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2012高考一轮复习——上海市各地市11年试题分类大汇编第14部分复数 推理与证明


上海市各地市 2010-2011 学年下学期高考数学最新试题分类大汇编: 第 14 部分 复数、推理与证明
一、填空题: 1.(上海市黄浦区 2011 年 4 月高考二模试题理科)已知点 A( x1, 2 1 )、B( x2, 2 2 ) 是函数 y ? 2x 的图像上任
x x

意不同两点, 依据图像可知, 线段 AB 总是位于 A、

B 两点之间函数图像的上方, 因此有结论

x1 ? x2 2 x1 ? 2 x2 ?2 2 2

成立.运用类比思想方法可知,若点 A( x1, sin x1 )、B( x2, sin x2 ) 是函数 y ? sin x( x ? (0,?)) 的图像上的 不同两点,则类似地有 成立. sin x1 ? sin x2 ? sin x1 ? x2
2 2

2 2 2.(上海市黄浦区 2011 年 4 月高考二模试题文科)已知点 A( x1,x1 )、B( x2,x2 ) 是函数 y ? x2 的图像上

任意不同两点,依据图像可知,线段 AB 总是位于 A 、 B 两点之间函数图像的上方,因此有结论
2 x12 ? x2 x ?x ? ( 1 2 ) 2 成 立 . 运 用 类 比 思 想 方 法 可 知 , 若 点 A( x ,lg x 、 B (, x lg 1 1) 2 2 2

2是

x) 函 数

y ? l g x (x ? ? R 的图像上的不同两点,则类似地有 )
成立.

lg x1 ? lg x2 x ?x ? lg 1 2 2 2

3.(上海市十校 2010-2011 学年第二学期高三第二次联考理科)已知复数 z ? ( x ? 2) ? y ? i ( x, y ? R ) ,

当此复数的模为 1 时,代数式

y 的取值范围是 x

. [?

3 3 , ] 3 3

4 . ( 上 海 市 十 校 2010-2011 学 年 第 二 学 期 高 三 第 二 次 联 考 理 科 ) 洛 萨 ? 科 拉 茨 ( Lothar Collatz,1910.7.6-1990.9.26)是德国数学家,他在 1937 年提出了一个著名的猜想:任给一个正整 数 n ,如果 n 是偶数,就将它减半(即

n ) ;如果 n 是奇数,则将它乘 3 加 1(即 3n ? 1 ) ,不断重复这 2

样的运算,经过有限步后,一定可以得到 1.如初始正整数为 6,按照上述变换规则,我们得到一个 数列:6,3,10,5,16,8,4,2,1.对科拉茨(Lothar Collatz)猜想,目前谁也不能证明,更不能 否定.现在请你研究:如果对正整数 n (首项)按照上述规则施行变换(注:1 可以多次出现)后的 第八项为 1,则 n 的所有可能的取值为 . ?2,3,16, 20, 21,128?

? 2 i 为 ) 纯虚数,则 a 的值 5. ( 上 海 市 五 校 2011 年 联 合 教 学 调 研 理 科 已 知 a ? R , 若 (1? a i ) ( 3

第1页

3 2 6.( 上海市十三校 2011 年高三第二次联考理科 )若复数 z 满足 i ? (3 ? z ) ? ?1 (其中 i 为虚数单位) ,则 z ? ?3 ? i 。
为 。? 7.(上海市闵行区 2011 届高三下学期质量调研文科)若 z1 ? a ? 3i , z2 ? 3 ? 4 i ,且 数a ? -4 .
2

z1 为纯虚数,则实 z2

8、(上海市奉贤区 2011 年 4 月高三调研测试)若复数 3 ? i 是实系数一元二次方程 x ? 6 x ? b ? 0 的一个 根,则 b ? 10 9. (上海市奉贤区 2011 年 4 月高三调研测试) (文) 右图都是由边长为 1 的正方体叠成的图形

