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1.8函数y=Asin(ωx+φ)的图象北师大版数学必修4


函数 y=Asin(?x+?)的图象





在物理和工程技术的许多问题 中,都要遇到形如y=Asin(ωx+?)的 函数解析式(其中A,ω, ?是常数) 如交流电、振动和波等.

知识回顾:
y
1-

y ? sin x x ?[0,2? ]

/>? 6

-1

o
-1 -

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

在函数 y ? sin x, x ?[0, 2? ] 的图象上,起关键作用的点有: 最高点: ( 最低点:

( 32? ,?1)
(0,0) (? ,0) (2? ,0)

与x轴的交点:

在精度要求不高的情况下,我们可以利用这5个点画出 函数的简图,一般把这种画图方法叫“五点法”。

-

?

2

,1)

新课讲解:
1 例1 作函数 y ? 2 sin x 及 y ? sin x 的图象。 2

解:(1) 列表

x
sin x 2 sin x

0 0 0 0

? 2

?

3? 2

2? 0 0 0

1

0 0 0

?1

2

?2

1 sin x 2

1 2

?1 2

2. 描点、作图:
y 2 1 O ?1 ?

y=2sinx y=sinx
2? x

1 y= sinx 2 ?2

周期相同

一、函数y=Asinx(A>0)的图象

y

y=2sinx

2
1 2? O ?1 ?2 ? x

y=

1 sinx 2

函数y=Asinx (A >0且A≠1)的图象可以看作 是把 y =sinx 的图象上所有的点横坐标不变, 纵坐标伸长 (当A>1时)或缩短(当0<A<1时) 到 原来的A倍而得到的。 在函数 y=Asinx (A >0)中,A决定了函数的 值域及最大值和最小值,通常称A为振幅。

思考:函数y ? f ( x)与函数y ? Af ( x)的图象有何关系?

例2 作函数 y ? sin( x ?

?

x
x?

?
6 ?
6 )

? 6
0
0
y 1 O ?1

6 2? 3
? 2
1

) 及y ? sin( x ?
7? 6
?
0
7? 6

?

4 10? 6
3? 2
-1

)的图象。
13? 6
2?
0
?
6

sin( x ?

y ? sin( x ?

)

2?
13? 6

?
6

?

x

例2 作函数 y ? sin( x ?

?
6

) 及y ? sin( x ?
3? 4
?
0
y ? sin( x ?

?

x
x?

?
?
4 ?
4

?
4

? 4
? 2
1

4 5? 4
3? 2
-1

)的图象。
7? 4
2?
0

0
)
0
y 1

sin( x ?

?
4

)

?O ?
4 ?1

3? ? 4

7? 4 2?

x

二、函数y=sin(x+?)图象
y 1

y ? sin( x ?
?

?
6

)

2?
?

?O
4 ?1

?
6

x

y ? sin( x ?

?
4

)

函数y=sin(x+?) 的图象可以看作是把 y=sinx 的 图象上所有的点向左(当 ? >0时)或向右(当? <0时)

平移| ? |个单位而得到的。
在函数y=sin(x+?) 中,? 决定了x=0时的函数值, 通常称 ? 为初相, x+?为相位。

思考:函数y ? f ( x)与y ? f ( x ? b)的图象有何关系?

y ? sin 1 x 的图象。 例3 作函数 y ? sin 2 x 及 2
1. 列表:
x
2x sin 2 x
0
0 0

?
4
? 2

?
2
?

3? 4
3? 2

?
2? 0

1

0

?1

2 y 2. 描点:

y=sinx
? 2? 3? x

连线:

1 O ?1 ?2

y=sin2x

1. 列表: x
1 x 2 1 sin x 2
y
0
0 0

1 对于函数y ? sin x 2
?
? 2

2?
?

3?
3? 2

4?
2? 0

1

0

?1

2. 描点 作图
1 O
?1 ?

1 y=sin x 2
2? 3? 4? x

y=sinx

y 1 O ?1 ?

1 y=sin 2
2?

x
3?

4? x

y=sinx

y=sin2x

振幅相同

三、函数y=sin?x(?>0)的图象
y 1

1 y=sin x 2
2?
3? 4? x

O

?

?1

y=sin2x

y=sinx

y=sin 1 x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所 2 有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)。 y=sin 2x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所 1 有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)。

2

1 ? 2? , 通常称周期的倒数 周期 T ? f ? ? T 2? ?
为频率。

函数y=sin?x (? >0且?≠1)的图象可以看作 是把 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标不变,横 坐标缩短(当?>1时)或伸长(当0<?<1时) 到原来 1 的 倍而得到的。 ? 在函数 y=sin ? x (? >0)中, ?决定了函数的

思考:函数y ? f ( x)与函数y ? f (k x)的图象有何关系?

四、函数y=sin(ωx+?)与y=sinωx图象的关系 ? ? 例4 作函数y ? sin( 2 x ? ) 及y ? sin( 2 x ? ) 的图象。 3 4 11? ? 2? 7? 5? x 12 3 6 6 12
2x ?

?

sin( 2 x ? ) 3 y 1
O ?1

3 ?

0
0

? 2
1

?
0
?

