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福建省漳州市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理


漳州一中 2015~2016 学年第一学期期末考 高二年数学(理)科试卷
考试时间:120 分钟 满分:150 分

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知函数 f ( x ) 在 x ? c 处的导数存在.则“ c 为函数 f ( x ) 的极 值点”是“ f

?(c) ? 0 ” 成立的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 2.三棱锥 O ? ABC 中, M , N 分别是 AB, OC 的中点,且 OA ? a ,

??? ?

?

O

??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ???? ? ???? ? OB ? b , OC ? c ,用 a , b , c 表示 MN ,则 MN 等于 1 ? ? ? 1 ? ? ? A. (? a ? b ? c) B. ( a ? b ? c ) 2 2 ? ? ? 1 1 ? ? ? C. ( a ? b ? c ) D. (? a ? b ? c ) 2 2 3.在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, M , N 分别为 A 1 B1 , BB1 的中点,则异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为 2 3 3 10 A. B. C. D. 5 5 2 10 4.在下列双曲线中 ,渐近线方程为 y ? ?2 x 的是

N
A M B M D N

C

D1

C1 B1
C

A1

A B 2 2 2 y x y x2 2 2 2 2 A. x ? B. C. x ? D. ?1 ? y ?1 ?1 ? y ?1 4 4 2 2 5.已知 P 为抛物线 y ? 2 x2 上的点,若点 P 到直线 l : 4 x ? y ? 6 ? 0 的距离最小,则点 P
的坐标为 A. (2,1) B. (1, 2)
2 2

C. (1, 2)

D. (4,1)

6.已知点 O 和 F 分别为椭圆 C : 点,则 OP ? FP 的最大值为 A. 2 B. 3
3

??? ? ??? ?

x y ? ? 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆 C 上的任意一 4 3
C. 6 D. 8

7.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 1(a ? R ) ,则下列结论正确的是 A. ?a ? R, f ( x ) 是偶函数 B. ?a ? R, f ( x ) 是奇函数 C. ?a ? R, f ( x ) 在 R 上是增函数
1

D. ?a ? R, f ( x ) 在 R 上是增函数 8.若函数 f ( x) ? ax ? ln x 在区间 (1, ??) 上单调递增,则实数 a 的取值范围为 A. ? ??, ?2? B. ? ??, ?1? C. ?2, ??? D. ?1, ?? ?

9.设 a ?

ln 3 ln 4 ln 5 ,b ? ,c ? ,则 a、b、c 的大小关系为 3 4 5 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. b ? c ? a
y 0.5.
. . . .

D. b ? a ? c

10.若函数 f ( x) ? axm (?? x)n 在区间 ?0,1? 上的 图像如右图所示,则 m , n 的值可能是 A. m ? 1 , n ? 1 B. m ? 1 , n ? 2 C. m ? 2 , n ? 1 D. m ? 3 , n ? 1

O

.... . . . . . .

0.5

1

x

11.已知 f ( x ) 的定义域为 R,对于给定的 K ? 0 ,定义 f k ( x) ? ? 若函数 f ( x) ? x ? e x ? 2 对 ?x ? R,都有 f k ( x) ? f ( x) ,则 A. K 的最大值为 2 C. K 的最大值为 1 取值范围为 A. (??,3)

? f ( x) ( f ( x) ? K ), , ( f ( x) ? K ) ?K

B. K 的最小值为 2 D. K 的最小值为 1

12.已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 4 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,则实数 a 的 B. (??,1) C. (?1, ??) D. (?3, ??)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若 m ? (?, 2,3) 和 n ? (1, ?3,1) 分别为平面 ? 和平面 ? 的一个法向量,且 ? ? ? ,则 实数 ? ?
x

??

?

. .

14.若函数 f ( x) ? e ? ax 存在大于零的极值点,则实数 a 的取值范围为 15.已知双曲线 C :
3

x2 y 2 ? ? 1的左焦点为 F , P 为双曲线 C 右支上的动点, A(0, 4) , 4 5


16.已知 f ( x) ? x ? 3x ? m ,若在区间 ? 0, 2? 上任取三个数 a 、 b 、 c ,均存在以 f ( a ) 、

则△ PAF 周长的最小值为

f (b) 、 f (c) 为边长的三角形,则实数 m 的取值范围为



2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)

? ? x ? a ? 3t , ( t 为参数) . 在极坐标系 (以 ? ?y ? t 原点 O 为极点, 以 x 轴非负半轴为极轴, 且与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位) 中, 圆 C 的方程为 ? ? 4cos ? . (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与圆 C 相切,求实数 a 的值.
在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ?

