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指数对数辅导


专题三 指数与指数幂的运算 1.式子

a2 a ? 3 a2

, (a ? 0) 经过计算可得到 (
C. 5 a 6 ( )



A. a 2.与 a ?

B. ? 6 a 5

D.

6

a5<

br />
1 的值相等是 a
B. ?

A. 3.设 a ? A.-18

a
3

a

C.

?a
( )

D. ? ? a

(?8)3 , b ? (?10) 2 , 则a+b=
B.18
2

C.-2
3 3

D.2 (2) n a n ?| a | ; ) (3)若 100a ? 5,10b ? 2 ,则

4. 下列结论: A.0
a

(1)当 a < 0 时, (a ) 2 ? a ; B.1
b ?1

2a ? b ? 1 中正确结论的个数是
C.2
3a ? 2b

( D.3 的值=

5.若 3 ? 2 , 3 ? 5 ,则 3 6.若 2 ? 2
x ?x

.

? 3 ,则 4 x ?

1 的值=_____________. 4x

7. 化简求值:

(1 ? 2

?

1 32

)(1 ? 2

?

1 16

)(1 ? 2 8 )(1 ? 2 4 )(1 ? 2 2 )

?

1

?

1

?

1

指数与指数幂的运算小结 1. 利用根式的性质解题时,关键是在理解的基础上熟记根式的意义与性质,特别要注意在
n

a n 中, n是偶数,a ? 0 的情况。同时对于根式的运算还要注意变式,整体代换,以

及平方差、立方和、立方差和完全平方、完全立方公式的运用、做到化简为繁,必要时进 行讨论。 2. 指数幂的一般运算步骤是:有括号先算括号里面的;无括号先做指数运算;负指数幂化 为正指数幂的倒数;底数是负数时,先确定符号;底数是小数,先要化成分数;底数是带 分数, 先要化成假分数, 然 后要尽可能的用幂的形式表示, 便于用指数幂的运算性质。 3. 根式一般先转化成分数指数幂,然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算。在将根 式化为分数指数幂的过程中, 一般采用由内到外逐层变换为指数的方法, 然后运用运算性 质准确求解。

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专题二 指数函数的图象以及有关的一些性质 1. 下列一定是指数函数的是 ( ) A.形如 y ? a x 的函数 C. y ? ( a ? 2) x 2. 指数函数 y ? a (a ? { ,
x

B. y ? x a (a ? 0, 且a ? 1) D. y ? (a ? 2)a x

1 1 ,2,3}) 的图象如图, 3 2


则分别对应于图象 C1,C2,C3,C4 的 a 的值为 (

1 1 A. , ,2,3 3 2 1 1 C. 3,2, , 2 3

1 1 , ,3,2 B. 2 3 1 1 D. 2,3, , 3 2


3. 已知指数函数的图象过点(1,2) ,则它在区间[1,2]上的最大值为 ( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 四个数 2 ?3 , (?2) 3 ,0.2 ?3 ,53.1 从小到大的排列顺序为 5. 函数 y ? 2
x?1

.

的定义域为_______________ ,值域为__________________.

6.函数 f ( x) ? a x 在区间[-1,1]上最大值与最小值的差为 1,求 a 的值

指数函数的图象以及有关的一些性质小结: 1. 指数函数定义的特点: 只有形如 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 的函数才是指数函数, 其特点是:
x

1 3 x (1) a是常数,a ? 0且a ? 1 ; (2) a 的系数为;( )指数是单个的 .
x

2. 指 数 函 数 的 单 调 性 : 应 用 指 数 函 数 的 单 调 性 时 , 要 首 先 讨 论 底 数 与 1 的 关 系 ,

a ? 1时,指数函数在 上单调递增;? a ? 1时,指数函数单调递减 R 0
3. 比较几个幂的大小,可将它们与 0 比较,分出正负数;正数与 1 比较,分出大于 1 和小 于 1 的两类;在以上两类中在进行比较,对于底数相同、指数不同的两个幂,可以利用指数 函数的单调性进行判断;对于指数相同、底数不同的两个幂,可以利用不同底的指数函数图 像在象限内的分布规律进行判断;若底数与指数都不同,则可以通过寻找第三个数,对两个 数进行比较大小. 4. 根据指数函数的定义域为 R,值域为(0,+∞) ,结合前一章求函数定义域和值域的方法, 可以求一些简单函数的定义域和值域, 在求解过程中要注意正确运用指数函数的单调性。 在 求值域问题时,既要考虑指数函数的单调性,又要注意指数函数的值域为(0,+∞)

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专题三 指数函数的性质 1.函数 y= a
x

( a >1)的图象是 y y y





y

o

1 x A

o

1 x B

o C

x

o

1

x D ( )

2.函数 y ? 0.2 x A. [1,??)

2

?2 x?3

的单调增区间是 C. (3,??) D. (??,?1)

B. (??,1]

?2? x ? 1 ( x ? 0) ? 3.已知 f ( x) ? ? ,若 f ( x0 ) >1,,则 x 0 的取值范围为 1 ? x2 ( x ? 0) ?
A. (-1,1) B. (?1, ??) C. (??, ?2) ? (0, ??) D.





