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2002年(首届)上海市TI杯高二数学竞赛个人赛试题


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2002 年(首届)上海市 TI 杯高二年级数学竞赛

个人赛试题
(时间:90 分钟) 一,填空题(共 8 小题,前 4 小题每题 6 分,后 4 小题每题 9 分,满 分 60 分) 1.在数学中 e(=2.718281828…)和л(=3.1415926535…)是两个 重要的常数,试比较下列两对数的大小(填写">" ,或"=" ,或"<": ) л __________e ;
e л

ctgл __________ctge

2

2

2.在△ABC 中,AC=2cm,AB=2.5cm,则∠B 的最大可能值是________ (用角度值表示) 3.如下图,通常利用方程为 y=xtgθ-(4.877x )/(v cos θ)(y≥0) 的抛物线部分表示人或动物跳跃时的轨迹, 其中θ表示在起跳点 O 的 起跳角(0 <θ<90 ),v 为起跳的初始速度(单位:米/秒) ,x,y 单位 均为米.现有一只青蛙,起跳角θ=30 ,起跳初始速度 v=4.5 米/秒, 则这只青蛙最高能跳__________米(精确到 0.01 米)
y
o o o 2 2 2

v

θ O x

4.如下图,对一个正六边形,在它的外面画一个外接圆,再作这个圆 的外切正六边形,这算一次操作.然后,对得到的正六边形还可以进
-1-

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行同样的操作.若原始的正六边形的边长为 1 厘米,则至少要连续进 行__________次操作, 才能使最后得到的正六边形面积超过 1 平方公 里.

5.在直角坐标平面上,已知六个点:A(2.412,-1.356) ,B(4.258, 1.811) C , (-3.254, 7.256) D , (-6.343, 2.678) E , (7.254, 5.324) , F(-2.814,-4.332) ,则使│PA│ +│PB│ +│PC│ +│PD│ +│PE │ +│PF│ 最小的点 P 的坐标是____________________ 6.海拔高度都是 100 米的三个雷达站 A,B,C 正好位于边长为 1000 米的正三角形的三个顶点上.在某一时刻发现一个目标 M,三个雷达 站同时测得三个距离 MA=2000 米,MB=2000 米,MC=1500 米,此时这 个目标位于海拔高度__________米的上空(精确到 1 米) 7.已知 AB 是过双曲线 x /a -y /b =1(a>0,b>0)右焦点 F 的弦,且 AB⊥X 轴,M 是双曲线的右顶点,记∠BMA=θ,则用弧度值来表示θ 的取值范围是___________________________(精确到 10 ) 8.通过函数 y=sinx+1 和 y=x 的图象交点可知方程 x=sinx+1 在 (л/3, 2л/3)内有一个解.为了求出方程 x=sinx+1 精确到 10 的近似解可 以采用下述的"迭代"方法进行:设 xn=sinxn-1+1(n=1,2,3,…),取初 始 值 x0=2 , 得
-2-5 -4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x1=sin2+1=1909297427

,

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x2=sin1.909297427+1=1.94325347,…直到│xn-xn-1│<10 时, 我们就 把 x=xn 作为方程的近似解,则上述方程精确到 10 的近似解是 __________ *解答以下三题必须写出解题的必要步骤 二, (本题满分 20 分) 已知函数 f(x)=10+10sinxcosx-20cos x,若方程 f(x)=m(m 为整数) 在[0,л]内恰有两个不相等的实数根,求 m 的值. 三, (本题满分 20 分) ⑴写出一个以 2002 起首的十位完全平方数(应指出它是哪个自然数 的平方) ⑵任给一个以 2002 起首的六位数, 是否总能在其后面添加 4 个数字, 使得到的十位数是一个完全平方数?证明你的结论 四, (本题满分 20 分) 椭圆 x /a +y /b =1(a>0,b>0)的面积可用公式 S=лab 计算.设 F 为椭圆 x /a +y /b =1(a>0,b>0)的右焦点,且使以 O 为圆心,OF 为半径的圆的面积恰好等于已知椭圆的面积,A 为该圆与椭圆在第一 象限内的交点,记∠XOA=θ(θ为锐角) ,求θ的大小(用角度值表 示)
y A
2 2 2 2 2 2 2 2 2 -5

-6

θ
O x

-3-

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