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陕西省西安市西北工业大学附属中学2015年高三第二次适应性训练数学(理)试题


陕西省西安市西北工业大学附属中学 2015 年高三第二次适应性 训练数学(理)试题

第Ⅰ卷 选择题(共 50 分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题 共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 设全集为实数集 R, M ? x x 2 ? 4 , N ? ? x 1 ? x ? 3? , ) B. ?

x ?2 ? x ? 2? D. ? x x ? 2?
a?i 为纯虚数”的( a ?i B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

?

?

则图中

阴影部分表示的集合是( A. ? x ?2 ? x ? 1? C. ? x 1 ? x ? 2?

2.设 a ? R, i 是虚数单位,则“ a ? 1 ”是“ A.充分不必要条件 C.充要条件



3 .已知函数 f ? x ? ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0, ?? ? ? ? ?) 一部分(如图所示) ,则 ? 与 ? 的值分别为( ) 11 5? 2? 7 ? A. , ? B. 1, ? C. , ? 10 6 3 10 6 4 . 直 线 (a ? 1) x ? (a ? 1) y ? 2a ? 0 ( a ? R ) 与 圆 ) x ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 7 ? 0 的位置关系是( A.相切 B.相离 C.相交 D.不确定
2

图像的
4 ? D. , ? 5 3
Input x If x ? 1
x

Then

y ? 2 ?1
Else

5.如果执行右面的算法语句输出结果是 2,则输入 是( ) A.0 B. ?1 或 2 C.2 D.0 或 2

y ? x2 ? x
End If Print y

的x值

6.若 ?ABC 的内角 A、B、C 满足 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4 ,则 cos B =( ) 15 3 15 3 11 A. B. C. D. 4 16 4 16 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7 .已知向量 a, b 满足 a ? 3, b ? 2 3 ,且 a ? a ? b ,则 b 在 a 方向上的投影为

?

?



) A.3 B. ?3 . C. ?
3 3 2

D.

3 3 2

8.某几何体的主视图与俯视图如图,主视图与 图相同,且图中的四边形都是边长为 2 的正方形,两 线互相垂直,则该几何体的体积为( )

左视 条虚

A.

20 3

B.

4 3

C.6

D .4

9.为了得到函数 y ? log 2 x ? 1 的图像,可将函数 y ? log 2 x 的图像上所有的点的 ( ) 1 A.纵坐标缩短为原来的 ,横坐标不变,再向右平移 1 个单位 2 1 B.纵坐标缩短为原来的 ,横坐标不变,再向左平移 1 个单位 2 C.横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,再向左平移 1 个单位 D.横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,再向右平移 1 个单位

?? 3 ? a ? x ? 2 ( x ? 2) ? 10 .已知函数 f ? x ? ? ? , ( a ? 0 ,且 a ? 1 ) ,若数列 ?an ? 满足 2 x2 ?9 x ?11 ( x ? 2) a ? ? ? ) an ? f ? n ? , ? n ? N ? ,且 ?an ? 是递增数列,则实数 a 的取值范围是(
A. ? 0,1?
?8 ? B. ? ,3 ? ?3 ?

C. ? 2,3?

D. ?1,3?

第Ⅱ卷

非选择题(共 100 分)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横 线上. 11.某商场在销售过程中投入的销售成本 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 3 4 6 7 销售成本 x(万元) 销售额 y (万元) 25 34 49 56 根据上表可得, 该数据符合线性回归方程:y ? bx ? 9 . 由此预测销售额为 100 万元时, 投入的销售成本大约为 ; 12.若函数 f ? x ? 在 R 上可导, f ? x ? ? x 3 ? x 2 f ? ?1? ,则 ? f ? x ?dx ? ______;
0 2

13.如果长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的顶点都在半径为 3 的球的球面上,那么该长 方体表面积的最大值等于_____________; 14.观察各式: a ? b ? 1, a 2 ? b 2 ? 3, a 3 ? b3 ? 4, a 4 ? b 4 ? 7, a 5 ? b5 ? 11,? ,则依次类推
可得 a ? b
10 10

?



15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 评阅记分) 4 16 A. (选修 4—5 不等式选讲)若 x 、 y 为正整数,且满足 ? ? 1 ,则 x ? y 的最 x y

小值为_________; B.(几何证明选做题)如图, AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上, CD ? AB ,垂 足为 D ,且 AD ? 5DB ,设 ?COD ? ? ,则 tan ? 的值为 _________; C . ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 圆 O1 和 圆 O2 的 极 坐 标 方 程 分 别 为

? ? 4 cos ? , ? ? ?4sin ? ,则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为_________.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的各项都是正数,前 n 项和是 S n ,且点

? an , 2Sn ? 在函数 y ? x 2 ? x 的图像上. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;
(Ⅱ)设 bn ?
1 , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求 Tn . 2Sn

17.(本小题满分 12 分)已知锐角 ?ABC 中的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,定 ?? ? ?? ? ? B ? 义向量 m ? 2sin B, 3 , n ? ? 2 cos 2 ? 1, cos 2 B ? ,且 m ? n . 2 ? ? (Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)如果 b ? 4 ,求 ?ABC 的面积的最大值.

