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浙江省温州市2015届高三第一次适应性测试(一模)数学理试题 Word版含答案


2015 年温州市高三第一次适应性测试 数学(理科)试题(2015.2)
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部 分 2 至 4 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 参考公式:
柱体的体积公式:V=Sh 锥体的体积公式:V= Sh 台体的体积公式

V 高 球的表面积公式 S=4πR
2

其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的

1 3

? 1 (S1 ? S1S2 ? S2 )h 3

球的体积公式 V=

4 3 πR 3

其中 R 表示球的半径

选择题部分(共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.设集合 P={x|y= x +1},Q={y|y=x3},则 P∩ Q= ( A.? ) B.[0,+∞) C.(0,+∞) D.[1,+∞)

2. 已知直线 l: y=x 与圆 C: (x-a)2+y2=1,则“a= 2 ”是“直线 l 与圆 C 相切”的 ( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充要条件 3. 已知 sinx+ 3 cosx= 6 ,则 cos( ? -x)=

5

6

( A.- 3



5

B. 3

5

C.- 4

5

D. 4

5

4. 下列命题正确的是 ( )

A.垂直于同一直线的两条直线互相平行 B.平行四边形在一个平面上的平行投影一定是平行四边形 C. 锐角三角形在一个平面上的平行投影不可能是钝角三角形 D. 平面截正方体所得的截面图形不可能是正五边形

-1-

5. 若函数 f(x)=sinωx(ω>0)在 [ ? , ? ] 上是单调函数,则 ω 应满足的条件是

6 2



) B. ω≥1
2

A.0<ω≤1

C. 0<ω≤1 或 ω=3

D. 0<ω≤3

2 y 6. 设 F 是双曲线 x 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点,P 是双曲线上的点,若它的渐近线上存

a

b

在一点 Q(在第一象限内) ,使得 PF ? 2PQ ,则双曲线的离心率的取值范围是 ( A.(1,3) ) B.(3,+∞) C.(1,2) D. (2,+∞)

7. 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知二面角 A1-BD-A 的大小为 ? ,若空间有一条直线 l 与

6

直线 CC1 所成的角为 ? ,则直线 l 与平面 A1BD 所成角的取值范围是

4

( D. [0, ? ]



A. [ ? , 7? ]

12 12

B. [ ? , ? ]

12 2

C. [ ? , 5? ]

12 12

2

8. 过边长为 2 的正方形中心作直线 l 将正方形分为两个部分, 将其中的一个部分沿直线 l 翻折 到 另一个部分上。则两个部分图形中不重叠的面积的最大值为 ( A.2 ) B.2(3- 2 ) C. 4(2- 2 ) D. 4(3-2 2 )

非选择题部分(共 110 分)
二、 填空题 :本大题共 7 小题,前 4 题每题两空,每空 3 分,后 3 题每空 4 分,共 36 分。 9. 设函数 f(x)= ? 2

? ?( 1 ) x , x ? 0 ,则 f(-2)= log x , x ? 0 ? ? 2
.



使 f(a)<0 的实数 a 的取值范围是 10.设{an}为等差数列,Sn 为它的前 n 项和 若 a1-2a2=2, a3-2a4=6, 则 a2-2a3=

, S7=

. (第 11 题图)

11.如图是某几何体的三视图(单位:cm) ,正视图是等腰梯 形, 俯视图中的曲线是两个同心的半圆,侧视图是直角梯形。 则 该 几 何 体 的体 积 等 于 2 cm . cm3 , 它 的 表 面 积 等 于

12. 抛物线 y=ax2 的焦点为 F(0,1),P 为该抛物线上的动点,则 a= 的

;线段 FP 中点 M

-2-

轨迹方程为 13. 已知 a,b∈ R,若 a2+b2-ab=2,则 ab 的取值范围是 14. 设实数 x,y 满足不等式组 ? y ? x ? 1 ,若|ax-y|的最小值为 0,则实数 a 的最小值与最

? ?2 x ? y ? 2 ? ?x ? y ? 2

大值 的和等于 .

15. 设 | OA |?| OB |? 2 ,∠ AOB=60° , OP ? ?OA ? ?OB ,且 λ+?=2,则 OA 在 OP 上的投 影 的取值范围是 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本题满分 15 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a-b=2, c=4, sinA=2sinB. (Ⅰ ) 求△ ABC 的面积; (Ⅱ ) 求 sin(2A-B).

