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2015-2016学年人教A版选修2-3 第二章 随机变量及其分布 单元测试1 (1)


2015-2016 学年人教 A 版选修 2-3 第二章 及其分布 单元测试

随机变量

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题中 只有一项符合题目要求) 1.已知随机变量 ξ 的概率分布列如下: ξ P 1 2 3 2 2 32 3 2 33 ) 2 B.310 1 D.310 C P(ξ = 10) = 1- P(ξ = 1) - P(ξ = 2) - P(ξ = 3) - ?- P(ξ = 9) 4 2 34 5 2 35 6 2 36 7 2 37 8 2 38 9 2 39 10 m

则 P(ξ=10)等于( 2 A.39 1 C.39 答案 解析

2 2 2 1 =1-3-32-?-39=39. 2.某产品 40 件,其中有次品数 3 件,现从中任取 2 件,则其中 至少有一件次品的概率是( A.0.146 2 C.0.996 2 答案 A ) B.0.153 8 D.0.853 8

2 37×36 C37 解析 所求的概率为 1-C2 =1- =0.146 2. 40×39 40

3.已知离散型随机变量 ξ 的概率分布如下: ξ 1 3 5

P 则其数学期望 E(ξ)等于( A.1 C.2+3m 答案 D

0.5 )

m

0.2

B.0.6 D.2.4

解析 ∵0.5+m+0.2=1,∴m=0.3. ∴E(ξ)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4. 1 4.已知随机变量 X 服从二项分布 X~B(6,3),则 P(X=2)等于 ( ) 13 A.16 13 C.243 答案 解析 D 80 2 2 4 1 2 P(X=2)=C6 · (3) · (3) =243. ) 4 B.243 80 D.243

5.投掷 3 枚硬币,至少有一枚出现正面的概率是( 3 A.8 5 C.8 答案 解析 D 1 B.2 7 D.8

1 7 P(至少有一枚正面)=1-P(三枚均为反面)=1-(2)3=8.

2 6.在比赛中,如果运动员 A 胜运动员 B 的概率是3,那么在五次 比赛中运动员 A 恰有三次获胜的概率是( 40 A.243 80 B.243 )

110 C.243 答案 B

20 D.243

23 2 2 80 解析 所求概率为 C3 5( ) ×(1- ) = 3 3 243. 7.如果随机变量 ξ 表示抛掷一个各面分别有 1,2,3,4,5,6 的均匀的 正方体向上面的数字,那么随机变量 ξ 的均值为( A.2.5 C.3.5 答案 解析 C 1 P(ξ=k)=6(k=1,2,3,?,6), B.3 D.4 )

1 1 1 1 ∴E(ξ)=1×6+2×6+?+6×6=6(1+2+?+6) 1 6×?1+6? =6×[ ]=3.5. 2 8.

某个游戏中,一个珠子按如图所示的通道,由上至下的滑下,从 最下面的六个出口出来,规定猜中者为胜,如果你在该游戏中,猜得 珠子从口 3 出来,那么你取胜的概率为( 5 A.16 1 C.6 5 B.32 D.以上都不对 )

答案

A

解析 由于珠子在每个叉口处有“向左”和“向右”两种走法, 因而基本事件个数为 25.而从出口出来的每条线路中有 2 个“向右”和 3 个“向左”,即共
2 C5 2 C5条路线,故所求的概率为 5 =

2

5 16.

9.已知离散型随机变量 ξ 的分布列为 ξ P 则 D(3ξ-3)等于( A.42 C.402 答案 D ) B.135 D.405 10 0.6 20 a 30 1 a 4-2

10. 设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1), P(ξ>1)=p, 则 P(-1<ξ<0) 等于( 1 A.2p C.1-2p 答案 D ) B.1-p 1 D.2-p

解析 由于随机变量服从正态分布 N(0,1),由标准正态分布图像 可得 P(-1<ξ<1)=1-2P(ξ>1)=1-2p. 1 1 故 P(-1<ξ<0)=2P(-1<ξ<1)=2-p. 11.一个电路如图所示,A、B、C、D、E、F 为 6 个开关,其闭 1 合的概率为2,且是相互独立的,则灯亮的概率是( )