3? 2
-1

2?
0

?
6

? 2

y ? sin(2 x ? ) 3

?
2? 3
7? 6

x

y=sin2x

四、函数y=sin(ωx+?)与y=sinωx图象的关系 ? ? 例4 作函数y ? sin( 2 x ? ) 及y ? sin( 2 x ? ) 的图象。 3 4 5? ? 3? 7? ? ? x 8 8 8 8 8
2x ?

?

sin( 2 x ?

4 ?
4

0
)
0

? 2
1

?
0

3? 2
-1

2?
0

y 1
?
8

? 2
O
3? ? y ? sin(2 x ? ) 8 4

?
7? 8

x

?

?1

y=sin2x

四、函数y=sin(ωx+?)与y=sinωx图象的关系
y 1
?
8

?

O
?1

?
6
y ? sin(2 x ? ) 4

? 2
?

y ? sin( 2 x ?

?
3

)

? x

y=sin2x

函数y=sin(ωx+?) 的图象可以看作是把 y=sinωx 的 图象上所有的点向左(当 ? >0时)或向右(当? <0时)平 ? 移 个单位而得到的。 ?

思考:函数 y ? f (ax)与 y ? f (ax ? b) 的 图像有何关系?

小结:对于函数 y=Asin(?x+?) (A>0, ?>0)
A --- 振幅

? --- 初相
--- 周期

? x+? --- 相位

T?

2?

?

1 f ? --- 频率 T

五、函数y=sinx 与y=Asin(ωx+?)图象的关系
例1、将函数y=sinx的图像怎样变换得到函数 ? y = 3sin(2x + )的图像。
3

(1)横坐标缩短到原来的 函数 y=sinx 纵坐标不变
?

1 2



y=sin2x的图象

(2) 向左平移 6

? y=sin(2x+ ) 的图象 3 ? y=3sin(2x+ )的图象 3

(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍

图像演示:

y
3 2 1

? y=3sin(2x+ )③ 3

y=sinx ?
? 3
5? 6

o
?

5? 3

2?

?
3

?

?
6

x y=sin2x①

-1

-2 -3

? y=sin(2x + )② 3

方法1:先伸缩后平移一般规律
函数 y=sinx
(1)横坐标缩短(? >1)或伸长(0<?<1)为
1 原来的 倍,纵坐标不变 ?

y=sin ? x 的图象

(2)向左(? >0)或向右(? <0)

? 平移| |个单位 ?
(3)横坐标不变,纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0<A<1)为原来的A倍

y=sin(? x+ ? ) 的图象

y=Asin(?x+ ? )的图象

?

函数 y=sinx (1)向左平移 3
1 2

? y=sin(x+ ) 的图象 3


(2)横坐标缩短为原来的

纵坐标不变

? y=sin(2x+ ) 的图象 3 ? y=3sin(2x+ )的图象 3

(3)横坐标不变 纵坐标伸长为原来的3倍

图像演示:

y
3 2 1

? y=3sin(2x+ )③ 3

y=sinx ?
? 3
5? 6

o
?

5? 3

2?

?
3

?

?
6

x

-1

-2 -3

? y=sin(x+ )① 3 ? y=sin(2x + )② 3

方法2:先平移后伸缩一般规律
函数 y=sinx
(1)向左(? >0)或向右(? <0) 平移| ? |个单位

y=sin(x+ ? ) 的图象

(2)横坐标缩短(? >1)或伸长(0<?<1)到 原来的 倍,(纵坐标不变) ? (3)纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1) 到原来的A倍(横坐标不变)
1

y=sin(? x+ ? ) 的图象

y=Asin(?x+ ? )的图象

小结:
函数 y = sinx 的图象与函数 y=Asin(?x+?)的图象 间的变换关系。

y=sin(x+?) y = sinx 的图象 y=sin ? x y = sin(?x+?) y=Asin(?x+?)

课堂练习
1、 当函数 y = -5sin (-2x +π/4) 表示一个振动量时其振幅为 频率为

5

π 周期为 ______ C)

1/π

相位为

-2x +π/4

初相为

π/ 4



2、将函数 y= sin2x 的图象向左平移 π/ 6 得到的曲线对应的解析式为( A. y=sin(2x+π/6) C. y=sin(2x+π/3) B. y=sin(2x-π/6) D. y=sin(2x-π/3)

3、要得到函数 y = cos3x 的图象,只需将函数 y = cos (3x-π/ 6) 的图象( A. 向左平移π/6个单位 C. 向左平移π/18个单位 B. 向右平移π/6个单位 D. 向右平移π/18个单位

C)

4、函数 y = 3sin( x/ 2 + π/3) 的图象可由函数 y = 3 sin x 经(

D)变换而得;

A. 先把横坐标扩大到原来的两倍(纵坐标不变) ,再向左平移π/6个单位 B. 先把横坐标缩短到原来的1/2倍(纵坐标不变) ,再向右平移π/3个单位 C. 先向右平移π/3个单位 ,再把横坐标缩短到原来的1/2倍(纵坐标不变) D. 先向左平移π/3个单位 ,再把横坐标扩大到原来的两倍(纵坐标不变) *5、要得到函数 y = cos ( 2x -π/4) 的图象,只需将函数 y = sin 2 x 的图象( A. 向左平移π/4个单位 C. 向左平移π/ 8个单位 B. 向右平移π / 4 个单位 D. 向右平移π/ 8个单位

C)


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