17. (本题满分 15 分)如图,在四面休 ABCD 中, 已知∠ ABD=∠ CBD=60°,AB=BC=2, (Ⅰ ) 求证:AC⊥ BD; (Ⅱ )若平面 ABD⊥ 平面 CBD,且 BD= 5 ,

2

求二面角 C-AD-B 的余弦值。

(第 17 题图)

18. (本题满分 15 分)已知椭圆 C: 的下顶点为 B(0,-1),B 到焦点的距离为 2.

-3-

(Ⅰ )设 Q 是椭圆上的动点,求|BQ|的最大值; (Ⅱ )直线 l 过定点 P(0,2)与椭圆 C 交于两点 M,N,若△ BMN 的面积为 6 ,求直线 l 的方程。

5

19. (本题满分 15 分)对于任意的 n∈ N*,数列{an}满足 (Ⅰ ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ ) 求证:对于 n≥2, 2 ? 2 ?

a1 ? 1 a2 ? 2 ? ? 21 ? 1 22 ? 1

?

an ? n ? n ? 1. 2n ? 1

a2

a3

? 2 ? 1 ? 1n an?1 2

20. (本题满分 14 分)已知函数 f(x)=

1 ? kx ? b ,其中 k,b 为实数且 k≠0. | x?2|

(I)当 k>0 时,根据定义证明 f(x)在(-∞,-2)单调递增; (II)求集合 Mk={b|函数 f(x)有三个不同的零点}.

-4-

2015 年温州市高三第一次适应性测试 数学(理科)试题参考答案
合题目要求.

2015.2

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符

题号 答案

1 B

2 A

3 B

4 D

5 C

6 A

7 C

8 D

二、填空题:本大题共 7 小题,前 4 题每题 6 分,后 3 题每题 4 分,共 36 分. 9. 2 ; (0,1) . 12. 10. 4 ; ?28 . 11. 14? ; 21? ? 20 . 14.

1 2 ; x 2 ? 2 y ? 1 ? 0 . 13. [ ? , 2] . 4 3

7 . 2

15. (?1.2] .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本题 15 分)解法一: (I)由 sin A ? 2 sin B ? a ? 2b .…………………1 分

a ? b ? 2 ,∴ a ? 4, b ? 2 . ………………………………………………2 分 又∵

cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 42 ? 42 ? 22 7 ? ? . …………………………………4 分 2ac 2? 4? 4 8
2

15 ?7? sin B ? 1 ? cos2 B ? 1 ? ? ? ? .……………………………………5 分 8 ?8?

1 1 15 ac sin B ? ? 4 ? 4 ? ? 15 .………………………………7 分 2 2 8 b2 ? c 2 ? a 2 22 ? 42 ? 42 1 ? ? .……………………………9 分 (II) cos A ? 2bc 2? 2? 4 4
∴ S ?ABC ?

15 ?1? sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? ? ? . 4 ?4?
2

2

………………………………10 分

1 15 15 .………………………………11 分 sin 2 A ? 2 sin A cos A ? 2 ? ? ? 4 4 8 7 cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? ? .………………………………………………13 分 8 sin(2 A ? B) ? sin 2 A cos B ? cos2 A sin B …………………………………14 分 ∴

15 7 ? 7 ? 15 7 15 .…………………………………………15 分 ? ? ?? ?? ? 8 8 ? 8? 8 32 解法二: (I)由 sin A ? 2 sin B ? a ? 2b . …………………………………1 分 ?
a ? b ? 2 ,∴ a ? 4, b ? 2 . ……………………………………………2 分 又∵
又 c ? 4 ,可知△ ABC 为等腰三角形. ………………………………………3 分

?b? 2 2 作 BD ? AC 于 D ,则 BD ? c ? ? ? ? 4 ? 1 ? 15 . …………5 分 ?2? 1 1 S ?ABC ? ? AC ? BD ? ? 2 ? 15 ? 15 .……………………………7 分 ∴ 2 2 2 2 2 a ?c ?b 42 ? 42 ? 22 7 cos B ? ? ? .…………………………9 分 (II) 2ac 2? 4? 4 8
2

2

-5-

15 ?7? sin B ? 1 ? cos B ? 1 ? ? ? ? .…………………………………10 分 8 ?8? 由(I)知 A ? C ? 2 A ? B ? ? ? 2 B .……………………………………11 分
2