例如第(1)个图形的表面积为 6 个平方单位,第(2)个图形的表面积为 18 个平方单位,第(3)个图形 的表面积是 36 个平方单位。依此规律,则第 n 个图形的表面积是__________个平方单位。 3n?n ? 1? 10、(上海市徐汇区 2011 年 4 月高三学习诊断文科)若复数 z 同时满足 位) ,则复数 z = 。 ?1 ? i 三、解答题: 11、(上海市五校 2011 年联合教学调研理科(满分 12 分) 已知复数 z1 ? sin 2 x ? ?i , z2 ? m ? (m ? 3 cos 2x)i (?, m, x ? R,) ,且 z1 ? z2 . (1)若 ? ? 0 且 0 ? x ? ? ,求 x 的值; (2)设 ? = f ( x ) ,求 f ( x ) 的最小正周期和单调递减区间. 11. 解: (1)∵ z1 ? z2 ∴ ?

z 1 z 1

? 2i,

z 1 ? 0 ( i 为虚数单 iz 1

?sin 2 x ? m ? ? ?? ? m ? 3 cos 2 x



?=sin 2 x ? 3 cos 2 x -----------?
4? 3

2分

若 ? ? 0 则 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 0 得 tan 2 x ? 3 ---------------------4 分

3 2? ∴x ? 或 -------------------------------------------------6 分 6 3 1 3 (2)∵ ? ? f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2

∵0 ? x ??,

? 0 ? 2 x ? 2?

∴ 2x ?

, 或 2x ?

?

= 2(sin 2 x cos

?

? cos 2 x sin ) ? 2sin(2 x ? ) ------------3 3 3

?

?

9分

第2页

3? 5? 11? , k ? Z 得 k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z 2 3 2 12 12 5? 11? , k? ? ], k ? Z .-------------------------12 分 ∴ f ( x ) 的单调减区间 [ k? ? 12 12
由 2 k? ?

∴函数的最小正周期为 T ? ? -----------------------------------------10 分

?

? 2x ?

?

? 2 k? ?

12. (上海市普陀区 2011 年 4 月高三质量调研)(本题满分 12 分) 已知复数 w 满足 w ? 4 ? (3 ? 2w) i ( i 为虚数单位) ,复数 z ? 系数一元二次方程. 12.(本题满分 12 分) 解法一:因为 w(1 ? 2i) ? 4 ? 3i ,得 w ? 所以 z ?

5 ? | w ? 2 | ,试确定一个以 z 为根的实 w

4 ? 3i ? 2?i , 1 ? 2i

5 ? | ?i | ? 3? i . 2?i

若实系数一元二次方程有虚根 z ? 3 ? i ,则必有共轭虚根 z ? 3 ? i , 因为 z ? z ? 6 , z ? z ? 10 , 故所求的一个一元二次方程可以是 x ? 6 x ? 10 ? 0 .
2

解法二:设 w ? a ? b i ( a、b ? R) ,则

a ? b i ? 4 ? 3 i ? 2a i ? 2b ? (a ? 4) ? bi ? 2b ? (3 ? 2a)i ?

?a ? 4 ? 2b ?a ? 2 ,∴ w ? 2 ? i ,?,以下解法同[解法一]. ?? ? ?b ? 3 ? 2a ?b ? ?1
13. (上海市普陀区 2011 年 4 月高三质量调研)(本题满分 18 分) (文理)如图 1,已知半径为 r 的圆 M 的内接四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相互垂直且交点为 P .

D
D

y
C P

A

P

M C

A

O

x

B

B
第 23 题图-1 第 23 题图-2

(1)若四边形 ABCD 中的一条对角线 AC 的长度为 d ( 0 ? d ? 2 r ) ,试求:四边形 ABCD 面积的最大

第3页

值; (2)试探究:当点 P 运动到什么位置时,四边形 ABCD 的面积取得最大值,最大值为多少? (3)对于之前小题的研究结论,我们可以将其类比到椭圆的情形.如图 2,设平面直角坐标系中,已知椭 圆?:

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的内接四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相互垂直且交于点 P . 试提出 a 2 b2

一个由类比获得的猜想,并尝试给予证明或反例否定.【本小题将根据你所提出的猜想的质量和证明的完 整性给予不同的评分】 13. (本题满分 18 分) (理科)解: (1)因为对角线互相垂直的四边形 ABCD 面积 S ?

