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2014届高三数学辅导精讲精练53


2014 届高三数学辅导精讲精练 53
1.有 4 个命题: ①若 p=xa+yb,则 p 与 a、b 共面; ②若 p 与 a、b 共面,则 p=xa+yb; → → → ③若MP=xMA+yMB,则 P、M、A、B 共面; → → → ④若 P、M、A、B 共面,则MP=xMA+yMB. 其中真命题的个数是 A.1 C.3 答案 解析 B ①正确, ②中若 a, 共线, 与 a 不共线, p=xa+yb 就不成立. b p 则 ③ B.2 D.4 ( )

→ → → 正确.④中若 M,A,B 共线,点 P 不在此直线上,则MP=xMA+yMB不正确. → → → 2 . 在平 行 六面 体 ABCD - A′B′C′D′中 , 设 AC′ = xAB + 2y BC + → 3zCC′,x+y+z 等于 11 A. 6 2 C.3 答案 解析 A → → → → AC′=AB+BC+CC′, 5 B.6 7 D.6 ( )

1 1 11 故 x=1,y=2,z=3,从而 x+y+z= 6 . 1 3. 已知向量 a=(8,2x,x),b=(x,1,2),其中 x>0.若 a∥b,则 x 的值为( A.8 C.2 答案 解析 B 因 x=8,2,0 时都不满足 a∥b. B.4 D.0 )

而 x=4 时,a=(8,2,4)=2(4,1,2)=2b,∴a∥b. x 另解:a∥b?存在 λ>0 使 a=λb?(8,2,x)=(λx,λ,2λ)

?λx=8, ?x ??2=λ, ?x=2λ ?

?λ=2, ?? ∴选 B. ?x=4.

→ 1 → 4.已知空间四边形 ABCD 中,M、G 分别为 BC、CD 的中点,则AB+2(BD → +BC)等于 → A.AG → C.BC 答案 解析 A → 1 → → → 1 → → 依题意有AB+2(BD+BC)=AB+2· =AG. 2BG ) → B.CG 1→ D.2BC ( )

8 5.若向量 a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且 cos〈a,b〉= ,则 λ=( 9 A.2 2 C.-2 或55 答案 解析 C B.-2 2 D.2 或-55

2-λ+4 a· b 8 2 由已知 cos 〈a, =|a||b|, b〉 所以9= , 解得 λ=-2 或 λ=55. 2 5+λ · 9

→ → → → → → → → 6.已知四边形 ABCD 满足AB· >0,BC· >0,CD· >0,DA· >0,则 BC CD DA AB 该四边形为 A.平行四边形 C.平面四边形 答案 解析 D 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角, 但在平面四边形中任一四 B.梯形 D.空间四边形 ( )

边形的外角和都是 360° ,这与已知条件矛盾,所以该四边形是一个空间四边形.

7.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,EF 是异面直线 AC 与 A1D 的公垂线,则 EF 与 BD1 所成的角是 A.90° C.30° 答案 D B.60° D.0° ( )

解析

如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D-xyz,设正方体的棱长为

→ a,则 A1(a,0,a),D(0,0,0),A(a,0,0),C(0,a,0),B(a,a,0),D1(0,0,a),∴DA1 =(a,0,a), → AC=(-a,a,0), → BD1=(-a,-a,a). ∵EF 是直线 AC 与 A1D 的公垂线, → → → → → ∴EF⊥DA1,EF⊥AC.设EF=(x,y,z), → → ∴EF· 1=(x,y,z)· DA (a,0,a)=ax+az=0. → → ∴EF· =(x,y,z)· AC (-a,a,0)=-ax+ay=0. ∵a≠0,∴x=y=-z. → → a→ ∴EF=(x,x,-x),∴BD1=- xEF. → → ∴BD1∥EF,即 BD1∥EF. 8. 已知 a+b+c=0, |a|=2, |b|=3, |c|= 19, 则向量 a 与 b 之间的夹角 〈a, b〉为 A.30° C.60° 答案 C B.45° D.以上都不对 ( )

解析

∵a+b=-c,∴a2+b2+2a· 2. b=c

又∵|a|=2,|b|=3,|c|= 19, ∴a· b=|a||b|cos〈a,b〉=3. 1 ∴cos〈a,b〉=2,∴〈a,b〉=60° . 9.已知两个非零向量 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),它们平行的充要条 件是 a b A.|a|=|b| B.a1·1=a2·2=a3·3 b b b C.a1·1+a2·2+a3·3=0 b b b D.存在非零实数 k,使 a=kb 答案 解析 D 应选 D,首先排除 B,C 项表示 a⊥b,A 项表示与 a,b 分别平行的 ( )

单位向量,但两向量方向相反也叫平行. 10.下列各组向量共面的是 A.a=(1,2,3),b=(3,0,2),c=(4,2,5) B.a=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(0,0,1) C.a=(1,1,0),b=(1,0,1),c=(0,1,1) D.a=(1,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1) 答案 解析 A A 项:假设共面则 c=xa+yb, ?x=1, ?? ∴a,b,c 共面. ?y=1. ( )

?x+3y=4, 则?2x=2, ?3x+2y=5

B 项:用 A 项方法或直接建立空间直角坐标系很明显不共面.

?x+y=0, C 项:设 c=xa+yb,?x=1, ?y=1,

解集为空.

