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高中数学


第一章《三角函数》测试题 姓名
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

得分

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是最符合题目要求的.) 1.下列命题正确的是( ). A.终边相同的角都相等 C.第一象限角都是锐角 B.钝角比第三象限角小 D.锐角都是第一象限角 ).

2.若角 600 ? 的终边上有一点 ?? 4, a ?,则 a 的值是( A. ? 4 3 3. 1 ? sin A. cos
2

B. ? 4 3

C. 3 ).

D. 4 3

3? 化简的结果是( 5
B. ? cos

3? 5

3? 5

C. ? cos )

3? 5

D. cos

2? 5

4.与-463°终边相同的角可表示为( A.k·360°+436°(k∈Z) C.k·360°+257°(k∈Z)

B.k·360°+103°(k∈Z) D.k·360°-257°(k∈Z) ) D.tanα ·tanβ =1

5.若 α 、β 的终边关于 y 轴对称,则下列等式正确的是( A.sinα =sinβ 6.与函数 y ? B.cosα =cosβ C.tanα =tanβ )

1 定义域相同的一个函数是( sin x

A. y ? sin x
C. y ? lg?tanx ?
7.设 tan( ? ? ? ) ? 2 ,则

B. y ? 1 ? cos 2x
D. y ? lg?sin x ?

sin(? ? ?) ? cos( ? ? ? ) ?( sin( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )
C. 1 D. ? 1

).

A. 3

B.

1 3

8. A 为三角形 ABC 的一个内角,若 sin A ? cos A ? A. 锐角三角形 B. 钝角三角形

12 ,则这个三角形的形状为( 25
D. 等腰三角形

).

C. 等腰直角三角形

1

9.函数 y ? A. 2k? ?

2cos x ? 1 的定义域是(
?
3 , 2 k? ?

). B. 2k? ?

? ? ?

?? (k ? Z ) 3? ?
2? ? (k ? Z ) 3 ? ?
) B.大于 0 D.不存在

? ? ?

?
6

, 2 k? ?

?? (k ? Z ) 6? ?
2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

C. 2k? ?

? ? ?

?
3

, 2 k? ?

D. 2k? ?

? ? ?

2? 3

, 2k? ?

10.sin2cos3tan4 的值( A.小于 0 C.等于 0

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案填在题中的横线上.) 13.在扇形中, 已知半径为 8 , 弧长为 12 , 则圆心角是
2

弧度, 扇形面积是

.

14. 设扇形的半径长为 8cm ,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是 15. 若 1+sin2θ=3sinθcosθ 则 tanθ=________. 16. 函数 y= 16-x2+ sinx的定义域为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.(本小题满分 10 分) 已知 ? 是第三角限角,化简

1 ? sin ? 1 ? sin ? . ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

18.(本小题满分 12 分) 已知角 ? 的终边在直线 y ? 2 x 上,求角 ? 的正弦、余弦和正切值.

2

19.(本小题满分 12 分) 已知 sin x ? cos x ? ? (0 ? x ? ? ) ,求 tan x 的值

1 5

20. (本题满分 12 分) 1-a 3a-1 已知 sinθ= ,cosθ= ,若 θ 为第二象限角,求实数 a 的值. 1+a 1+a

3

21.(本小题满分 14 分)

cos( ? ? ) sin(?? ? ? ) 2 已知角 ? 终边上一点 P(?4a,3a), a ? 0 ,求 的值 11? 9? cos( ? ? ) sin( ? ? ) 2 2

?

22.(本小题满分 14 分)
2 (1)当 tan ? ? 3 ,求 cos ? ? 3 sin ? cos? 的值;

? 2cos3 ? ? sin 2 (2? ? ? ) ? sin( ? ? ) ? 3 ? 2 (2)设 f (? ) ? ,求 f ( ) 的值. 2 3 2 ? 2cos ( ? ? ? ) ? cos( ?? )

4

第一章《三角函数》测试题参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是最符合题目要求的.) 1.D 由任意角和象限角的定义易得只有 D 正确. 2.A 因为 tan 600 ? ?

a ? tan( 540 ? ? 60?) ? tan 60? ? 3 ,故 a ? ?4 3 . ?4

3.B

1 ? sin 2

3? 3? 3? 3? ? cos2 ?| cos |? ? cos . 5 5 5 5
? ? 对称,∴ f ( ) ? ?1 ,故只 3 3

4.C

∵最小正周期为 ? ,∴ ? ? 2 ,又∵图象关于直线 x ?

