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高二数学寒假作业专题18复数背


专题 18 【背一背】 1. 复数的概念 复数 (1) 虚数单位 i: i2=-1;i 和实数在一起,服从实数的运算律. (2) 代数形式:a+bi(a,b∈R),其中 a 叫实部,b 叫虚部. 2. 复数的分类 复数 z=a+bi(a、b∈R)中, z 是实数 a∈R,b=0,z 是虚数 b≠0, z 是纯虚数 a=0,b≠0. 3. a+bi 与 a-bi(a,b∈R)互

为共轭复数. 4. 复数相等的条件 a+bi=c+di(a、b、c、d∈R) 特殊的,a+bi=0(a、b∈R) a=c 且 b=d. a=0 且 b=0. → 的长度叫做复数 z 5. 设复数 z=a+bi(a,b∈R),z 在复平面内对应点为 Z,则OZ → |= a2+b2. 的 模(或绝对值),即|z|= |OZ 6. 运算法则 z1=a+bi,z2=c+di,(a、b、c、d∈R). 1、 i 4 n ?1 ? i 、 i 4n?2 ? ?1 、 i 4n?3 ? ?i 、 i 4 n ? 1 2、复数的加减(类比合并同类项) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i 3、复数的相乘(类比整式乘法) (a ? bi) ? (c ? di) ? (ac ? bd) ? (ab ? bc)i a ? bi (a ? bi)(c ? di) ac ? bd bc ? ad ? ? 2 ? 2 i 2 2 c ? di ( c ? di )( c ? di ) c ? d c ? d 4、复数的相除(类比分母有理化) 1 5、1 的立方根有 3 个:1、 7.复数的乘法的运算律 对于任何 z1 , z2 , z3 ? C ,有 交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 . 结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) . ?1 ? ? ? 1 2 3 1 3 ?2 ? ? ? 2 、 2 2 分配律: z1 ? ( z2 ? z3 ) ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 . 8.复平面上的两点间的距离公式 d ?| z1 ? z2 |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ( z1 ? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y2i ). 9.复平面向量的垂直 非零复数 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di 对应的向量分别是 OZ1 , OZ2 ,则 z2 OZ1 ? OZ2 ? z1 ? z2 的实部为零 ? z1 为纯虚数 ? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 2 2 2 ? | z1 ? z2 | ?| z1 | ? | z2 | ? | z1 ? z2 |?| z1 ? z2 | ? ac ? bd ? 0 ? z1 ? ?iz2 (λ为非零实数). 10.实系数一元二次方程的解 2 实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 , 2 ①若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1,2 ? ?b ? b2 ? 4ac 2a ; b 2a ; ②若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 2 x1 ? x2 ? ? 2 ③若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,它在实数集 R 内 没有实数根;在复数集 C 内有且仅有两个共 轭复数根 x? ?b ? ?(b2 ? 4ac)i 2 (b ? 4ac ? 0) 2a . 11.注意点 1、复数的确定可以多考虑用待定

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