1 A.64 1 C.8 答案 B

55 B.64 1 D.16

解析 设 A 与 B 中至少有一个不闭合的事件为 T,E 与 F 至少有 1 1 3 一个不闭合的事件为 R,则 P(T)=P(R)=1-2×2=4,所以灯亮的概 55 率为 P=1-P(T)· P(R)· P( C )· P( D )=64. 12.利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是( )

A.A1 C.A3 答案 C

B.A2 D.A4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填 在题中横线上) 13.设随机变量 ξ 只能取 5,6,7,?,14 这 10 个值,且取每一个 值的概率均相等,则 P(ξ≥10)=______;P(6<ξ≤14)=________. 2 4 答案 5,5 1 解析 由题意 P(ξ=k)=10(k=5,6,?,14), 1 5 1 4 P(ξ≥10)=4×10=5.P(6<ξ≤14)=8×10=5. 14.甲、乙同时炮击一架敌机,已知甲击中敌机的概率为 0.6,乙 击中敌机的概率为 0.5,敌机被击中的概率为________. 答案 0.8 解析 P(敌机被击中)=1-P(甲未击中敌机)P(乙未击中敌机)=1

-(1-0.6)(1-0.5)=1-0.2=0.8. 15.如果随机变量 ξ 服从 N(μ,σ),且 E(ξ)=3,D(ξ)=1,那么 μ =________,σ=________. 答案 3,1 解析 ∵ξ~N(μ,σ),∴E(ξ)=μ=3,D(ξ)=σ2=1,∴σ=1. 16.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手 若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选 手正确回答每个问题的概率都是 0.8,且每个问题的回答结果相互独 立, 则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于________. 答案 0.128 解析 此选手恰好回答 4 个问题就晋级下一轮,说明此选手第 2 个问题回答错误,第 3、第 4 个问题均回答正确,第 1 个问题答对答 错都可以.因为每个问题的回答结果相互独立,故所求的概率为

1×0.2×0.82=0.128. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(10 分)一个口袋中有 5 个同样大小的球,编号为 3,4,5,6,7, 从中同时取出 3 个小球,以 ξ 表示取出的球的最小号码,求 ξ 的分布 列. 解析 ξ 的取值分别为 3,4,5,

C2 1 C2 3 C2 3 2 3 4 P(ξ=5)=C3=10,P(ξ=4)=C3=10,P(ξ=3)=C3=5, 5 5 5 所以 ξ 的分布列为 ξ P 3 3 5 4 3 10 5 1 10

18.(12 分)某校从学生会宣传部 6 名成员(其中男生 4 人,女生 2 人)中, 任选 3 人参加某省举办的“我看中国改革开放三十年”演讲比 赛活动. (1)设所选 3 人中女生人数为 ξ,求 ξ 的分布列; (2)求男生甲或女生乙被选中的概率; (3)设“男生甲被选中”为事件 A,“女生乙被选中”为事件 B, 求 P(B)和 P(B|A). 解析
3 C4 1 (1)ξ 的所有可能取值为 0,1,2,依题意得 P(ξ=0)=C3=5, 6

2 1 1 2 C4 C2 3 C4 C2 1 P(ξ=1)= C3 =5,P(ξ=2)= C3 =5. 6 6

∴ξ 的分布列为 ξ P 0 1 5 1 3 5 2 1 5

(2)设“甲、乙都不被选中”为事件 C,
3 C4 4 1 则 P(C)=C3=20=5. 6

1 4 ∴所求概率为 P( C )=1-P(C)=1-5=5.
2 C5 10 1 C1 4 2 4 (3)P(B)=C3=20=2;P(B|A)=C2=10=5. 6 5

19.(12 分)甲、乙两人各进行 3 次射击,甲每次击中目标的概率 1 2 为2,乙每次击中目标的概率为3. (1)记甲击中目标的次数为 X, 求 X 的概率分布列及数学期望 E(X); (2)求乙至多击中目标 2 次的概率; (3)求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率. 解析 (1)X 的概率分布列为 X P 0 1 8 1 3 8 2 3 8 3 1 8