有 C 符合.

T ? ? ? ? ? 3 ? 1 ? 2 ,∴ T ? 8 , ? ? ,又由 ? 1 ? ? ? 得 ? ? . 4 4 2 4 4 ? ? 6.C ∵ y ? 3sin 2( x ? ) ? 3sin(2 x ? ) ,故选 C. 8 4
5.D ∵ 7.A 由 tan( ? ? ? ) ? 2 ,得 tan ? ? 2 ,



sin(? ? ?) ? cos( ? ? ? ) ? sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? tan ? ? 1 ? ? ? ? 3. sin( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ? sin ? ? ( ? cos ? ) sin ? ? cos ? tan ? ? 1
2 4 2 2 两边平方,得 sin A ? 2 sin A cos A ? cos A ? , 5 25 4 21 ?1 ? ? ? 0 , 又∵ 0 ? A ? ? , ∴ A 为钝角. ∴ 2 sin A cos A ? 25 25

8.B 将 sin A ? cos A ?

9.B

f(

5? ? ? ? ? 3 ) ? f (2? ? ) ? f ( ? ) ? f ( ) ? sin ? . 3 3 3 3 3 2

1 2? 2? ? x ? 2k ? ? ,∴ 2k ? ? ,k ?Z . 3 3 2 ? ? 3? 2? ? ? 2k ? 得 ? ? k? ? x ? ? ? k? ( k ? Z ) 11.C 由 ? 2k ? ? ? 2 x ? , 2 6 2 3 6 ? 5? 又∵ x ? [0, ?] , ∴单调递增区间为 [ , ] . 3 6
10.D 由 2 cos x ? 1 ? 0 得 cos x ? ? 12.B

f ( x) ? cos2 x ? 2a sin x ? 1 ? 1 ? sin 2 x ? 2a sin x ? 1 ? ?(sin x ? a) 2 ? a 2 ,
∵ 0 ? x ? 2? , ∴ ? 1 ? sin x ? 1 , 又∵ a ? 1 ,
2 2

∴ f ( x) max ? ?(1 ? a) ? a ? 2a ? 1. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案填在题中的横线上.)

5

13. 14. 3

3 , 48 2

圆心角 ? ?

l 12 3 1 1 ? ? ,扇形面积 S ? lr ? ? 12 ? 8 ? 48 . r 8 2 2 2

y(2 ? cos x) ? 2 ? cos x, cos x ?

2y ? 2 2y ? 2 1 ? ?1 ? ? 1, ? y ? 3 . y ?1 y ?1 3

15. 3 16. 1

画出函数 y ? sin x 和 y ? lg x 的图象,结合图象易知这两个函数的图象有 3 交点.

f (2009) ? a sin(2009? ? ? ) ? b cos(2009? ? ? ) ? ?1 , f (2010) ? a sin(2010? ? ? ) ? b cos(2010? ? ? ) ? a sin[? ? (2009? ? ? )] ? b cos[? ? (2009? ? ? )] ? ?[a sin(2009? ? ? ) ? b cos(2009? ? ? )] ? 1 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤.) 17.解:∵ ? 是第三角限角, ∴ 1 ? sin ? ? 0 , 1 ? sin ? ? 0 , cos ? ? 0 , ∴

1 ? sin ? 1 ? sin ? (1 ? sin ? ) 2 (1 ? sin ? ) 2 ? ? ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? (1 ? sin ? )(1 ? sin ? ) (1 ? sin ? )(1 ? sin ? )

?

(1 ? sin ? ) 2 (1 ? sin ? ) 2 (1 ? sin ? ) 2 (1 ? sin ? ) 2 ? ? ? 1 ? sin 2 ? 1 ? sin 2 ? cos2 ? cos2 ?
1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? |?| |? ? ? cos ? cos ? cos ? cos ? ? 2 sin ? ? ? ?2 tan ? . cos ? ?|

18. 解:设角 ? 终边上任一点 P(k ,2k ) ( k ? 0 ) ,则 x ? k , y ? 2k , r ? 当 k ? 0 时, r ? 5k , ? 是第一象限角,

5 | k |.

sin ? ?

y 2k y 2k 2 5 x k 5 ? 2; , cos? ? ? , tan ? ? ? ? ? ? x k r 5 r 5 5k 5k

当 k ? 0 时, r ? ? 5k , ? 是第三象限角,

sin ? ?
tan ? ?

y 2k 2 5 ? ?? r ? 5k 5



cos? ?

x k 5 ? ?? r ? 5k 5



y 2k ? ? 2. x k
6

综上,角 ? 的正弦、余弦和正切值分别为

2 5 5 2 5 5 , ,2 或? ,? ,2 . 5 5 5 5

19.解: (1)因为 cos ? ? 3 sin ? cos? ?
2

cos2 ? ? 3 sin ? cos? 1 ? 3 tan? ? , sin 2 ? ? cos2 ? tan2 ? ? 1

且 tan ? ? 3 , 所以,原式 ?

