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人教版高中数学必修1课后习题答案


人教版高中数学必修 1 课后习题答案(第一章集合与函数概念)人教 A 版

习题 1.2(第 24 页)

练习(第 32 页) 1.答:在一定的范围内,生产效率随着工人数量的增加而提高,当工人数量达到某个数量时,生产效率达 到最大值, 而超过这个数量时, 生产效率随着工人数量的增加而降低. 由此可见, 并非是工人越多, 生产效率就

越高. 2.解:图象如下

[8,12] 是递增区间, [12,13] 是递减区间, [13,18] 是递增区间, [18, 20] 是递减区间.
3.解:该函数在 [?1,0] 上是减函数,在 [0, 2] 上是增函数,在 [2, 4] 上是减函数, 在 [4,5] 上是增函数. 4.证明:设 x1 , x2 ? R ,且 x1

? x2 ,

因为

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?2( x1 ? x2 ) ? 2( x2 ? x1 ) ? 0 ,

即 5.最小值.

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

所以函数

f ( x) ? ?2 x ? 1在 R 上是减函数.
练习(第 36 页)

1.解: (1)对于函数

f ( x) ? 2x4 ? 3x2 ,其定义域为 (??, ??) ,因为对定义域内 f (? x) ? 2(? x)4 ? 3(? x)2 ? 2x4 ? 3x2 ? f ( x) ,

每一个 x 都有 所以函数 (2)对于函数

f ( x) ? 2x4 ? 3x2 为偶函数; f ( x) ? x3 ? 2x ,其定义域为 (??, ??) ,因为对定义域内 f (? x) ? (? x)3 ? 2(? x) ? ?( x3 ? 2x) ? ? f ( x) ,

每一个 x 都有 所以函数

f ( x) ? x3 ? 2x 为奇函数;
f ( x) ? x2 ? 1 ,其定义域为 (??,0) ? (0, ??) ,因为对定义域内 x

(3)对于函数

每一个 x 都有

(? x) 2 ? 1 x2 ? 1 f ( ? x) ? ?? ? ? f ( x) , ?x x x2 ? 1 为奇函数; x

所以函数

f ( x) ?

(4)对于函数

f ( x) ? x2 ? 1 ,其定义域为 (??, ??) ,因为对定义域内 f (? x) ? (? x)2 ? 1 ? x2 ? 1 ? f ( x) ,

每一个 x 都有 所以函数

f ( x) ? x2 ? 1 为偶函数.

2.解:

f ( x) 是偶函数,其图象是关于 y 轴对称的; g ( x) 是奇函数,其图象是关于原点对称的.

习题 1.3(第 39 页) 1.解: (1)

函数在 ( ??, (2)

5 5 ) 上递减;函数在 [ , ??) 上递增; 2 2

函数在 2.证明: (1)设 x1

(?? , 0)

上递增;函数在 [0, ??) 上递减.

? x2 ? 0 ,而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x12 ? x22 ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) , ? 0, x1 ? x2 ? 0 ,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,

由 x1 ? x2 即

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以函数 f ( x) ? x2 ? 1 在 (??, 0) 上是减函数; ? x2 ? 0 ,而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
1 1 x1 ? x2 ? ? x2 x1 x1 x2


(2)设 x1

由 x1 x2 即

? 0, x1 ? x2 ? 0 ,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,
1 在 ( ??, 0) 上是增函数. x

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以函数 f ( x ) ? 1 ?

3.解:当 m ? 0 时,一次函数

y ? mx ? b 在 (??, ??) 上是增函数;

当 m ? 0 时,一次函数 令

y ? mx ? b 在 (??, ??) 上是减函数,


f ( x) ? mx ? b ,设 x1 ? x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? m( x1 ? x2 ) ,

当 m ? 0 时,m( x1 ? x2 ) ? 0 , 即 是增函数; 当 m ? 0 时,m( x1 ? x2 ) ? 0 , 即 是减函数.

f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 得一次函数 y ? mx ? b 在 (??, ??) 上 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 得一次函数 y ? mx ? b 在 (??, ??) 上

4.解:自服药那一刻起,心率关于时间的一个可能的图象为

x2 ? 162 x ? 21000 , 5.解:对于函数 y ? ? 50
, ? 4050 时, ymax ? 307050 (元) 1 2 ? (? ) 50 即每辆车的月租金为 4050 元时,租赁公司最大月收益为 307050 元. 当x

??