AC ? BD ,而由于 AC ? d 为定长, 2

则当 BD 最大时,四边形 ABCD 面积 S 取得最大值. 由圆的性质,垂直于 AC 的弦中,直径最长,故当 且仅当 BD 过圆心 M 时,四边形 ABCD 面积 S 取得最大值,最大值为 dr . (2)解法一:由题意,不难发现,当点 P 运动到与圆心 M 重合时,对角线 AC 和 BD 的长同时取得最大 值 AC ? BD ? 2r ,所以此时四边形 ABCD 面积 S 取得最大值,最大值为 2 r .
2

解法二: 设圆心 M 到弦 AC 的距离为 d1 , 到弦 BD 的距离为 d 2 ,MP 的距离为 d .则 AC ? 2 r ? d1 ,
2 2

2 BD ? 2 r 2 ? d 2 2 ,且 d 2 ? d12 ? d 2 .可得

S ABCD ? 2 r 2 ? d12 ? r 2 ? d 2 2 ? 2 r 4 ? (d12 ? d 2 2 )r 2 ? d12d 2 2
2 ? d12 ? d 2 ? d d ? 又 2 ? 2 ? ,当且仅当 d1 ? d 2 时等号成立. ? ? 2 1 2 2

所以 S ABCD ? 2 r ? d r ?
4 2 2

d4 d2 ? 2 r2 ? ,当且仅当 d1 ? d 2 时等号成立. 4 2

又因为点 P 在圆内运动,所以当点 P 和圆心 M 重合时 d ? 0 ,此时 d1 ? d 2 ,故此时四边形的面积 最大,最大值为 Smax ? 2r .不难发现,此时该四边形是圆内接正方形,对角线交点 P 与圆心重合.
2

(3)类比猜想 1:若对角线互相垂直的椭圆内接四边形 ABCD 中的一条对角线长确定时,当且仅当另一 条对角线通过椭圆中心时,该椭圆内接四边形面积最大. 类比猜想 2:当点 P 在椭圆中心时,对角线互相垂直的椭圆内接四边形 ABCD 的面积最大. 以上两个均为正确的猜想,要证明以上两个猜想,都需先证:椭圆内的平行弦中,过椭圆中心的弦长 最大.

第4页

证:设椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) ,平行弦 MN 的方程为 y ? kx ? m , a 2 b2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 联立可得 b2 x2 ? a 2 (kx ? m)2 ? a 2b2 ? 0 ? b ? a k x ? 2kma x ? m a ? a b ? 0

?

?

不妨设 M ? x1, y1 ? 、 N ? x2 , y2 ? ,则 MN ? 1 ? k

2

x1 ? x2

? ?2kma 2 ? m 2 a 2 ? a 2b 2 ? 1? k ? ? 2 ?4 2 2 2 ? b ? a 2k 2 ?b ?a k ?
2

2

?

1? k2 ? 4k 2m2a 4 ? 4 ? m2a 2 ? a 2b2 ?? b2 ? a 2k 2 ? 2 2 2 b ?a k 1? k2 ? 4a 2 b 2 ? a 2 k 2 ? b 2 ? m 2 ? 2 2 2 b ?a k

?

由于平行弦的斜率 k 保持不变,故可知当且仅当 m ? 0 时,即当直线经过原点时, MN 取得最大值

MN ? 2ab

1? k2 b2 ? a 2k 2

?(*).特别地,当斜率不存在时,此结论也成立.