1? 3? 3 4 ?? . 2 5 3 ?1

2 cos3 ? ? sin 2 (2? ? ? ) ? sin( ? ? ) ? 3 2 cos3 ? ? sin 2 ? ? cos? ? 3 2 ? (2) f (? ) ? 2 ? 2 cos2 (? ? ? ) ? cos(?? ) 2 ? 2 cos2 ? ? cos?

?

?

2 cos3 ? ? cos2 ? ? cos? ? 2 2(cos? ? 1)(cos2 ? ? cos? ? 1) ? cos? (cos? ? 1) ? 2 ? 2 cos2 ? ? cos? 2 ? 2 cos2 ? ? cos? (cos? ? 1)(2 cos2 ? ? cos? ? 2) ? cos? ? 1 , 2 cos2 ? ? cos? ? 2
? 1 ?1 ? ? . 3 2

?
? 3

∴ f ( ) ? cos

? 2? 2 cos(2 x ? ) ,所以函数 f ( x) 的最小正周期为 T ? ??, 4 2 ? 3? ? ? k? ? x ? ? k? , 由 ?? ? 2k ? ? 2 x ? ? 2k ? , 得? 故函数 f ( x) 的递调递增区 4 8 8 3? ? ? k ?, ? k ?] ( k ? Z ) 间为 [ ? ; 8 8 ? ? ? ? ? (2)因为 f ( x ) ? 2 cos(2 x ? ) 在区间 [ ? , ] 上为增函数,在区间 [ , ] 上为减函 4 8 8 8 2 ? ? ? π ? 数,又 f ( ? ) ? 0 , f ( ) ? 2 , f ( ) ? 2 cos( ? ? ) ? ? 2 cos ? ?1 , 8 8 2 4 4 ? ? ? ? 故函数 f ( x ) 在区间 [ ? , ] 上的最大值为 2 ,此时 x ? ;最小值为 ?1 ,此时 x ? . 8 2 8 2 21.解:存在 a ? ?1 , b ? 1 满足要求.
20.解: (1)因为 f ( x ) ? ∵

? 3? ?x? , 4 4



2? ? 5? ? 2x ? ? , 3 6 3

∴ ?1 ? sin(2 x ?

? 3 )? , 6 2

若存在这样的有理 a , b ,则 (1)当 a ? 0 时, ?

? ?? 3a ? 2a ? b ? ?3, ? ?2a ? 2a ? b ? 3 ? 1,

无解;

7

(2)当 a ? 0 时, ?

?2a ? 2a ? b ? ?3, ?? 3a ? 2a ? b ? 3 ? 1,

解得 a ? ?1 , b ? 1 ,

即存在 a ? ?1 , b ? 1 满足要求. 22. 解: (1)设 f ? x ? 的最小正周期为 T ,得 T ? 由T ?

11? ? ? ( ? ) ? 2? , 6 6

2?

?



得? ? 1,

B? A?3 A?2 又? ,解得 ? ? ? ?B ?1 ? B ? A ? ?1

令? ?

5? ? 5? ? ? ? ? ? ,即 ? ? ? ,解得 ? ? ? , 6 2 6 2 3
? ?? ? ?1. 3?

∴ f ? x ? ? 2sin ? ?x?

(2)∵函数 y ? f ? kx ? ? 2sin ? kx ? 又k ? 0, 令 t ? 3x ? ∴ k ? 3,

? ?

2? ?? ? ? 1 的周期为 3 , 3?

? ? ,∵ x ? ?0, ? , ? 3 ? 3? ?

∴ t ? [?

? 2? , ], 3 3

如图, sin t ? s 在 [ ?

? 2? 3 , ] 上有两个不同的解,则 s ? [ ,1) , 3 3 2

∴方程 f ? kx ? ? m 在 x ? [0, ] 时恰好有两个不同的解,则 m ? ? 3 ? 1,3 ,

即实数 m 的取值范围是 ? 3 ? 1,3

?

?

? 3

?

?

8


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