(??,?1) ∪ (1,??)

4.函数 y=5 与 y=5

x

?x

图象关于

对称,函数 y=5

x?1

图象关于_ _ _ _

__对称。 .

5.函数 y ? 3 x +m 不过第二象限,则 m 的取值范围是_

6.在同一直角坐标系中分别作出下列各函数的图象,并比较它们之间的关系: (1)y=2 ;
x

(2) y=2

x? 2

;

(3) y=2

x? 2

指数函数的性质小结 1.函数图象的平移变换规律是:左“+”右“—” ,上“+”下“—”.其中左“+”右“—” 指的是自变量的变化规律,而上“+”下“—”指的是解析式等号的右边函数值的变化规 律.做题时要分清楚是自变量还是函数值发生了变化,对号入座,不容易做错. 2.对于求复合函数单调性的问题,遵循的原则是:同增异减. 即组成复合函数的几个简单函 数, 如果它们的单调性相同,则复合之后的函数就是增函数;如果它们的单调性不相同, 则复合之后的函数就是减函数. 3.处理函数图象问题的常用方法:一是抓住图象上的特殊点;二是利用图象的变换;三是利 用函数的奇偶性与单调性.

- 3 -Page 3 of 7

专题四

对数与对数运算 ( D. y ? ( x
? 1 2 ?2

1.与函数 y ? eln x 的图象相同的一个函数是 A. y ? x B. y ? e x C. y ? x

)

)

2.若 log 3 7 ? log 2 9 ? log 49 a ? log 4

1 ,则 a 的值等于 2
C. 2 D.4

(

)

A.

1 4

B.

2 2

3.(1)已知 lg x 2 ? 0 ,则 x 的值=____ (3) a
log a x

(2)

24? log2 3 的值=_


_____

___

=



log c b = log c a
3

4.已知 log 2 [log 1 (log 2 a)] ? 0 , log3[log 1 (log3 b)] ? 0 则 a, b 的大小关系是
2

5.计算下列各式的值: (1) 2 log 3 2 ? log 3

32 ? log 3 8 ? 5 2 log5 3 ; 9

(2) log 2

1 1 1 ? log 3 ? log 5 . 125 32 3

6、已知 lg 2 ? m, lg 3 ? n, 试用m, n表示log5 6 .

对数与对数运算小结 1.对数式 loga N ? b 是由指数式 a ? N 变化得来的,两式底数相同,对数式中的真数就是
b

指数式中的幂的值, 而对数值是指数式中的幂指数, 因此指数形式与对数形式是可以互化的, 即 a b ? N ? b ? loga N . 2. 并 非 任 何 指 数 式 都 可 以 直 接 化 为 对 数 式 , 如 (?3) ? 9 就 不 能 直 接 写 成
2

才有 log?3 9, 只有符合a ? 0, a ? 1且N ? 0时, a b ? N ? b ? loga N . 3.对于对数的化简,常用的方法是: (1) “收” ,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数; (2) “拆” ,将积(商)的对数拆成对数的和(差). 4. 在 应 用 对 数 运 算 性 质 时 应 注 意 保 证 每 个 对 数 式 都 有 意 义 , 避 免 出 现 另外对数运算性质是可逆的, 注意公式的逆用在 log5 (?10) 2 ? 2 log5 (?10) 等形式的错误。 解题中的作用. 5.除了教材中介绍的对数的三个运算性质外, log a n b
m

?

m log a b 在解题中也比较常用. n

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专题五 对数函数的图象性质 1.若某对数函数的图象过点(4,2) ,则该对数函数的解析式为 A. y ? log2 x B. y ? 2 log4 x



) D.不确定

C. y ? log2 x 或 y ? 2 log4 x ( ) D.[1, 4) )

2.函数 f ( x) ? lg( x ? 1) ? 4 ? x 的定义域为 A.(1,4] B.(1, 4) C.[1, 4] B. y ? a

3.已知 a ? 0且a ? 1,下列四组函数中表示相等函数的是( A. y ? loga x与y ? (logx a) ?1 C. y ? 2x与y ? loga a 2 x
loga x

与y ? x

D. y ? loga x 2与y ? 2 loga x

4. 函数 y ? log2 x ? 3( x ? 1) 的值域为_____________________. 5.函数 y ? log2 x ? 1, 则x 的取值范围是_____________________. 6.函数 f ( x) ? a x ? loga ( x ? 1)在 [0,1]上的最大值与最小值之和为 a, 求a 的值.

