ? ? sinB? sinC+ cosC?-sinC? sinB+ cosB?= . 2 2 2 ? 2 ? ? 2 ? 整理得sinBcosC-cosBsinC=1, 即sin(B-C)=1, 3 π 由于0<B,C< π,从而B-C= . 4 2

第7讲│ 教师备用例题

π 3π (2)由(1)知B-C= ,又B+C=π-A= , 2 4 5π π 因此B= ,C= . 8 8 π asinB 5π asinC π 由a= 2,A= ,得b= =2sin ,c= =2sin , 4 sinA 8 sinA 8 所以△ABC的面积 1 5π π π π 1 S= bcsinA= 2sin sin = 2cos sin = . 2 8 8 8 8 2

第8讲 平面向量及向量的 应用

第8讲 │ 云览高考
[云览高考] 考点统计 题型(频率) 考例(难度) 考点 1 平面 2012 广东卷 3(A),2012 向量的概念 选择(6) 安徽卷 8(B) 与线性运算 考点 2 平面 2012 课程标准卷 13(A), 选择(2) 向量的数量 2012 广东卷 8(C),2012 填空(3) 积 安徽卷 14(B) 考点 3 向量 2012 四川卷 7(A),2012 的 平 行 与 垂 选择(5) 浙江卷 5(A),2012 重庆 直 卷 6(A) 说明:A 表示简单题,B 表示中等题,C 表示难题. 频率为分析 2012 各省市课标卷情况.

第8讲 │ 二轮复习建议

二轮复习建议
命题角度:该部分的命题主要围绕三个点展开.第一个点 是围绕平面向量本身的重点内容展开, 考查平面向量的线性运 算、数量积运算、向量的平行与垂直关系的应用等,目的是考 查平面向量的核心内容,试题一般是选择题或者填空题,难度 也不大;第二点是与三角函数、解三角形、平面解析几何等交 汇考查,平面向量的知识起到表达三角函数关系、三角形中的 边角关系、解析几何中的几何关系的作用,这里考查的向量的 知识是基础性的,目的是考查平面向量的工具性功能;第三点 是向量与不等式的性质、基本不等式结合,这主要考查在不同 形式下对代数式变形,转化的能力.

第8讲 │ 二轮复习建议

预计 2013 年对该部分的考查仍然会以基础考查为主, 考 查平面向量的核心内容,在解析几何、三角函数、解三角形 中考查平面向量的平行、垂直、数量积以及向量和不等式结 合等问题. 复习建议:平面向量既是高中数学的基础知识也是工具 性知识,从全国课标近五年高考考查的情况看,单纯平面向 量的考查均为选择题或者填空题,其中两次使用平面向量表 达解析几何试题,因此在本讲中以平面向量本身的核心内容 为主,适度涉及平面向量与三角函数、解三角形、平面解析 几何以及不等式的综合.

第8讲 │ 主干知识整合
主干知识整合

第8讲 │ 主干知识整合

第8讲 │ 主干知识整合

1.向量的概念 (1)概念:既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段 的长度叫做该向量的模.长度为0,方向任意的向量为零向 量,0与任一非零向量共线. ? ? (2)向量夹角:a,b的夹角记为〈a,b〉,范围是??0,π??. ? ?b? (3)投影:〈a,b〉=θ, ? cosθ叫做b在a方向上的投 ? ? 影.投影是数量.

第8讲 │ 主干知识整合

2.向量的运算与重要法则 (1)加法、减法运算:a+b为平行四边形法则,a-b为 三角形法则; (2)数乘运算:λ(μa)=(λμ)a,(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b) =λa+λb; (3)数量积运算:a· b=b· a,(a+b)· c=a· c+b· c,(λa)· b= a· (λb)=λ(a· b) . 3.两非零向量平行、垂直的充要条件 (1)共线条件:a,b(b≠0)共线?存在λ,a=λb,坐标表 示为(x1,y1)=λ(x2,y2)?x1y2=x2y1; (2)垂直条件:a⊥b?a· b=0,坐标表示为x1x2+y1y2=0.