由以上结论可知, 类比猜想一正确。 又对于椭圆内任意一点 P 构造的对角线互相垂直的椭圆内接四边 形 , 我 们 都 可 以 将 对 角 线 平 移 到 交 点 与 椭 圆 中 心 O 重 合 的 椭 圆 内 接 四 边 形 A1B1C1D1 , 而 其 中

AC ? AC 1 1 , BD ? B 1D 1 ,所以必有 S ABCD ? S A1B1C1D1 .即证明了猜想二也是正确的.
类比猜想 3: 当点 P 在椭圆中心, 且椭圆内接四边形的两条互相垂直的对角线恰为椭圆长轴和短轴时, 四边形面积取得最大值 2ab . 要证明此猜想,也需先证“椭圆内的平行弦中,过椭圆中心的弦长最大 .”在此基础上,可参考以下 两种续证方法. 证法一:当点 P 在椭圆中心时,不妨设对角线 AC 所在直线的斜率为 k . ( i)当 k ? 0 时, AC 即为椭圆长轴,又 AC ? BD ,故 BD 是椭圆的短轴 . 所以此时椭圆内接四边形 ?

ABCD 的面积为 S ABCD ? 2ab .
(ii)当 k ? 0 时,对角线 BD 的斜率为 ?

1 .由此前证明过程中的(*)可知, k

AC ? 2ab

1? k2 b ?a k
2 2 2

,若将 ?

1 代换式中的 k ,则可得弦 BD 的长度, k

第5页

1 1? k2 k 2 ? 2ab . BD ? 2ab 2 2 2 2 a b k ? a b2 ? 2 k 1?
所以, S ABCD

1 ? AC BD ? 2a 2b2 2

?b

2

? a 2k 2 ?? b2k 2 ? a 2 ?

1? k2

?

2a 2b 2 (k 2 ? 1) [a 2 (k 2 ? 1) ? (a 2 ? b 2 )][b 2 (k 2 ? 1) ? (a 2 ? b 2 )]

? (a 2 ?
?

2a 2 b 2 a 2 ? b2 2 a 2 ? b2 )(b ? 2 ) k 2 ?1 k ?1
2a 2 b 2 a 2b 2 ? (a 2 ? b 2 )2 [(

?

2a 2 b 2 a 2b 2 ? ( a 2 ? b 2 ) 2 [ 1 1 ? 2 ] k ? 1 (k ? 1)2
2

1 1 1 ? )2 ? ] k ?1 2 4
2

由 k ?1 ? 1 ? 0 ?
2

1 1 1 1 ? 1 ? ?1 ? ( 2 ? )2 ? ? ? ? ,0 ? , k ?1 k ?1 2 4 ? 4 ?
2

则 S ABCD

2a 2b 2 2a 2 b 2 ? ? ? 2ab , 2 2 1 1 2 1 a b 2 2 4 a b ? c [( 2 ? ) ? ] k ?1 2 4

综上(i)和(ii) ,故可证明猜想三正确. 证法二:如图,四边形对角线交点 P 与椭圆中心重合. y
B A P O C D

由对称性,不妨设椭圆上的点 A 的坐标为 ? a cos?, b sin ? ? , ? ? 0,

? ?? ? ;相邻的点 B 坐标为 ? ? 2?

?a cos ? , b sin ? ? , ? ? ? ?

? , ? ? .由对称性可知, ?2 ?

?

第6页

1

0

0 b sin ? ? 2ab sin ?? ? ? ? b sin ?

S ABCD ? 4 S△ APB ? 2 1 a cos ? 1 a cos ?
且当 ? ? ? ?

?
2

时, S ABCD 取得最大值 2ab .

又因为 OA ? OB ,故 OA ? OB ? a2 cos? cos ? ? b2 sin ? sin ? ? 0 . 由 ? ?? ?

?
2

? ? ?? ?
2

?
2


2

所以 OA ? OB ? ? a cos ? sin ? ? b sin ? cos ? ?

1 sin 2? (b2 ? a 2 ) ? 0 2

故只有当 sin 2? ? 0 时才满足,而因为 ? ? 0,

? ?? ? ,故只有当 ? ? 0 时成立.即由椭圆参数方程的定 ? ? 2?

义,当且仅当点 A 和点 B 分别落在椭圆长轴和短轴顶点上时,猜想 3 正确.