对数函数的图象与一些性质小结 1.求于对数函数有关的函数定义域时,除遵循前面已学过的求函数定义域的方法外,还要对 这种函数自身有如下的要求:一是要特别注意真数大于 0;二是要注意对数的底数;三是 按底数的取值应用单调性,有针对性的解不等式. 2.解对数不等式时,要注意:真数大于 0,底数大于 0 且不等于 1,然后借助于对数函数的 单调性,把对数的不等式转化为真数的不等式,然后与定义域取交集即得原不等式的解集. 底数中若含有参变量时,一定要注意底数大于 0 且不等于 1;同时要注意与 1 大小的讨论. 3.比较对数值的大小,常用的方法有: (1)底数相同真数不同时,用函数的单调性来比较; (2)底数不同而真数相同时,常借助图象比较,也可用换底公式转化为同底数的对数后比 较; (3)底数与真数都不同,需寻求中间值比较.

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专题六

对数函数性质
x

1.函数 y ? a x 与 y ? loga (a ? 0, a ? 1) ,下列说法不正确的是 A.两者的图象关于直线 y ? x 对称 B. 前者的定义域和值域分别是后者的值域和定义域 C. 两函数在各自的定义域内增减性相同 D. y ? a x 的图象经过平移可得 y ? loga 的图象
x





2. 下列函数在 (0,2) 上为增函数的是 A. y ? log 1
2 ( x ?1)





B.

y ? log2
D. y

( ? x ? 2)

C. y ? log 1
3

( x 2 ? 4 x ?5)

? log3 x

1

3.函数 f ( x) ? lg x 为 A.奇函数,在区间(0,+∞)上是减函数; B.奇函数,在区间(0,+∞)上是增函数; C.偶函数,在区间(-∞, 0)上是增函数; D.偶函数,在区间(-∞,0)上是减函数. 4.函数 y ? log 1 (? x2 ? 2 x ? 3) 的单调增区间是
2





5. loga x ? loga ( x ?1) ,则 a ? 6.已知函数 y ? log2 x
2

(1)求函数的定义域; (2)讨论函数的奇偶性; (3)讨论函数的单调性. 对数函数性质小结 1.做对数函数的图象,注意图象无限靠近于 y 轴,过(1,0)点及其单调性. 2. y ? f ( x)图象可以由 ? f ( x) 图象得到, 具体过程: 保留 y ? f ( x) x 轴上方的图象, 在 y 再将 y ? f ( x) 图象在 x 轴下方的部分拆到 x 轴上方. 3.对数函数图象的平移变换规律与指数函数的规律相同是: “+” “—” 上 左 右 , “+” “—” 下 . 其中左“+”右“—”指的是自变量的变化规律,而上“+”下“—”指的是解析式等号的 右边函数值的变化规律.做题时要分清楚是自变量还是函数值发生了变化,对号入座. 4.对于求复合函数单调性的问题,遵循的原则是:同增异减. 即组成复合函数的几个简单函 数, 如果它们的单调性相同,则复合之后的函数就是增函数;如果它们的单调性不相同, 则复合之后的函数就是减函数.

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m n ? ? ?根式: a , n为根指数,a为被开方数 ? n m ? ? ?an ? ? ? a ? ? ? ?分数指数幂 ? ? ? ? r a s ? a r ? s ( a ? 0, r , s ? Q ) ?a ? ?指数的运算 ? ? r s ? ?指数函数 ? rs ? ?性质 ?( a ) ? a ( a ? 0, r , s ? Q ) ? ? ?( ab) r ? a r b s ( a ? 0, b ? 0, r ? Q ) ? ? ? ? ? ? ? x ? ?指数函数 ?定义:一般地把函数y ? a ( a ? 0且a ? 1)叫做指数函数。 ? ? ? ? ?性质:见表1 ? ? ? ?对数:x ? log a N , a为底数,N 为真数 ? ? ? ? ?log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N ; ? ? ? 基本初等函数 ? ? ? ? ? ?log a M ? log a M ? log a N ; ? ? ? N ?对数的运算 ?性质 ? ? ? ? ? log a M n ? n log a M ; ( a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0) 对数函数 ? ? ? ? ? ? ? log c b ? log ( a, c ? 0且a, c ? 1, b ? 0) ? ?换底公式: a b ? ? ? log c a ? ? ? ? ? ? ?对数函数 ?定义:一般地把函数y ? log a x ( a ? 0且a ? 1)叫做对数函数 ? ? ? ? ?性质:见表1 ? ? ? ? ? ?幂函数 ?定义:一般地,函数y ? x 叫做幂函数,x是自变量,? 是常数。 ? ? ?性质:见表2 ?

表1 定义域 值域

指数函数

y ? a x ? a ? 0, a ? 1?
x?R

对数数函数

y ? loga x ? a ? 0, a ? 1?
x?? 0, ???

y ? ? 0, ???

y?R

图象

过定点 (0,1) 减函数 增函数
x ? (??,0)时,y ? (0,1) x ? (0, ??)时,y ? (1, ??)

过定点 (1, 0) 减函数 增函数

x ? (??,0)时,y ? (1, ??) x ? (0, ??)时,y ? (0,1)
性质

x ? (0,1)时,y ? (0, ??) x ? (1, ??)时,y ? (??,0)

x ? (0,1)时,y ? (??,0) x ? (1, ??)时,y ? (0, ??)

a?b

a?b

a?b

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