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最新审定人教A版高中数学必修五:1.1《正弦定理和余弦定理(2)》ppt(名校课件)


最新审定人教A版高中数学必修五优秀课件 第一章 1.1 正弦定理和余弦定理 第2课时 余弦定理 1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课 时 作 业 课前自主预习 ? 中国海监船肩负着我国海域的维权、执法使命.某时某中国 海监船位于中国南海的A处,与我国海岛B相距s海里.据观 测得知有一外国探油船位于我国海域C处进行非法资源勘探, 这艘中国海监船奉命以v海里/小时的速度前去驱逐.假如能 测得∠BAC=α,BC=m海里,你能根据上述数据计算出它赶 到C处的时间吗? 1.判断(正确:T,错误:F). (1)已知两个三角形两边及其夹角对应相等,则两个三角形 全等. (2) 已知两个三角形三边分别对应相等,则两个三角形全 等. 2.在△ABC 中,正弦定理的表达式是________. [ 答案] a b c 1.(1)T (2)T 2. = = sinA sinB sinC 1.余弦定理 在三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍, 即 a2=b2+c2-2bccosA, b2=c2+a2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC. 解析法证明余弦定理 如图,以点 A 为原点,以△ABC 的边 AB 所在直线为 x 轴, 以过点 A 与 AB 垂直的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系,则 A(0,0),C(bcosA,bsinA),B(c,0).由两点间的距离公式得 BC2=(bcosA-c)2+(bsinA-0)2, 即 a2=b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A, a2=b2+c2-2bccosA. 同理可证 b2=a2+c2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC. 在△ABC 中, AB=4, BC=3, B=60° , 则 AC 等于________. [ 答案] 13 [ 解析] 由条件已知三角形的两边及其夹角,故可以直接 利用余弦定理求得边 AC,即 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcosB= 1 16+9-2×4×3× =13. 2 ∴AC= 13. 2.余弦定理的推论 b2+c2-a2 根据余弦定理, 可以得到以下推论: cosA= , cosB 2bc a2+c2-b2 a2+b2-c2 = ,cosC= . 2ac 2ab 边长为 5 、 7 、 8 的三角形中,最大角与最小角的和是 ________. [ 答案] [ 解析] 120° 设中间角为 θ,由于 8>7>5,故 θ 的对边长为 7, 52+82-72 1 由余弦定理,得 cosθ= = .所以 θ=60° ,故另外两角 2×5×8 2 和为 180° -60° =120° . 3.余弦定理与勾股定理的关系 在△ABC 中,由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcosC,若角 C=90° ,则 cosC=0,于是 c2=a2+b2-2a· b· 0=a2+b2,这说 明勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广. 规律:设 c 是△ABC 中最大的边(或 C 是△ABC 中最大的 角),则 a2+b2<c2?△ABC 是钝角三角形,且角 C 为钝角; a2+b2=c2?△ABC 是直角三角形,且角 C 为直角; a2+b2>c2?△ABC 是锐角三角形,且角 C 为锐角. 在△ABC 中,sinA ? sinB ? sinC=3 ? 5 ? 7,则△ABC 是( ) A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三

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