第8讲│ 要点热点探究

要点热点探究
向量的概念及线性运算 → =(2,3),CA → =(4,7),则BC → 例1 (1)[2012· 广东卷] 若向量BA =( ) A.(-2,-4) B.(2,4) C.(6,10) D.(-6,-10) → + PC → = AB → (2)在△ABC所在的平面内有一点P,如果2 PA → ,那么△PBC的面积与△ABC的面积之比是( -PB 3 1 1 2 A. B. C. D. 4 2 3 3 ) ? 探究点一

第8讲│ 要点热点探究

→ 需对其分解 ? (推理)按照减 [思考流程] (1)(分析)欲求 BC 法的法则进行 ? (结论)代入坐标计算. (2)(分析)欲求两三角形面积之比只需求出高的比 ? (推理) 变换已知的向量等式即可得出 ? (结论)两三角形面积之比等 于高的比值.

第8讲│ 要点热点探究
[答案] (1)A (2)A

→ = BA → - CA → ,∴ BC → =(2,3)-(4,7)=(-2, [解析] (1)∵ BC -4),所以选择A. → +PC → =AB → -PB → ,即2PA → +PC → =AB → +BP → =AP → ,即 (2)2PA 3 → → PC =3 AP ,即点P在边AC上且PC= AC,即△PBC与△ABC 4 3 3 高的比是 ,两三角形具有相同的底BC,故面积之比为 . 4 4

第8讲│ 要点热点探究

[点评] 向量的线性运算是指加减运算和数乘运算,它们 具有明确的几何运算方法,解题时只要按照运算法则进行即 可.要特别注意对向量按照减法法则进行分解时,对任意一 点,分解的结果是“终点向量减去起点向量”,这是极容易 出错的地方.

第8讲│ 要点热点探究

? 探究点二 平面向量的数量积问题 例2 (1)[2012· 课程标准卷] 已知向量a,b夹角为45° ,且|a|= 1,|2a-b|= 10,则|b|=________. (2)[2012· 天津卷] 已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点 3 → → → → → → P,Q满足 AP =λ AB , AQ =(1-λ) AC ,λ∈R.若 BQ · CP =- ,则λ 2 =( ) -3± 2 2 1 1± 2 1± 10 A. B. C. D. 2 2 2 2

第8讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲求|b|需得|b|的方程 ? (推理)将 |2a-b|= 10两端平方即得 ? (结论)解此方程得出结果; → , CP → 用向 (2)(分析)欲求λ需得λ的方程 ? (推理)将 BQ 3 → → → → 量 AB , AC 表达 ? (结论)据 BQ · CP =- 得出λ的方程解之 2 即得.

第8讲│ 要点热点探究

[答案] (1)3 2

(2)A

[解析] (1)由|2a-b|= 10,得4a2-4a· b+b2=10,得 4-4×|b|×cos45° +|b|2=10,即-6-2 2 |b|+|b|2=0,解 得|b|=3 2或|b|=- 2(舍去). →· → =(AQ → -AB → )· → -AC →) (2)BQ CP (AP → -AB → ]· → -AC →) =[(1-λ)AC (λAB → 2-λAB → 2+????1-λ?λ+1???AB →· → =-(1-λ)AC AC 3 2 =-2λ +2λ-2=- , 2 1 解之得λ= . 2

第8讲│ 要点热点探究
[点评] 平面向量的数量积运算是平面向量的核心内容,是高考 ? ?2 ?2 ? 考查的重点.本例第一题中使用的是 ? ( a + b )= ? ?a? + ?a+b? =(a+b)· ?2 2a· b+ ? ?b? ,这是根据数量积运算律得出的结果,在求解向量的模中 起重要作用;本例第二题采用的基向量的方法,即把问题涉及的向 量都用两个已知长度和夹角的不共线向量表示(平面向量基本定 理),这是解决平面向量问题的一个基本技能.本例的两个题目都可 以建立平面直角坐标系使用坐标方法解决,如第一题,把向量a,b 起点放在坐标原点,向量a的终点放在x轴正半轴上,则a=(1,0),向 ? ? 量b的终点放在第一象限,设 =r,根据三角函数定义,b= ?b? ? 2 ? 2 ? 2 2? ? ?2a-b? = 10 ,所 ? r, r?,此时2a-b= ?2- r,- r? ,由于 ? ? ? 2 ? 2 2 ? ? 2 ? ? 2 ?2 ? 2 ?2 以?2- r? +?- r? =10,即r2-2 2r-6=0,解之即得r=3 2. 2 ? ? 2 ? ?