2

∴ sin(2 A ? B) ? sin(? ? 2B)=sin 2B ………………………………………13 分

? 2 sin B cos B

………………………………………………………………14 分

15 7 7 15 . ……………………………………………………15 分 ? ? 8 8 32 ?ABD ? ?CBD , AB ? BC , BD ? BD . 17. (本题 15 分) (I)证明(方法一) :∵ ?ABD ? ?CBD . ∴ AD ? CD .………………………2 分 ∴ 取 AC 的中点 E ,连结 BE, DE ,则 BE ? AC , DE ? AC . ? 2?
………………………………………………………………3 分 BE ? DE ? E , ……………………………………4 分 又∵ BE ? 平面 BED , BD ? 平面 BED , AC ? 平面 BED , ……………………………………5 分 ∴ AC ? BD ………………………………………………6 分 ∴ BD 于点 H .连接 AH .…1 分 (方法二) :过 C 作 CH ⊥ ?ABD ? ?CBD , AB ? BC , BD ? BD . ∵ BD .…………………3 分 ?ABD ? ?CBD .∴ AH ⊥ ∴ AH ? CH ? H ,……………………………………4 分 又∵ AH ? 平面 ACH , CH ? 平面 ACH , BD ⊥ ∴ 平面 ACH .……………………………………5 分 AC ? 平面 ACH , 又∵ AC ? BD .……………………………………………6 分 ∴ (方法三) : AC ? BD ? (BC ? BA) ? BD ………………2 分

? BC ? BD ? BA ? BD

………………………………3 分

? BC ? BD cos?CBD ? BA ? BD cos?ABD ………4 分
? 2 BD cos 60? ? 2 BD cos 60? ? 0 ,……………………5 分 AC ? BD .……………………………………………6 分 ∴ BD 于点 H .则 CH ? 平面 BCD , (II)解(方法一) :过 C 作 CH ⊥ 又∵ 平面 ABD ⊥ 平面 BCD ,平面 ABD ? 平面 BCD =BD , CH ⊥ ∴ 平面 ABD . ……………………………………8 分 AD 于点 K ,连接 CK . ………………9 分 过 H 做 HK ⊥ AD ,又 HK ? CH ? H , CH ⊥ CH ⊥ ∵ 平面 ABD ,∴ AD ⊥ AD .…………………10 分 CK ⊥ ∴ 平面 CHK ,∴ ?CKH 为二面角 C ? AD ? B 的平面角. …………11 分 ∴ BD . ?ABD ? ?CBD ,∴ AH ⊥ 连接 AH .∵ ?ABD ? ?CBD ? 60? , AB ? BC ? 2 , ∵ 5 3 BD ? ,∴ DH ? . ………12 分 ∴ AH ? CH ? 3 , BH ? 1.∵ 2 2

21 AH ? DH 3 7 HK ? ? ∴ .…………………………13 分 2 AD 7 CH 21 tan?CKH ? ? ∴ ,…………………………………………14 分 HK 3 AD ? ∴

-6-

∴ cos ?CKH ?

30 . 10

30 .………………………………15 分 10 BD 于点 H ,连接 CH (方法二) :由(I)过 A 作 AH ⊥ BD . ?ABD ? ?CBD ,∴ CH ⊥ ∵ AH ⊥ CH .…………………………7 分 ∵ 平面 ABD ⊥ 平面 BCD , ∴ 分别以 HC, HD, HA 为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系.………………8 分
∴ 二面角 C ? AD ? B 的余弦值为

?ABD ? ?CBD ? 60? , AB ? BC ? 2 , ∵

3 , BH ? 1. 5 3 BD ? ,∴ DH ? .………………………………9 分 ∵ 2 2 3 ? A(0, 0, 3), C ( 3, 0, 0), B(0, ?1, 0), D(0, , 0) .…10 分 2 3 可得 AC ? ( 3,0,? 3) , CD ? ( ? 3 , ,0) .………11 分 2 设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,
? n ? AC ? 3 x ? 3 z ? 0 ? 则? ,取 y ? 2 , 3 n ? CD ? ? 3 x ? y ? 0 ? 2 ?
得一个 n ? ( 3,2, 3) .……………………………………………………12 分 取平面 ABD 的法向量为 m ? (1,0,0) .……………………………………13 分

∴ AH ? CH ?

cos n, m ?

n?m | n || m |

?

3 10

?