14. (上海市杨浦区 2011 年 4 月高三模拟理科) (本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题, 第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 设虚数 z 满足 z ? m z ?
2 t

m100 ? 0 (m 为实常数, m ? 0且m ? 1 , t 为实数). 4

(1) 求 z 的值; (2) 当 t ? N ,求所有虚数 z 的实部和; (3) 设虚数 z 对应的向量为 OA ( O 为坐标原点) , OA ? (c, d ) ,如 c ? d ? 0 ,求 t 的取值范围. 14. (本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.
?

mt ? m100 ? m2t i 解: (1) z ? , 2

?????????????????????????2 分

m100 ? m2t i

?z ?

m2t m100 ? m2t m50 ? ? 4 4 2
2

?????????????????????????4 分

m100 m50 ?z ? (或 zz ? z ? ) 4 2

第7页

(2) z 是虚数,则 m

100

? m2t ? 0 ? mt ? m50 , z 的实部为

mt ; 2

?得 50 且 t且 ? NN ? S? ?2( mt ? 1, t? 50 t? ?S 当 m ? 1, 得 22( ? ? ?

?? ?

49 2 49 50 m2 m49 m m50 ? m m50 ? m m mm 2 ? ) ? ) ?.?????????7 分 ? ? 2 m ?1 m ?1 22 2 2 2

0? 00 m ??m ? 1, ?? 1, 得 得 t ? t t? 50 50 且 且 tt ? ? N N ? S SS ? ?? 2( 2( m 1, 得 ? 50 且 t ? N? ? 当 22(

?? ?

51 52 52 51 51 51 51 52 m m m m m m m ?? ? ? ? ? )) )? ? .??????????????10 分 2 2 2 11 ? ? m m 22 2

(3)解: c ?

mt ? m100 ? m2t ? 0, d ? 2 2

① d? dd ? ?? ?

100 100 100 t 2t m m m ?? 22 m 2 ,c ? ,, c d ? d 恒成立, 2 2 2

m100 ? m2t ? 0由 ? mt ? m50 得,当 m ? 1 时, t ? 50 ;当 0 ? m ? 1 时, t ? 50 .????????????12 分
② d ?

m100 ? m2t mt , 如 c ? d, 则 ? 2 2

m100 ? m2t m100 m50 ? m2 t ? 即m t ? , 2 2 2

?t ? 50 1 1 ? ?t 50 即50 50? - log log 2t ? ? 当 m ? 1, ? . 50 ??????????????14 分 1 m 2 m? 2 2 t ? 50 ? log m 2 ? ? 2 ?t ? 50 11 ? 50 ?tt ? 50 ? - log 即 50< < 50 log 当 0 ? m ? 1, ? 1 m 2 m 2 ???????????16 分 2 2 t ? 50 ? log 2 m ? ? 2
15、(上海市徐汇区 2011 年 4 月高三学习诊断文科)(本题满分 12 分)第(1)小题满分 5 分,第(2)小 题满分 7 分。 关于 x 的不等式

x?m 2 ? 0 的解集为 ? ?1, n ? . 1 x

(1)求实数 m 、 n 的值; (2)若 z1 ? m ? ni , z 2 ? cos? ? i sin ? ,且 z1 z 2 为纯虚数,求 tan(? ?

?
4

) 的值.

2 15.解: (1)原不等式等价于 ( x ? m) x ? 2 ? 0 ,即 x ? mx ? 2 ? 0 -------------------3 分

由题意得, ?

??1 ? n ? ?m 解得 m ? ?1 , n ? 2 . ??1? n ? ?2

------------------------5 分

第8页

(2) z1 ? ?1 ? 2i , z1 z 2 ? (? cos ? ? 2 sin ? ) ? i(2 cos ? ? sin ? ) 若 z1 z 2 为纯虚数,则 cos ? ? 2 sin ? ? 0 ,即 tan ? ? ?

------------------------7 分

1 2

----------------------------------9 分

1 ? ?1 4 ? 2 tan(? ? ) ? ? ?3 -------------------- 12 分 ? 1 4 1 ? tan ? ? tan 1? 4 2

?

tan ? ? tan

?

第9页


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