1 3 3 1 E(X)=0×8+1×8+2×8+3×8=1.5 或 1 E(X)=3×2=1.5. 19 3 2 3 (2)乙至多击中目标 2 次的概率为 1-C3 (3) =27. (3)设甲恰好比乙多击中目标 2 次为事件 A,甲恰击中目标 2 次且 乙恰击中目标 0 次为事件 B1,甲恰击中目标 3 次且乙恰击中目标 1 次 为事件 B2,则 A=B1+B2,B1、B2 为互斥事件, 3 1 1 2 1 P(A)=P(B1)+P(B2)=8×27+8×9=24. 20. (12 分)老师要从 10 篇课文中随机抽 3 篇让学生背诵, 规定至 少要背出其中 2 篇才能及格,某同学只能背诵其中的 6 篇,试求:

(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列; (2)他能及格的概率. 解析 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为 X,则 X 为离散型随机

变量,且 X 服从超几何分布,它的可能取值为 0,1,2,3,
3 C0 1 6C4 当 X=0 时,P(X=0)= C3 =30, 10 2 C1 3 6C4 当 X=1 时,P(X=1)= C3 =10, 10 1 C2 1 6C4 当 X=2 时,P(X=2)= C3 =2, 10 0 C3 1 6C4 当 X=3 时,P(X=3)= C3 =6, 10

则可得 X 的分布列为 X P (2)他能及格的概率为 1 1 2 P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=2+6=3. 21.(12 分)甲、乙两射击运动员进行射击比赛,射击相同的次数, 已知两运动员射击的环数 X 稳定在 7,8,9,10 环.他们的这次成绩画成 频率分布直方图如下图所示: 0 1 30 1 3 10 2 1 2 3 1 6

(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中 8 环的概率 P(X 乙=8),并求甲、乙同时击中 9 环以上(包括 9 环)的概率; (2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高. 解析 (1)由图可知:

P(X 乙=7)=0.2,P(X 乙=9)=0.2, P(X 乙=10)=0.35. 所以 P(X 乙=8)=1-0.2-0.2-0.35=0.25. 同理 P(X 甲=7)=0.2,P(X 甲=8)=0.15, P(X 甲=9)=0.3. 所以 P(X 甲=10)=1-0.2-0.15-0.3=0.35. 因为 P(X 甲≥9)=0.3+0.35=0.65, P(X 乙≥9)=0.2+0.35=0.55. 所以甲、乙同时击中 9 环以上(包含 9 环)的概率为 P=P(X 甲≥9)· P(X 乙≥9)=0.65×0.55=0.357 5. (2)因为 E(X 甲)=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8, E(X 乙)=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7, E(X 甲)>E(X 乙),所以估计甲的水平更高. 22.(2012· 陕西)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业 务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需 的时间统计结果如下: 办理业务所需的时间(分) 频率 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1

从第一个顾客开始办理业务时计时. (1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (2)X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列

及数学期望. 解析 设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得 Y 的分布列如下: Y P 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1

(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”,则 事件 A 对应三种情形:①第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟, 且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟;②第一个顾客办理业务 所需的时间为 3 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟; ③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟. 所以 P(A)= P(Y = 1)P(Y = 3)+ P(Y = 3)P(Y = 1)+ P(Y = 2)P(Y = 2) =0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22. (2)方法一 X 所有可能的取值为 0,1,2.

X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟, 所以 P(X=0)=P(Y>2)=0.5; X=1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客 办理业务所需的时间超过 1 分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间 为 2 分钟,所以 P(X=1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y=2)=0.1×0.9+0.4= 0.49; X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟, 所以 P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01. 所以 X 的分布列为: X P 0 0.5 1 2

0.49 0.01

E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51. 方法二 X 的所有可能取值为 0,1,2.

X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟,所以 P(X =0)=P(Y>2)=0.5; X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟,所以 P(X= 2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01; P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=0.49. 所以 X 的分布列为: X P 0 0.5 1 2

0.49 0.01

E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.


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