162

6.解:当 x 即

? 0 时, ? x ? 0 ,而当 x ? 0 时, f ( x) ? x(1 ? x) ,

f (? x) ? ? x(1 ? x) ,而由已知函数是奇函数,得 f (? x) ? ? f ( x) , ( x) ? ? x(1 ? x) ,即 f ( x) ? x(1 ? x) ,

得? f

所以函数的解析式为

? x(1 ? x), x ? 0 . f ( x) ? ? ? x(1 ? x), x ? 0
B组

1.解: (1)二次函数 则函数 且函数

f ( x) ? x2 ? 2x 的对称轴为 x ? 1 ,

f ( x) 的单调区间为 (??,1),[1, ??) , f ( x) 在 (??,1) 上为减函数,在 [1, ??) 上为增函数,

函数 g ( x) 的单调区间为 [2, 4] , 且函数 g ( x) 在 [2, 4] 上为增函数;

(2)当 x

? 1 时, f ( x)min ? ?1,

因为函数 g ( x) 在 [2, 4] 上为增函数,所以 g ( x)min

? g (2) ? 22 ? 2 ? 2 ? 0 .

2.解:由矩形的宽为 x

m ,得矩形的长为

30 ? 3 x m ,设矩形的面积为 S , 2
当x

则S

?x

30 ? 3x 3( x 2 ? 10 x) ?? , 2 2

? 5 时, Smax ? 37.5 m2 ,即宽 x ? 5 m 才能使
2

建造的每间熊猫居室面积最大,且每间熊猫居室的最大面积是 37.5 m . 3.判断 设 x1

f ( x) 在 (??, 0) 上是增函数,证明如下:

? x2 ? 0 ,则 ? x1 ? ? x2 ? 0 ,
f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数,得 f (? x1 ) ? f (? x2 ) , f ( x) 是偶函数,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

因为函数

又因为函数 所以

f ( x) 在 (??, 0) 上是增函数.
复习参考题(第 44 页) A组

1.解: (1)方程 x (2) 1 ?

2

? 9 的解为 x1 ? ?3, x2 ? 3 ,即集合 A ? {?3,3} ;

x ? 2 ,且 x ? N ,则 x ? 1, 2 ,即集合 B ? {1, 2};
2

(3)方程 x

? 3x ? 2 ? 0 的解为 x1 ? 1, x2 ? 2 ,即集合 C ? {1, 2} .

2.解: (1)由 PA

? PB ,得点 P 到线段 AB 的两个端点的距离相等,

即 {P | PA ?

PB} 表示的点组成线段 AB 的垂直平分线;

(2) {P | PO ? 3cm} 表示的点组成以定点 O 为圆心,半径为 3cm 的圆. 3.解:集合 {P | PA ? 集合 {P | PA ? 得 {P | PA ?

PB} 表示的点组成线段 AB 的垂直平分线, PC} 表示的点组成线段 AC 的垂直平分线,

PB} ? {P | PA ? PC}的点是线段 AB 的垂直平分线与线段 AC 的

垂直平分线的交点,即 ?ABC 的外心.

4.解:显然集合 当a

A ? {?1,1} ,对于集合 B ? {x | ax ? 1} ,

? 0 时,集合 B ? ? ,满足 B ? A ,即 a ? 0 ; 1 1 1 当 a ? 0 时,集合 B ? { } ,而 B ? A ,则 ? ?1 ,或 ? 1 , a a a 得 a ? ?1 ,或 a ? 1 ,
综上得:实数 a 的值为 ?1, 0 ,或 1 .

5.解:集合

? ?2 x ? y ? 0? A ? B ? ?( x, y) | ? ? ? {(0, 0)} ,即 A ? B ? {(0,0)} ; ?3x ? y ? 0 ? ? ? ?2 x ? y ? 0 ? ? ? ( x, y ) | ? ? ? ? ,即 A ? C ? ? ; ?2 x ? y ? 3 ? ?
? ?3 x ? y ? 0 ? 3 9 ? ?( x, y ) | ? ? ? {( , ? )} ; 5 5 ? 2 x ? y ? 3? ?

集合 A ? C

集合 B ? C

则 ( A ? B) ? ( B ? C )

3 9 ? {(0, 0), ( , ? )} . 5 5

6.解: (1)要使原式有意义,则 ?

?x ? 2 ? 0 ,即 x ? 2 , ?x ? 5 ? 0

得函数的定义域为 [2, ??) ;

(2)要使原式有意义,则 ?

?x ? 4 ? 0 ,即 x ? 4 ,且 x ? 5 , ?| x | ?5 ? 0

得函数的定义域为 [4,5) ? (5, ??) . 7.解: (1)因为

1? x , 1? x 1? a 1? a 2 ?1 ? 所以 f ( a ) ? ,得 f ( a ) ? 1 ? , 1? a 1? a 1? a 2 即 f (a) ? 1 ? ; 1? a 1? x (2)因为 f ( x ) ? , 1? x 1 ? (a ? 1) a ?? 所以 f ( a ? 1) ? , 1? a ?1 a?2 a 即 f ( a ? 1) ? ? . a?2 f ( x) ?

8.证明: (1)因为

f ( x) ?

1 ? x2 1 ? x2



所以

f ( ? x) ?

1 ? ( ? x) 2 1 ? x 2 ? ? f ( x) , 1 ? ( ? x) 2 1 ? x 2



f (? x) ? f ( x) ;

(2)因为

f ( x) ?