18. (本小题满分 12 分) 某商场销售一种商品,已知该商品每件成本为 6 元,若每件售价为 x 元 ( x ? 6) ,则年 销售量 W ( 万件 ) 与每件售价 x ( 元 ) 之间满足关系式:W ? kx ? 21x ? 18 ,且当每
2

件售价为 10 元时,年销售量为 28 万件. (Ⅰ)试确定 k 的值,并求该商场的年利润 f ( x ) 关于售价 x 的函数关系式; (Ⅱ)试确定售价 x 的值,使年利润 f ( x ) 最大,并求出最大年利润.

3

19. (本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? AA1 ? 4 , AB ? 3 , AB ? AC . (Ⅰ)求证: AC ? 平面 ABC1 ; 1 (Ⅱ)求二面角 A ? BC1 ? A1 的平面角的余弦值.

A1 C1
A

B1

B

C
20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : x2 ? 4 y 的焦点为 F ,过点 D(0, ?1) 的直线 l 与抛物线 C 交于不同的

A、B 两点.
(Ⅰ)若 AB ? 4 3 ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)记 FA 、 FB 的斜率分别为 k1 、 k2 ,试问:

y

B

k1 ? k2 的值是否随直线 l 位置的变化而变化?
证明你的结论.

F

A

O
D

x

4

21. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,离心率 e ? , 2 a b 2 P 为椭圆 E 上的任意一点(不含长轴端点) 2 ,且△ PF 1F 2 面积的最大值为 . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设直线 l : x ? my ? 1(m ?R ) 交椭圆 E 于 A 、 B 两点,试探究:点 M (3,0) 与以 线段 AB 为直径的圆的位置关系,并证明你的结论. y P B
已知椭圆 E :

F1

O
A

F1

x

22. (本小题满分 12 分)

1 2 ax ? (a ? 1) x ( a ? R ) . 2 (Ⅰ)当 a ? ?1 时,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)对于曲线上的不同两点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) ,如果存在曲线上的点 M ( x0 , y0 ) , 且 x1 ? x0 ? x2 ,使得曲线在点 M 处的切线 l ∥ AB ,则称直线 AB 存在“伴随
已知函数 f ( x) ? ln x ?

x1 ? x 2 时,又称直线 AB 存在“中值伴随切线”. 2 试问:在函数 y ? f ( x) 的图象上是否存在两点 A、B ,使得直线 AB 存在“中 值伴随切线”?若存在,求出 A、B 的坐标;若不存在,请说明理由.
切线” .特别 地,当 x 0 ?

5

漳州一中 2015~2016 学年第一学期期末考 高二年数学(理)科评分标准 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 A 5 B 6 C 7 C 8 D 9 A 10 B 11 D 12 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 3 14. (1, ??) 15. 14 16. (6, ??)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.解析: (Ⅰ)由 ? ? 4cos? ? ? 2 ? 4? cos? ? x2 ? y 2 ? 4x ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 , ∴圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 (或 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ) ; ????4 分

(Ⅱ)直线 l 的参数方程为 ?

? ? x ? a ? 3t , ? x ? 3 y ? a ? 0 ,????????6 分 ? ?y ? t ∵圆 C 的圆心为 C (2, 0) ,半径 r ? 2 , ???????????8 分
由直线 l 与圆 C 相切,得

? 2 ? a ? ?2 或 6 . ???????????10 分 1? 3 18.解析: (Ⅰ)由已知,当 x ? 10 时, W ? 28 ,求得 k ? ?2 , ????????2 分 2 ∴ W ? ?2 x ? 21x ? 18 ,∴ y ? (?2 x2 ? 21x ? 18)( x ? 6) , 即 y ? f ( x) ? ?2x3 ? 33x2 ?108x ?108( x ? 6) ; ?????????????6 分 (Ⅱ)∵ f ?( x) ? ?6x2 ? 66x ?108 ? ?6( x ? 2)( x ? 9) , ???????8 分 ∵ x ? 6 ,∴当 6 ? x ? 9 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 9 时, f ?( x) ? 0 ; ∴函数 f ( x ) 在 (6,9) 上递增,在 (9, ??) 上递减, ???????????10 分 ∴当 x ? 9 时, ymax ? 135 , ????????????11 分 答:当售价为 9 元时,年利润最大,最大年利润为 135 万元. ???????12 分 AB ? 平面 ACC1 A1 , 19.解析: (Ⅰ)证法一:由已知 AA 1 ? AB ,又 AB ? AC ,∴
????????????2 分 ∴ AC ? AB ,又 AC ? AA1 ? 4 ,∴ AC ? AC1 , ????????????4 分 1 1 ∴ AC ? 平面 ABC1 ; 1 ???????????5 分 证法二:由已知条件可得 AA 、AB、AC 两两互相垂直,因此取以 A 为原点,以 1