第8讲│ 要点热点探究

→ =a, OB → =b, 变式题 平面上O,A,B三点不共线,设 OA 则△OAB的面积等于( ) A. |a|2|b|2-?a· b?2 B. |a|2|b|2+?a· b?2 1 C. |a|2|b|2-?a· b?2 2 1 D. |a|2|b|2+?a· b?2 2

第8讲│ 要点热点探究

[答案] C
a· b [解析] 设∠AOB=θ,那么cosθ= ,则sinθ= |a|· |b| 2 2 2 | a | | b | - ? a · b ? 1 2 1-cos θ = ,那么△OAB的面积S= |a|· |b| 2 |a|2|b|2-?a· b?2 1 1 |a||b|sinθ= |a||b| = |a|2|b|2-?a· b?2. 2 |a|· |b| 2

第8讲│ 要点热点探究

? 探究点三 有关向量的平行、垂直问题 例3 (1)设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2, -4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=( ) A. 5 B. 10 C.2 5 D.10 a b (2)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使 = 成 |a| |b| 立的充分条件是( ) A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b且|a|=|b|

第8讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲求|a+b|需求x,y ? (推理)根据a⊥ c,b∥c列方程解之 ? (结论)求出a+b的坐标求其模; a b (2)(分析)欲求充分条件需寻找 = 反之不真的选项 ? |a| |b| (推理)根据向量知识,逐项判断之 ? (结论)找到正确选项.

第8讲│ 要点热点探究

[答案]

(1)B

(2)C

(1)B (2)C [解析] (1)因为a⊥c,所以a· c=0,即2x-4 =0,解得x=2,由b∥c,得-4=2y,解得y=-2,所以a= (2,1),b=(1,-2),所以a+b=(3,-1),所以|a+b|= 32+?-1?2= 10. a b (2)A可以推得 =- ,为既不充分也不必要条件; |a| |b| a b a b B可以推得 = 或 =- ,为必要条件; |a| |b| |a| |b| C为充分条件;D为既不充分也不必要条件,故选C.

第8讲│ 要点热点探究

[点评] 根据平行关系、垂直关系求解待定系数是高考中 经常考查的问题,其基本思想是根据两向量平行、垂直的充 a 要条件得出方程,通过解方程求得结果;本例第二题中 ? ? , ?a? ? ? b 都是单位向量,两 |b| 个单位向量相等的充要条件是其方向相同,因此对非零 a b 向量a,b, = ?a=λb(λ>0). |a| |b|

第8讲│ 要点热点探究
→2 = AB →· → + BA →· →+ 变式题 (1) 在△ ABC 中,若 AB AC BC →· → ,则△ABC 是( CA CB ) A.等边三角形 C.钝角三角形 B.锐角三角形 D.直角三角形 → |=3,|OB → |=1,OA →· → =0, (2)如图 2-8-1,已知|OA OB π → =tOA → +OB → ,则实数 t 等于( ∠AOP= ,若OP ) 6

图 2-8-1 1 A. 3 3 B. C. 3 3 D.3

第8讲│ 要点热点探究
[答案] (1)D (2)B →2=AB →· →+ [解析] (1)由AB AC →· → +CA →· → 得AB →2-AB →· → =BA →· → +AC →· →, BA BC CB AC BC BC π → → → → → → 即AB· CB=BC· BC,得CA· CB=0,所以C= ,选D. 2 π → → (2)∵OA· OB=0,∴∠AOB= . 2 π π ∵∠AOP= ,∴∠BOP= . 6 3 → =tOA → +OB → ,则OP → -OB → =tOA → ?BP → =tOA →, 若OP

→ ∥OA →. ∴BP 3 → 3 → 在Rt△BOP中,|BP|= 3= |OA|,∴实数t= . 3 3

第8讲│ 要点热点探究

? 探究点三 平面向量的综合应用 例 4 [2012· 安徽卷] 若平面向量 a, b 满足|2a-b|≤3, 则 a· b 的最小值是________.

第8讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)由|2a-b|≤3 得关于 a, b 的不等式 ? (推 理)利用数量积与基本不等式将其变形 ? (结论)得出 a· b 的最 小值.

第8讲│ 要点热点探究

9 [答案] - 8

[ 解析 ] 因为 |2a - b|≤3 ,所以 |2a - b|2 = (2a - b)2 = 4|a|2 - 4a· b+|b|2≤9.所以 9+4a· b≥4|a|2+ |b|2.又由基本不等式得 4|a|2 9 2 +|b| ≥4|a||b|≥-4a· b,所以 9+4a· b≥-4a· b,解得 a· b≥- , 8 当且仅当 2|a|=|b|且 a,b 方向相反,即 b=-2a 时取等号,故 9 a· b 的最小值为- . 8

第8讲│ 要点热点探究

[点评] 本题考查平面向量的运算和函数最值的分析,考 查分析能力和转化化归的数学思想. 随着新课标高考内容的变 化, 向量与平面几何结合已经不可能考查得很深入, 有一个热 点要引起我们的重视,那就是向量与不等式.