?

?

18 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 直 三 棱 柱 ABC ? A? B?C ? , ?BAC ? 90? , AB ? AC ? ? AA?, 点 别为 A?B 和 B?C ? 的中点. (Ⅰ)证明: MN ∥平面 A?ACC ? ; (Ⅱ)若二面角 A? ? MN ? C A 为直二面角,求 ?

M,N 分

的值.

19.(本小题满分 12 分)有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于或等于 85 分 为优秀,85 分以下为非优秀统计成绩后,得到如下的 2 ? 2 列联表:已知从全部 210 2 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 . 优秀 非优秀 总计 7 (Ⅰ)请完成上面的 2 ? 2 列联表,并判断若按 99% 甲班 20 60 乙班 的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关”; 210 合计 (Ⅱ)从全部 210 人中有放回抽取 3 次,每次抽取 1 人,记被抽取的 3 人中的优秀人数为 ? ,若每次抽取的结果是相互独立的,求 ? 的分 布列及数学期望 E? .

20.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ax 2 ? 1 ( a ? 0 ) , g ( x) ? x 3 ? bx . (Ⅰ)若曲线 y ? g ( x) 与 y ? g ( x) 在它们的交点 (1, c) 处具有公共切线,求 a, b, c 的 值; (Ⅱ)当 a 2 ? b ? 0 时,求函数 f ( x) ? g ( x) 在区间 ? ??, ?1? 上的最大值.

21.(本小题满分 14 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,其左、右 焦点分别为 F1 、 F2 ,短轴长为 2 3 ,点 P 在椭圆 C 上,且满足 ?PF1 F2 的周长为 6. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; ; (Ⅱ)设过点 ? ?1, 0 ? 的直线与椭圆相交于 A、B 两点,试问在 x 轴上是否存在一 ???? ???? 个定点 M 使 MA ? MB 恒为定值?若存在求出该定值及点 M 的坐标,若不存在请说明 理由.
2013 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第十二次适应性训练

数 学(理科) 第Ⅰ卷 选择题(共 50 分)
一、选择题: 1.C 2.A 3.A 4.C 5.D 6.D 7.B 8.A 9.A 10.C

三、解答题: 11.10.9 C. y ? x ? 2 三、解答题:

12 . ?4

13.72

14 .123

15 .A.36

B.

5 2

16.解: (Ⅰ)依题意: 2 S n ? an 2 ? an 得
2 S n ?1 ? an ?12 ? an ?1 , 2a1 ? a12 ? a1 ? 2an ?1 ? an ?12 ? an 2 ? an ?1 ? an , a1 ? 1

即 an ?12 ? an 2 ? an ?1 ? an ? 0 3分

所以 ? an ?1 ? an ? ? ? an ?1 ? an ? 1? ? 0

? an ? 0
(Ⅱ)? S n ?

? an ?1 ? an ? 1
n ? n ? 1? 2

所以 an ? n

6分 9分

? bn ?

1 1 1 ? ? n ? n ? 1? n n ? 1
12 分

所以

1 1 1 1 1 1 n Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1

?? ? 17.解: (Ⅰ)? m ? n

?? ????? ? ?m ? n ? 0
所以 2sin B ? cos B ? 3 cos 2 B ? 0

B ? ? 即 2sin B ? ? 2sin 2 ? 1? ? 3 cos 2 B ? 0 2 ? ?
?

sin 2 B ? 3 cos 2 B ? 0

?? ? 则 2sin ? 2 B ? ? ? 0 3? ?
3分

?? ? 即 sin ? 2 B ? ? ? 0 3? ?
?0 ? B ?

?
2

?

? ? 4? ? 2B ? ? 3 3 3

则 2B ?

?
3

? ? ,所以 B ?

? 3

6分

(Ⅱ)? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B ? b 2
? ac ? 16

? a 2 ? c 2 ? ac ? 16

所以 S ?ABC ?