2?a

AC、AB、AA1 所在的直线分别为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标系 A ? xyz ,
?????????????????1 分 z 则 A(0, 0, 0) , B(0,3, 0) , C (4,0,0) , A 1 (0,0, 4) ,

A1

B1

6

C1
A

???? ??? ? , C1 (4,0, 4) ,∴ AC AB ? (0,3,0) , ? (4,0, ? 4) 1 ???? ? ????????3 分 AC1 ? (4,0, 4) , ???? ??? ? ∵ AC 1 ? AB ? (4,0, ?4) ? (0,3,0) ? 0 , ???? ???? ? 且 AC ? AC 1 1 ? (4,0, ?4) ? (4,0,4) ? 0 ,??4 分 ???? ??? ? ???? ???? ? ∴ AC ,且 ? AB AC ? AC 1 1 1, ∴ AC ? 平面 ABC1 ; ????????6 分 1 ???? ? ???? (Ⅱ)∵ AC 1 1 ? (4,0,0) , BA 1 ? (0, ?3,4) , ?? 设 m ? ( x, y, z) ? 平面 A1BC1 , ?? ???? ? ? ?? ?m ? A1C1 ? 0, ?4 x ? 0, ?? 则 ? ?? ???? ,取 y ? 4 ,∴ m ? (0,4,3) ; ??????8 分 ??3 y ? 4 z ? 0 ? ?m ? BA1 ? 0 ???? 由(Ⅰ)知, AC ? (4,0, ?4) 为平面 ABC1 的法向量, ??????????9 分 1 设二面角 A ? BC1 ? A1 的大小为 ? ,由题意可知 ? 为锐角, ?? ???? m ? AC ?? ???? 1 12 3 2 ∴ cos ? ? cos ? m, AC . ????????11 分 ? ? ?? ???? ? ? 1 10 5 ? 4 2 m ? AC 1
3 2 . 10 20 .解析: (Ⅰ)根据题意,可设 l : y ? kx ? 1 ,
即二面角 A ? BC1 ? A1 的余弦值为
2

????????12 分 ????????????1 分 ???2 分

2 代入 x2 ? 4 y 得: x ? 4kx ? 4 ? 0 ,令△ ? 16k ?16 ? 0 ? k ? 1 ,

设 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) ,∴ x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? 4 ,
2 2 2 2

??????????3 分

∴ AB ? (1 ? k )( x1 ? x2 ) ? (1 ? k ) ? ?( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ?

? (1 ? k 2 )(16k 2 ? 16) ? 4 k 4 ? 1 ,????????????????5 分
∵ AB ? 4 3 ,∴ k 4 ?1 ? 3 ? k ? ? 2 ? (??, ?1) ?(1, ??) , ??????6 分 ∴ l : y ? ? 2x ?1 ; ?????????????????????????7 分 (Ⅱ)∵ F (0,1) ,∴ k1 ? k2 ?

y1 ? 1 y2 ? 1 x2 ( y1 ? 1) ? x1 ( y2 ? 1) ? ? x1 x2 x1 x2 x (kx ? 2) ? x1 (kx2 ? 2) 2kx1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) 8k ? 8k ? 2 1 ? ? ? 0 , ?????11 分 x1 x2 x1 x2 4 ∴ k1 ? k2 的值不随直线 l 位置的变化而变化. ?????????????12 分
1 ? 2c ? b ? bc ? 2 , 2
?????1 分

21.解法一: (Ⅰ)由已知有 ( S ?PF1F2 ) max ?

7

2 ? a ? 2c ,又 a 2 ? b2 ? c2 ,∴ b ? c ? 2 ,∴ a ? 2 , ????3 分 2 x2 y 2 ∴椭圆 E 的方程为 ???????????????4 分 ? ? 1; 4 2 (Ⅱ)设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 的中点为 H ( x0 , y0 ) ,
∵e ? 由?

? x ? my ? 1,
2 2

?x ? 2 y ? 4 ?2 m ?3 ?m ∴ y1 ? y2 ? 2 , y1 y2 ? 2 ,∴ y0 ? 2 , ??????????6 分 m ?2 m ?2 m ?2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ MH ? ( x0 ? 3) ? y0 ? (my0 ? 2) ? y0 ? (m ? 1) y0 ? 4my0 ? 4 , ???7 分
2 2 ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? AB ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 (1 ? m2 )( y1 ? y2 )2 (1 ? m ) ? ? ? ? ? ? 4 4 4 4 2 2 , ?????????????????????? 9分 ? (1 ? m )( y0 ? y1 y2 )

? (m2 ? 2) y 2 ? 2my ? 3 ? 0 ,??????????????5 分

AB AB 5m2 ? 5 ∴ MH ? , ? ?4my0 ? 4 ? (1 ? m2 ) y1 y2 ? ? ? 2 ? 0 ,∴ MH ? 2 4 m ?2 因此,点 M (3,0) 在以线段 AB 为直径的圆外.??????????????12 分 解法二: (Ⅰ)同解法一; (Ⅱ)设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,
2

2

由?