30 .……………………………………14 分 10

30 .…………………………………15 分 10 18. (本题 15 分)解: (I)由椭圆的下顶点为 B(0, ?1) 知 b ? 1 . ………1 分 由 B 到焦点的距离为 2 知 a ? 2 .………………………………………2 分 x2 ? y 2 ? 1 .……………………………………3 分 所以椭圆 C 的方程为 4
∴ 二面角 C ? AD ? B 的余弦值为 设 Q( x, y ) , BQ ?

x 2 ? ( y ? 1) 2

……………………………………4 分

1 16 ? 4(1 ? y 2 ) ? ( y ? 1) 2 ? ? 3( y ? ) 2 ? (?1 ? y ? 1) .……………5 分 3 3
1 4 3 时, BQ max ? . …………………………………………6 分 3 3 (II)由题设可知 l 的斜率必存在.………………………………………………7 分 由于 l 过点 P(0, 2) ,可设 l 方程为 y ? kx ? 2 .……………………………8 分
∴ 当y?

x2 ? y 2 ? 1 联立消去 y 得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 .……………9 分 与 4 3 2 2 2 2 其 ? ? (16k ) ? 48(1 ? 4k ) ? 16(4k ? 3) ? 0 ? k ? . (*)……10 分 4

-7-

设 M ( x1 y1 ), N ( x2 , y 2 ) ,则 x1, 2 ? 解法一: S ?BMN ?

? 16k ? 4 4k 2 ? 3 .………………11 分 2(1 ? 4k 2 )

1 x1 ? x 2 ? BP …………………………………………12 分 2

6 4k 2 ? 3 6 ? ? . ………………………………………………………13 分 5 1 ? 4k 2 3 2 解法二: MN ? x1 ? x 2 1 ? k , B 到 l 的距离 d ? . 1? k 2 1 S ?BMN ? ? MN ? d 2 3 ? x1 ? x 2 ………………………………………………………………12 分 2

6 4k 2 ? 3 6 ? ? . ………………………………………………………13 分 5 1 ? 4k 2 19 2 2 解得 k ? 1 或 k ? 均符合(*)式.…………………………………14 分 4 19 k ? ?1 或 k ? ? ∴ . 2 所求 l 方程为 ? x ? y ? 2 ? 0 与 ? 19x ? 2 y ? 4 ? 0 .………………15 分 a ?n a ? 1 a2 ? 2 ? 2 ? ? ? nn ? n ? 1 .① 19. (本题 15 分) (I)解:由 1 1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 a n ?1 ? (n ? 1) a ? 1 a2 ? 2 ? ? ? ? ? n .② 当 n ? 2 时得 1 ……………2 分 21 ? 1 2 2 ? 1 2 n ?1 ? 1 a ?n ? 1(n ? 2) . ……………………………………………4 分 ① -② 得 n 2n ? 1 ∴ an ? 2n ? 1 ? n(n ? 2) . ………………………………………………5 分 a ?1 ? 2 ? a1 ? 7 .…………………………………………………………6 分 又 1 21 ? 1
?7, n ? 1 综上得 an ? ? n .……………………………………………………7 分 ?2 ? 1 ? n, n ? 2

2 2 2 1 ? n ? n ? n ?1 . ………………………10 分 an 2 ? 1 ? n 2 2 2 2 2 1 1 1 ? ??? ? ? 2 ? ? ? n ………………………………………11 分 a 2 a3 a n?1 2 2 2 1 ? 1 ? n .…………………………………………………………………………13 分 2 2 2 2 1 ? ??? ? 1 ? n .………………………………15 分 ∴ 当 n ? 2 时, a 2 a3 a n ?1 2 1 +kx ? b .……1 分 20. (本题 14 分) (I)证明:当 x ? (??, ?2) 时, f ( x ) ? ? x?2 任取 x1 , x2 ? (??, ?2) ,设 x2 ? x1 .……………………………………………2 分
(II)证明:当 n ? 2 时,

-8-

? ? ? ? 1 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? ? x ? 2 ? kx1 ? b ? ??? ? ? x ? 2 ? kx2 ? b ? ? ? 1 ? ? 2 ? ? ? 1 ? ( x1 ? x2 ) ? ? k ? . ……………………………………………4 分 ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 1 由所设得 x1 ? x2 ? 0 , ? 0 ,又 k ? 0 , ( x1 ? 2)(x 2 ? 2) ∴f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .……………………………………5 分 ∴f ( x) 在 (??,?2) 单调递增.……………………………………………………6 分 1 (II)解法一:函数 f ( x) 有三个不同零点,即方程 +kx+b ? 0 有三个不同的实根. x?2
方程化为: ?