1 1 ac sin B ? 3ac ? 4 3 2 4
12 分

所以 ( S ?abc ) max ? 4 3

18.解: (Ⅰ)分别取 A?C ?, A?A 的中点 P, Q ,再连结 MQ, NP, PQ ,则有

PN //

1 1 1 1 A?B?, PN ? A?B? , MQ // A?B?, MQ ? A?B? ,所以 PN // MQ, PN ? MQ 2 2 2 2
4分

则四边形 MNPQ 为平行四边形,所以 MN // PQ ,则 MN ∥平面 A?ACC ?

(Ⅱ)分别以 AB, AC , AA? 所在直线为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系(如图)

????? ???? ? ???? ? 设 AA? ? 2 , 则 A?M ? ? ? ,0, ?1? , MN ? ?0, ?,1 ?, CM ? ? ?, ?2 ?,1 ? , 所以平面 A?MN 的 ?? ?? ? 一个法向量 n1 ? ?1, ?1, ? ? ,平面 MNC 的一个法向量 n2 ? ? 3,1, ?? ? ,

?? ?? ? 因为二面角 A? ? MN ? C A 为直二面角,所以 n1 ? n2 ? 0 ,则有 ? ? 2
19.解: (Ⅰ) 优秀 非优秀 总计 甲班 20 90 110 乙班 40 60 100 合计 60 150 210

12 分

? 2 ? 12.2 所以按照 99%的可靠性要求,能够判断成绩与班级有关

6分

?2? ? 2? (Ⅱ) ? ? B ? 3, ? , 且 P ?? ? k ? ? C3k ? ? ?7? ? 7?

k

?5? ?? ? ?7?

3? k

, ? k ? 0,1, 2,3? , ? 的分布列为

?
P
E? ? 3 ? 2 6 ? 7 7

0

1

2

3

125 343

150 343

60 343

8 343
12 分

20.解: (Ⅰ)? f ? ? x ? ? 2ax, g ? ? x ? ? 3x ? b
2

? 2a ? 3 ? b ? ?? a ?1 ? c ? b ?1 ? c ?

?a ? 3 ? ? ?b ? 3 ?c ? 4 ?

4分 (Ⅱ)令 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x 3 ? ax 2 ? bx ? 1
a? ? ? h? ? x ? ? 3x 2 ? 2ax ? b ? 3x 2 ? 2ax ? a 2 ? 3 ? x ? ? ? x ? a ? 3? ?
?a ? 0

a? ?a ? ? ? h ? x ? 在 ? ??, ?a ? , ? , ?? ? 上单调递增,在 ? ?a, ? 上单调递减 3? ?3 ? ?

又? x ? ?1
? (1)当 ?a ? ?1 即 a ? 1 时, h ? x ?max ? h ? ?a ? ? a 3 ? a 3 ? ba ? 1 ? a 3 ? 1

(2)当 ?a ? ?1 即 0 ? a ? 1 时, h ? x ?max ? h ? ?1? ? ?1 ? a ? b ? 1 ? a 2 ? a 13 分

? 2b ? 2 3 ? 21.解: (Ⅰ)? ? 2a ? 2c ? 6 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?

?a 2 ? 4 ?? 2 ?b ? 3

所以椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3
4分

(Ⅱ)假设存在这样的定点 M ? x0 , 0 ? ,设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , AB 直线方程为

x ? my ? 1
???? ???? 则 MA ? MB ? ? x1 ? x0 , y1 ? ? ? x2 ? x0 , y2 ? ? ? my1 ? 1 ? x0 , y 1 ? ? ? my2 ? 1 ? x0 , y2 ?
= m 2 ? 1 y 1 y 2 ?m ?1 ? x0 ?? y1 ? y2 ? ? ?1 ? x0 ?

?

?

2

? x ? my ? 1 联立 ? 2 2 ?3 x ? 4 y ? 12

消去 x 得 ? 3m 2 ? 4 ? y 2 ? 6my ? 9 ? 0

y1 ? y2 ?

6m ?9 , y1 y2 ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4

???? ???? ? ? 5 ? 2 x0 ? ? 3m 2 ? 4 ? ? 11 ? 8 x0 11 ? 8 x MA ? MB ? ? x0 2 ? 4 ? 2 0 2 3m ? 4 3m ? 4
令 11 ? 8 x0 ? 0 即 x0 ? ?

11 8

???? ???? 135 , MA ? MB ? ? 64

???? ???? 135 ? 11 ? 当 AB ? y 轴时,令 A ? ?2, 0 ? , B ? 2, 0 ? , M ? ? , 0 ? ,仍有 MA ? MB ? ? 64 ? 8 ? ???? ???? 135 ? 11 ? 所以存在这样的定点 M ? ? , 0 ? ,使得 MA ? MB ? ? 64 ? 8 ?
13 分


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