第8讲│ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
?规律 1.对于非零向量 a,b,当|a+b|=|a-b|时,平行四边形 的两条对角线长度相等,此时平行四边形是矩形,条件 |a+b| =|a-b|等价于向量 a,b 互相垂直,反之也成立. 2.点 O 不在直线 AB 上,A,B,C 三点共线的充要条件 → =λOB → +μOC → (λ+μ=1). 是OA ?技巧 向量的问题可以根据向量的坐标运算公式进行纯粹的 代数运算,实现向量问题的代数化.在试题中不含有向量的坐 标时,要善于根据问题的实际情况,在不改变问题本质的情况 下建立适当的坐标系,把向量问题代数化.

第8讲│ 规律技巧提炼

→ = ON → - OM → (其中 ?易错 减法法则很容易使用错误,向量 MN O为我们所需要的任何一个点),这个法则就是终点向量减去 起点向量.两个向量夹角的范围是[0,π],在使用平面向量解 决问题时,要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况,如 已知两个向量的夹角为钝角时,不单纯就是其数量积小于 零,还要求不能反向共线.

第8讲│ 命题立意追溯

命题立意追溯
运算求解能力——建立平面直角坐标系解决向量数量积问题 示例 [2012· 北京卷] 已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB → ·CB → 的值为________. DE → ·DC → 的最大值为 边上的动点,则 DE ________.

第8讲│ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题立意是通过平面向量的数量积考查运算 求解能力,题目在正方形中考查向量的数量积,一个明显的 意图就是引导考生使用坐标方法解决问题,实际上坐标方法 求解本题非常方便,这体现了运算合理性、简捷性的要求.

第8讲│ 命题立意追溯

[思考流程] (分析)欲解决问题需要目标中的向量 ? (推理)建 立平面直角坐标系把向量坐标化,使用坐标运算求解 ? (结论) 计算即得.

第8讲│ 命题立意追溯

[答案]

1

1

[解析] (坐标法)以射线AB,AD为x,y轴的正方向建立平面 直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),由E为AB边上 → =(t,-1), CB → =(0,-1), 的动点,得E(t,0),t∈[0,1].则 DE →· → =(t,-1)· 所以DE CB (0,-1)=1. → =(1,0),所以 DE →· → =(t,-1)· →· → 又 DC DC (1,0)=t≤1,故 DE DC 的最大值为1.

第8讲│ 命题立意追溯
[跟踪练] 1.在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD=DC=1,AB= → =α· AD → + 3,动点P在梯形ABCD内运动(含边界),设 AP → ,则α+β的最大值是( β· AB 4 1 1 A. B. C.1 D. 3 4 3 )

→ |=2,| AC → |=1,点P 2.在△ABC中,∠BAC=120° ,| AB → =λBC → (0≤λ≤1),则BP → 2-AP →· → 的取值范围是( 满足BP BC )
?1 ? A.?4,3? ? ? ?1 ? B.?2,5? ? ? ? 15? C.?-2, 4 ? ? ? ?13 ? D.? 4 ,5? ? ?

第8讲│ 命题立意追溯
1. [答案] A

[解析] 建立如图所示的坐标系,则 B(3,0),C(1,1), D(0,1),设 P(x,y),则(x,y)=α(0,1)+β(3,0)=(3β,α),所 x 以 x=3β,y=α,所以 α+β= +y,α+β 的几何意义是直线 y= 3 x - +(α+β)在 y 轴上的截距,根据线性规划方法,显然在点 C 处 3 1 4 目标函数取得最大值,这个最大值是 +1= . 3 3

第8讲│ 命题立意追溯
2. [答案] D

[解析]建立如图所示的平面直角坐标系,则 B(2,0),

3? ? → =λBC → ,得(x-2,y)= ,设 P(x,y),则由BP ? 2? ? 1 5 3 3? ? ? → |= 7. λ?- -2, ?,所以 x=2- λ,y= λ,|BC 2 2 2? ? 2

? 1 ? C?- , ? 2

第8讲│ 命题立意追溯
→· → =λ | BC →| 所以 BP - AP BC
2

→2

2

? 5 ? - ?2- λ, 2 ?