? x ? ?2 ? x ? ?2 与? 2 .…7 分 2 ?kx ? (b ? 2k ) x ? (2b ? 1) ? 0 ?kx ? (b ? 2k ) x ? (2b ? 1) ? 0

记 u( x) ? kx2 ? (b ? 2k ) x ? (2b ? 1) , v( x) ? kx2 ? (b ? 2k ) x ? (2b ?1) . ⑴ 当 k ? 0 时, u( x), v( x) 开口均向上. 由 v(?2) ? ?1 ? 0 知 v( x) 在 (??,?2) 有唯一零点.…………………………………8 分 为满足 f ( x) 有三个零点, u ( x) 在 (?2,??) 应有两个不同零点.

? ? u (?2) ? 0 ? 2 ∴ ?(b ? 2k ) ? 4k (2b ? 1) ? 0 ? b ? 2k ? 2 k .…………………………………10 分 ? b ? 2k ? ? ?2 ? 2k ? ⑵ 当 k ? 0 时, u( x), v( x) 开口均向下. 由 u(?2) ? 1 ? 0 知 u ( x) 在 (?2,??) 有唯一零点.为满足 f ( x) 有三个零点, v( x) 在 (??,?2) 应有两个不同零点.………………………………………………11 分 ? ? v(?2) ? 0 ? 2 ∴ ?(b ? 2k ) ? 4k (2b ? 1) ? 0 ? b ? 2k ? 2 ? k .……………………………13 分 ? b ? 2k ? ? ?2 ? 2k ?
综合⑴ ⑵ 可得 M k ? b | b ? 2k ? 2 | k | .……………………………………14 分

?

?

? 1 ? kx ? b, x ? ?2 ?? 解法二: f ( x) ? ? x ? 2 . …………………………………7 分 1 ? ? kx ? b, x ? ?2 ? x?2 ⑴ 当 k ? 0 时, f ( x ) 在 (??,?2) 单调递增,且其值域为 R ,所以 f ( x ) 在 (??,?2) 有一个
零点.……………………………………………………………………………………8 分 ( -2,??) 应有两个零点. 为满足 f ( x) 都有三个不同零点, f ( x ) 在

x ? ?2 时, f ( x) ?

1 ? k ( x ? 2) ? 2k ? b x?2

?2

1 ? k ( x ? 2) ? 2k ? b ? 2 k ? 2k ? b .………………………………9 分 x?2

-9-

? ? 1 1 ? ? f ( x) 在 ? ? 2,- 2? ,?? ? ? 单调递减,在 ?? 2 ? ? 单调递增,且在这两个区间上的 k? k ? ? ? 值域均为 2 k ? 2k ? b,?? .

?

?

( -2,??) 有两个零点.从而 f ( x) 有 ∴ 当 2 k ? 2k ? b ? 0 即 b ? 2k ? 2 k 时, f ( x ) 在 三个不同零点. ………………………………………………………………………………………10 分 ⑵ 当 k ? 0 时, f ( x ) 在 (?2,??) 单调递减,且其值域为 R ,所以 f ( x ) 在 (?2,??) 有一个 零点.……………………………………………………………………………………11 分 为满足 f ( x) 都有三个不同零点, f ( x ) 在 (? ?,- 2) 应有两个零点.
x ? ?2 时, f ( x) ? ?

1 ? k ( x ? 2) ? 2k ? b x?2

? 2 -k ? 2k ? b . ……………………………………………………………12 分 1 ? 1 ? ? ? f ( x) 在 ?-?,?2- ,-2 ? 单调递增.且在这两个区间 ? 单调递减,在 ?? 2- -k ? -k ? ? ? 上的值域均为 2 -k ? 2k ? b,??

?

?

(? ?,- 2) 有两个零点.从而 ∴ 当 2 -k ? 2k ? b ? 0 即 b ? 2k ? 2 -k 时, f ( x ) 在 f ( x) 有三个不同零点.………………………………………………………………………13 分
综合⑴ ⑵ 可得 M k ? b | b ? 2k ? 2 | k | .…………………………………………14 分 解法三:函数 f ( x) 都有三个不同零点,即方程 b ? ?

?

?