1 ? x2 1 ? x2



1 1 ? ( )2 2 1 x ? 1 ? x ? ? f ( x) , 所以 f ( ) ? x 1 ? ( 1 )2 x2 ? 1 x 1 即 f ( ) ? ? f ( x) . x k 9.解:该二次函数的对称轴为 x ? , 8
函数 则

f ( x) ? 4x2 ? kx ? 8 在 [5, 20] 上具有单调性,

k k ? 20 ,或 ? 5 ,得 k ? 160 ,或 k ? 40 , 8 8 即实数 k 的取值范围为 k ? 160 ,或 k ? 40 .
10.解: (1)令

f ( x) ? x?2 ,而 f (? x) ? (? x)?2 ? x?2 ? f ( x) , y ? x ?2 是偶函数;

即函数 (2)函数 (3)函数 (4)函数

y ? x ?2 的图象关于 y 轴对称; y ? x ?2 在 (0, ??) 上是减函数; y ? x ?2 在 (??, 0) 上是增函数.
B组

1.解:设同时参加田径和球类比赛的有 x 人, 则 15 ? 8 ? 14 ? 3 ? 3 ? x

? 28 ,得 x ? 3 ,只参加游

泳一项比赛的有 15 ? 3 ? 3 ? 9(人) ,即同时参加田径和球类比赛的有 3 人,只参加游泳一项比赛的有

9 人.
2.解:因为集合

A ? ? ,且 x 2 ? 0 ,所以 a ? 0 .

3.解:由 ? ( A ? B) ? {1,3} ,得 U 集合 A ? B 里除去 所以集合 B

A ? B ? {2, 4,5,6,7,8,9} ,

A ? (? B) ,得集合 B , U

? {5, 6, 7,8,9} .

4.解:当 x 当x

? 0 时, f ( x) ? x( x ? 4) ,得 f (1) ? 1? (1 ? 4) ? 5 ; ? 0 时, f ( x) ? x( x ? 4) ,得 f (?3) ? ?3 ? (?3 ? 4) ? 21 ;

?(a ? 1)(a ? 5), a ? ?1 . f (a ? 1) ? ? ?(a ? 1)(a ? 3), a ? ?1
. 5.证明: (1)因为

x1 ? x2 x ?x a ) ? a 1 2 ? b ? ( x1 ? x2 ) ? b , 2 2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ax1 ? b ? ax2 ? b a ? ? ( x1 ? x2 ) ? b , 2 2 2 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 所以 f ( ; 2 2

f ( x) ? ax ? b ,得 f (

(2)因为 g ( x) ? 得 g(

x2 ? ax ? b ,

x1 ? x2 x ?x 1 ) ? ( x12 ? x2 2 ? 2 x1 x2 ) ? a( 1 2 ) ? b , 2 4 2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 1 ? [( x12 ? ax1 ? b) ? ( x2 2 ? ax2 ? b)] 2 2 x ?x 1 2 ? ( x1 ? x2 2 ) ? a ( 1 2 ) ? b , 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 因为 ( x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ? ( x1 ? x2 ) ? 0 , 4 2 4 1 2 1 2 2 2 即 ( x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ) ? ( x1 ? x2 ) , 4 2 x1 ? x2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) )? 所以 g ( . 2 2
6.解: (1)函数

f ( x) 在 [?b, ?a] 上也是减函数,证明如下:

设 ?b ?

x1 ? x2 ? ?a ,则 a ? ? x2 ? ? x1 ? b ,
f ( x) 在 [a, b] 上是减函数,则 f (? x2 ) ? f (? x1 ) , f ( x) 是奇函数,则 ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ) ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

因为函数

又因为函数 所以函数

f ( x) 在 [?b, ?a] 上也是减函数;

(2)函数 g ( x) 在 [?b, ?a] 上是减函数,证明如下: 设 ?b ?

x1 ? x2 ? ?a ,则 a ? ? x2 ? ? x1 ? b , g (? x1 ) ,

因为函数 g ( x) 在 [ a, b] 上是增函数,则 g (? x2 ) ?

又因为函数 g ( x) 是偶函数,则 g ( x2 ) ?

g ( x1 ) ,即 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,

所以函数 g ( x) 在 [?b, ?a] 上是减函数.

7.解:设某人的全月工资、薪金所得为 x 元,应纳此项税款为

y 元,则

?0, 0 ? x ? 2000 ?( x ? 2000) ? 5%, 2000 ? x ? 2500 ? y?? ?25 ? ( x ? 2500) ?10%, 2500 ? x ? 4000 ?175 ? ( x ? 4000) ?15%, 4000 ? x ? 5000 ? 由该人一月份应交纳此项税款为 26.78 元,得 2500 ? x ? 4000 ,
25 ? ( x ? 2500) ?10% ? 26.78 ,得 x ? 2517.8 ,
所以该人当月的工资、薪金所得是 2517.8 元.


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