? 3 ? 3? ? ? 5 ? =7λ2 λ? · - , ? ? 2 ?? 2 2?

1 -7λ+5.当λ= 时上式取得最小值;当λ=0或1时,上式取得最 2 13 大值,最小值为 ,最大值为5. 4 (注:本题也可如下求解:在△ABC中,根据余弦定理得 BC= AB2+AC2-2AB· AC· cos∠BAC = 22+12-2×2×1×cos120° = 7. AC BC 1 7 3 根据正弦定理得 = ? = ?sinB= sinB sinA sinB sin120° 2 7 5 ?cosB= . 2 7

第8讲│ 命题立意追溯

→ 2-AP →· → =(λBC → )2-(AB → +λBC → )· → 从而有BP BC BC ? ? 5 ? 1?2 13 ? ? 2 =7λ -2× 7×?- -7λ=7?λ-2? + . ? 4 ? ? ? 2 7? ?13 ? 2 → -AP →· → 的取值范围是? ,5?, 又0≤λ≤1,所以BP BC ?4 ? 故选D.

第8讲│ 教师备用例题

教师备用例题
选题理由:例1把三角函数与平面向量交汇,重点是思考问 题的方法,可供学生开阔思路;例2是从另一个角度说明了三角 函数定义域和平面向量的旋转之间的关系,也可从向量的数量积 出发求解,这个题目蕴含的基本思想是复数乘法的几何意义,也 可供开阔学生思路使用;例3是一个新定义试题,有利于提高学 生的理解能力.这三个例题可在本讲适当位置插入.

第8讲│ 教师备用例题

例1 [2012· 山东卷] 如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置 在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于(2,1)时, → 的坐标为________. OP

第8讲│ 教师备用例题
[答案] (2-sin2,1-cos2)

[解析] 根据题意可知圆滚动了2个单位弧长,点P旋转了 2弧度.结合图象,设滚动后圆与x轴的交点为Q,圆心为C2, 作C2M⊥y π 轴于M,∠PC2Q=2,∠PC2M=2- ,∴点P的横坐标为 2 ? ? π? π? 2-1×cos ?2- 2 ? =2-sin2,点P的纵坐标为1+1×sin ?2- 2 ? = ? ? ? ? 1-cos2.

第8讲│ 教师备用例题

例2 [2012· 安徽卷] 在平面直角坐标系中,点O(0,0), 3π → P(6,8),将向量 OP 绕点O按逆时针方向旋转 后得向量 4 → ,则点Q的坐标是( OQ ) A.(-7 2,- 2) B.(-7 2, 2) C.(-4 6,-2) D.(-4 6,2)

第8讲│ 教师备用例题

[答案] A
[解析]本题考查三角函数的和角公式,点的坐标. ? ? → =(10cosα, ? ?, 6 , 8 设∠POx=α, 因为 P? 所以OP 10sinα) ? 3 4 ?cosα= ,sinα= , 5 5 ? ? ? ? ?? 3π 3π → = ?10cos?α+ ?,10sin?α+ ?? = ( - 7 2 , - 则 OQ 4? 4 ?? ? ? ? 2).故答案为 A.

第8讲│ 教师备用例题

[2012· 广东卷] 对任意两个非零的平面向量α和β,定 α· β 义α?β= .若平面向量a,b满足|a|≥|b|>0,a与b的夹角θ∈ β· β ? ? ? ? n? ? π? ?n∈Z?中,则a?b=( ?0, ?,且a?b和b?a都在集合? ) 2 4? ? ? ? ? ? ? 1 A. B.1 2 3 5 C. D. 2 2 例3

第8讲│ 教师备用例题
[答案] C
[解析]本题考查平面向量的数量积的运算以及向量的新定 义,突破口是通过新定义把问题转化为熟悉的问题解决.根据 新定义得: a· b |a||b|cosθ |a|cosθ 2 a?b= = = ≥cosθ> , b· b |b||b| |b| 2 b· a |a||b|cosθ |b|cosθ b?a= = = ≤cosθ<1, a· a |a||a| |a| ? ? ? n? ? |b|cosθ 1 ? ? ? 且 a?b 和 b?a 都在集合 2 n∈Z 中, 所以 b?a= = , | a | 2 ? ? ? ? ? |b| 1 |a|cosθ = ,所以 a?b= =2cos2θ<2,所以 1<a?b<2,所以 |a| 2cosθ |b| 3 a?b= .所以选择 C. 2


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