1 ? kx 有三个不同的实根. x?2

? 1 ? kx, x ? ?2 ? 1 令 g ( x) ? ? .………………7 分 ? kx .则 g ( x) ? ? x ? 2 1 x?2 ?? ? kx, x ? ?2 ? x?2 ⑴ 当 k ? 0 时,若 x ? ?2 , g ( x) 单调递减,且其值域为 R ,所以 g ( x) ? b 在 (??,?2) 有
一个实根. ……………………………………………………………………………8 分 ( -2,??) 应有两个实根. 为满足 f ( x) 都有三个不同零点, g ( x) ? b 在

? 1 ? x ? ?2 时, g ( x) ? ? ? ? k ( x ? 2)? ? 2k ?x ? 2 ?

1 ? k ( x ? 2) ? 2k ? ?2 k ? 2k .…………………………………9 分 x?2 ? ? ? 1 ? 1 g ( x) 在 ? 2, -2 ? ,?? ? ? 单调递增,在 ?? 2 ? ?- ? 单调递减,且在这两个区间上 k? k ? ? ? 的值域均为 -?, 2k ? 2 k . ? ?2

?

?

( -2,??) 有两个实根.从而 f ( x) 有三个不同零点. ∴ 当 b ? 2k ? 2 k 时, g ( x) ? b 在 ………………………………………………………………………………………10 分 ⑵ 当 k ? 0 时,若 x ? ?2 , g ( x) 单调递增,且其值域为 R ,所以 g ( x) ? b 在 (?2,??) 有 一个实根.…………………………………………………………………………………11 分 (? ?,- 2) 应有两个实根. 为满足 f ( x) 都有三个不同零点, g ( x) ? b 在

1 ? - ? x ? ?2 时, g ( x) ? -? +k ( x ? 2)? ? 2k ?x ? 2 ?
- 10 -

?- 2

- 1 ? k ( x ? 2) ? 2k ? ?2 -k ? 2k .………………………………12 分 x?2 1 ? 1 ? ? ? g ( x) 在 ?-?,?2- ,-2 ? 单调递减.且在这两个区间 ? 单调递增,在 ?? 2- -k ? -k ? ? ?

上的值域均为 -?, 2k ? 2 ? k . ∴ 当 b ? 2k ? 2 ? k 时, g ( x) ? b 在 (??, ?2) 有两个实根.从而 f ( x) 有三个不同零点. ………………………………………………………………………………………13 分 综合⑴ ⑵ 可得 M k ? b | b ? 2k ? 2 | k | .……………………………………14 分 解法四:函数 f ( x) 有三个不同零点,即方程 kx ? b ? ? 函数 y ? kx ? b 与函数 h( x) ? ?

?

?

?

?

1 有三个不同的实根.亦即 x?2

1 的图象有三个不同的交点. x?2

? 1 , x ? ?2 ? .……………………………………………………7 分 h( x ) ? ? x ? 2 1 ?? , x ? ?2 ? x?2 ⑴ 当 k ? 0 时,直线 y ? kx ? b 与 h( x) 图象左支恒有一个交点.…………8 分 为满足 f ( x) 都有三个不同零点,直线 y ? kx ? b 与 h( x) 图象右支应有两个交点. 1 x ? ?2 时,方程 kx ? b ? ? ∴ 应有两个实根. x?2 即 kx2 ? (b ? 2k ) x ? (2b ? 1) ? 0( x ? ?2) 应有两个实根. ? 2 ?k ? (?2) ? (b ? 2k ) ? (?2) ? (2b ? 1) ? 0 ? 当且仅当 ? (b ? 2k ) 2 ? 4k (2b ? 1) ? 0 ? b ? 2k ? 2 k .………10 分 ? b ? 2k ? ? ?2 ? 2k ? ⑵ 当 k ? 0 时,直线 y ? kx ? b 与 h( x) 图象右支恒有一个交点.……………11 分 为满足 f ( x) 都有三个不同零点,直线 y ? kx ? b 与 h( x) 图象左支应有两个交点. 1 x ? ?2 时,方程 kx ? b ? ∴ 应有两个实根. x?2 即 kx2 ? (b ? 2k ) x ? (2b- 1) ? 0( x ? ?2) 应有两个实根. ? 2 ?k ? (?2) ? (b ? 2k ) ? (?2) ? (2b ? 1) ? 0 ? 当且仅当 ? (b ? 2k ) 2 ? 4k (2b ? 1) ? 0 ? b ? 2k ? 2 ? k .………13 分 ? b ? 2k ? ? ?2 ? 2k ?
综合⑴ ⑵ 可得 M k ? b | b ? 2k ? 2 | k | .……………………………………14 分

?

?

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