? x ? my ? 1, ?x ? 2 y ? 4
2 2

∴ y1 ? y2 ? ? (m2 ? 2) y 2 ? 2my ? 3 ? 0 ,

?2 m ?3 ,y1 y2 ? 2 , 2 m ?2 m ?2

??? ? ???? ??? ? ???? ∵ MA ? ( x1 ? 3, y1 ) , MB ? ( x2 ? 3, y2 ) ,∴ MA ? MB ? ( x1 ? 3, y1 ) ? ( x2 ? 3, y2 )
2

???????????6 分

5m2 ? 5 ? (m ? 1) y1 y2 ? 2m( y1 ? y2 ) ? 4 ? ? ? 2 ? 0 , ?????10 分 m ?2 ???? ???? ???? ???? ∴ cos ? MA, MB) ? 0 ,又 MA, MB 不共线,∴ ?AMB 为锐角,??????11 分 因此,点 M (3,0) 在 以 AB 为直径的圆外. ??? ???????????12 分 1 22.解析: (Ⅰ) f ?( x) ? ? ax ? a ? 1 ??????????????????1 分 x ?ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 (ax ? 1)( x ? 1) ? ?? ( x ? 0) , ?????????????2 分 x x ? f ?( x) ? 0 ? f ?( x) ? 0 ? (ax ? 1) ? 0 ,∴ ? ①当 a ? 0 时,∵ ? 0 ? x ?1; ? ? x ? 1, x ?x ? 0 ?x ? 0 ∴ f ( x ) 的增区间为 (0,1) ,减区间为 (1,??) ; ??????????????4 分 ? f ?( x) ? 0 1 1 ②当 ? 1 ? a ? 0 时,则 ? ? 1 ,∴ ? ? 0 ? x ?1或 x ? ? ; a a ?x ? 0
8

? f ?( x) ? 0 1 ?1? x ? ? , ? a ?x ? 0
1 1 , ??) ,减 区间为 (1, ? ) . ?????????6 分 a a (Ⅱ) 在函数 y ? f ( x) 的图像上不存在两点 A、B , 使得直线 AB 存在中值伴随切线, 假设存在两点 A( x1、y1 )、B( x2 , y2 ) ,不妨设 0 ? x1 ? x2 ,则 1 1 y1 ? ln x1 ? ax12 ? (a ? 1) x1 , y2 ? ln x2 ? ax2 2 ? (a ? 1) x2 , 2 2 1 (ln x2 ? ln x1 ) ? a ( x2 2 ? x12 ) ? (a ? 1)( x2 ? x1 ) y2 ? y1 2 ? ∵ k AB ? x2 ? x1 x2 ? x1 ln x2 ? ln x1 1 ?????????????7 分 ? ? a( x2 ? x1 ) ? (a ? 1) , x2 ? x1 2 x ? x2 x ? x2 ) 函数图像在 x0 ? 1 处的切线的斜率 k ? f ?( x0 ) ? f ?( 1 2 2 2 a ? ? (x1 ? x2 ) ? (a ? 1) , x1 ? x2 2 ln x2 ? ln x1 1 2 1 由 ? a( x2 ? x1 ) ? (a ? 1) ? ? a( x2 ? x1 ) ? (a ? 1) , ???8 分 x2 ? x1 2 x2 ? x1 2 x 2( 2 ? 1) x 2( x 2 ? x1 ) x1 ln x2 ? ln x1 2 化简得: , ln 2 ? , ? ? x2 x1 x 2 ? x1 x2 ? x1 x1 ? x2 ?1 x1
∴ f ( x ) 的增区间为 (0,1) 和 (? 令

x2 2(t ? 1) ,????????? ????????9 分 ? t ,则 t ? 1 ,则 ln t ? t ?1 x1

2(t ? 1) 1 4 (t ? 1) 2 (t ? 1) , g ?(t ) ? ? , ? t ?1 t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 由 t ? 1 ,得 g ?(t ) ? 0 ,∴ g (t ) 在 (1,??) 上单调递增, 2(t ? 1) 又 g (t ) 在 t ? 1 处连续, g (t ) ? g (1) ? 0 ,∴方程 ln t ? 在 t ? 1 上无解, t ?1
令 g (t ) ? ln t ? ??????????????????????????????????11 分 因此在函数 y ? f ( x) 的图像上不存在 A、B 两点,使得直线 AB 存在中值伴随切线. ??????????????????????????????????12 分

9


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