?x+y=1, D 项:设 c=xa+yb,? ?解集为?. ?x+y=0

11.正方体不在同一表面上的两顶点为 A(-1,2,-1)、B(3,-2,3),则正 方体体积为 A.8 C.64 答案 解析 C 3a2=(3+1)2+(2+2)2+(3+1)2=48, B.27 D.128 ( )

∴a=4,V=a3=64. 12.已知 a=(cosθ,1,sinθ),b=(sinθ,1,cosθ),则向量 a+b 与 a-b 的 夹角是 A.0° C.60° 答案 解析 D ∵a+b=(cosθ+sinθ,2,cosθ+sinθ), B.30° D.90° ( )

a-b=(cosθ-sinθ,0,sinθ-cosθ), ∴cos〈a+b,a-b〉=0. 13. (2010· 台湾入学试题)如图所示,正方体 ABCD-EFGH 的棱长等于 2(即 → |AB|=2),K 为正方形 ABCD 的中心,M、N 分别为线段 BF、EF 的中点.试问 下列选项是正确的序号为________.

→ 1→ 1 → 1→ (1)KM= AB- AD+ AE; 2 2 2 → → (2)KM· =1; AB → (3)KM=3; (4)△KMN 为一直角三角形; (5)△KMN 的面积为 10. 答案 (1)(4)

解析

以 EF,EH,EA 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则 F(2,0,0),

N(1,0,0),B(2,0,2),K(1,1,2),M(2,0,1),

→ → KM=(1,-1,-1),MN=(-1,0,-1), → 6 AB=(2,0,0).∴(4)对,S= 2 . 14.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,O 是面 ABCD 的中心,点 P 在棱 C1D1 上移动,则|OP|的最小值为____. 答案 解析 5 以 A 为坐标原点,AB,AD,AA1 为 x 轴,y 轴,z 轴正方向建立空间

直角坐标系,则 O(1,1,0).

设 P(x,2,2)(0≤x≤2). 则|OP|= ?1-x?2+?1-2?2+?0-2?2 = ?x-1?2+5. 所以当 x=1,即 P 为 C1D1 中点时,|OP|取最小值 5. 15.设向量 a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算 2a+3b,3a-2b,a· 以及 a 与 b b 所成角的余弦值,并确定 λ、μ 的关系,使 λa+μb 与 z 轴垂直. 答案 解析 λ=2μ ∵2a+3b=2(3,5,-4)+3(2,1,8)=(12,13,16),

3a-2b=3(3,5,-4)-2(2,1,8)=(5,13,-28), a· b=(3,5,-4)· (2,1,8)=3×2+5×1-4×8=-21, |a|= 32+52+?-4?2= 50,

|b|= 22+12+82= 69, -21 a· b 7 138 ∴cos〈a,b〉=|a||b|= =- 230 . 50· 69 由(λa+μb)· (0,0,1) =(3λ+2μ,5λ+μ,-4λ+8μ)· (0,0,1) =-4λ+8μ=0 知, 只要 λ,μ 满足 λ=2μ 即可使 λa+μb 与 z 轴垂直. 16.已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,M、N 分别是 AB、PC 的中 → → 点,并且 PA=AD=1.求MN、DC的坐标. 解析 ∵PA=AD=AB,且 PA⊥平面 AC,AD⊥AB,

→ → → ∴可设DA=e1,AB=e2,AP=e3. 以 e1、e2、e3 为坐标向量建立空间直角坐标系 A-xyz, → → → → → → 1→ ∵MN=MA+AP+PN=MA+AP+2PC → → 1→ → → =MA+AP+2(PA+AD+DC) 1 1 1 1 =-2e2+e3+2(-e3-e1+e2)=-2e1+2e3, → → 1 1 ∴MN=(-2,0,2),DC=(0,1,0). 17. 已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, 底面 ABCD 是边长为 1 的正方形, AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120° . (1)求线段 AC1 的长; (2)求异面直线 AC1 与 A1D 所成角的余弦值; (3)证明:AA1⊥BD. 解析 (1)解 → → → 如图所示,设AB=a,AD=b,AA1=c,

则|a|=|b|=1,|c|=2.

a· b=0,a· c=b· c =2×1×cos120° =-1. → → → → ∵AC1=AB+BC+CC1=a+b+c, → ∴|AC1|2=(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2a· b+2a· c+2b· c =1+1+22-2-2=2. → ∴|AC1|= 2. 即 AC1 长为 2. (2)解 → → ∵AC1=a+b+c,A1D=b-c,

→ → ∴AC1· 1D=(a+b+c)· A (b-c) =a· b-a· 2-b· c+b c+b· 2 c-c =1+12-22=-2. → 又|A1D|2=(b-c)2=b2+c2-2b· c=1+4+2=7, → ∴|A1D|= 7. → → → → -2 - 14 AC1· 1D A ∴cos〈AC1,A1D〉= = = 7 . → → 2× 7 |AC1|· 1D| |A 14 ∴异面直线 AC1 与 A1D 所成角的余弦值为 7 . (3)证明 → → ∵AA1=c,BD=b-a,

→ → ∴AA1· =c· BD (b-a) =c· b-c· a=-1-(-1)=0. → → ∴AA1⊥BD,即 AA1⊥BD.


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