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数列型不等式的放缩方法与技巧


数列型不等式的放缩方法与技巧
雅安市田家炳中学 张有全 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面 而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问 题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩。 以下简要谈谈其方法和技巧:

一 利用重要不等式放缩
1. 均值不等式法 例 1 设 S n ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1). 求证 解析 此数列的通项为 ak ?

n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? Sn ? . 2 2

k (k ? 1) , k ? 1,2,?, n.

? k ? k (k ? 1) ?

n n 1 k ? k ?1 1 ? k ? ,? ? k ? S n ? ? (k ? ) , 2 2 2 k ?1 k ?1

2 即 n(n ? 1) ? S n ? n(n ? 1) ? n ? (n ? 1) .

注:①应注意把握放缩的“度” : 上 述 不 等 式 右 边 放 缩 用 的 是 均 值 不 等 式 ab ? a ? b , 若 放 成
2
2 k (k ? 1) ? k ? 1则得 S n ? ? (k ? 1) ? (n ? 1)(n ? 3) ? (n ? 1) ,就放过“度”了! 2 2 k ?1 ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里 n

2

2

2

2

n 1 1 ??? a1 an

? n a1 ? a n ?

a1 ? ? ? a n ? n

2 a12 ? ? ? a n n

其中, n ? 2,3 等的各式及其变式公式均可供选用。 例 2

1 1 4 , 若 f (1) ? , 且 f ( x) 在 [0 , 1] 上 的 最 小 值 为 ,求证: bx 2 1? a ? 2 5 1 1 f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? n ? n ?1 ? . (02 年全国联赛山东预赛题) 2 2
已 知 函 数 f ( x) ?

简析 f ( x) ?

4x 1 1 1 ?1? ?1? ( x ? 0) ? f (1) ? ? ? f (n) ? (1 ? ) x x x 2? 2 1? 4 1? 4 2?2 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? n ? (1 ? ? ? ? n ?1 ) ? n ? n ?1 ? . 2 n 4 2 2 2? 2 2? 2 2 2
n?1 2

1 2 3 n 例 3 求证 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? n?2
1 n 2 n 3 n

(n ? 1, n ? N ) .

简析 不等式左边 C ? C ? C ? ? ? C ? 2 n ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?1
n n

? n ? n 1? 2 ? 2 2 ??? 2 n?1 = n ? 2

n ?1 2

,故原结论成立.

2.利用有用结论 例 4 求证 (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 )? (1 ? 1 ) ? 2n ? 1. 3 5 2n ? 1 简析 本题可以利用的有用结论主要有: 法 1 利用假分数的一个性质 b ? b ? m (b ? a ? 0, m ? 0) 可得 a a?m 2 4 6 2n 3 5 7 2 n ? 1 1 3 5 2n ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2n ? 1) 1 3 5 2n ? 1 2 4 6 2n 2 4 6 2n ? ( 2 ? 4 ? 6 ? 2n ) 2 ? 2n ? 1 即 (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 )? (1 ? 1 ) ? 2n ? 1. 3 5 2n ? 1 1 3 5 2n ? 1

1

利 用 贝 努 利 不 等 式 (1 ? x) n ? 1 ? nx(n ? N ? , n ? 2, x ? ?1, x ? 0) 的 一 个 特 例 1 2 1 (此处 1 )得 (1 ? ) ? 1? 2 ? n ? 2, x ? 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 n n 1 2k ? 1 1 2k ? 1 1? ? ? ?(1 ? )?? ? 2n ? 1. k ?1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 k ?1 2k ? 1 注:例 4 是 1985 年上海高考试题,以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成 1998 年全国高考文科试 题;进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是: 1 1 1 证明 (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 3n ? 1. (可考虑用贝努利不等式 n ? 3 的特例) 4 7 3n ? 2 法 2 例 5 已知函数 f ( x) ? lg

1 ? 2 x ? 3 x ? ? ? (n ? 1) x ? a ? n x ,0 ? a ? 1, 给定n ? N ? , n ? 2. n

求证: f (2 x) ? 2 f ( x)(x ? 0) 对任意 n ? N ? 且 n ? 2 恒成立。 (90 年全国卷压轴题) 简 析 本 题 可 用 数 学 归 纳 法 证 明 , 详 参 高 考 评 分 标 准 ; 这 里 给 出 运 用 柯 西 ( Cauchy ) 不 等 式

[? (ai bi )]2 ? ? ai2 ? bi2 的简捷证法:
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

f (2 x) ? 2 f ( x) ? lg

1 ? 2 2 x ? 32 x ? ? ? (n ? 1) 2 x ? a ? n 2 x 1 ? 2 x ? 3 x ? ? ? (n ? 1) x ? a ? n x ? 2 lg n n

? [1 ? 2 x ? 3x ? ? ? (n ? 1) x ? a ? n x ]2 ? n ? [1 ? 2 2 x ? 32 x ? ? ? (n ? 1) 2 x ? a ? n 2 x ] x x x x 2 而由 Cauchy不等式得 (1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? ? ? 1 ? (n ? 1) ? a ? n ) ? (12 ? ? ? 12 ) ? [1 ? 2 2 x ? 32 x ? ? ? (n ? 1) 2 x ? a 2 ? n 2 x ] ( x ? 0 时取等号) ,得证! ? n ? [1 ? 2 2 x ? 32 x ? ? ? (n ? 1) 2 x ? a ? n 2 x ] (? 0 ? a ? 1 )
1 1 )an ? n . ( I ) 用数学归纳法证明 an ? 2(n ? 2) ; ( II ) 对 ln(1 ? x) ? x 对 n2 ? n 2 x ? 0 都成立,证明 an ? e2 (无理数 e ? 2.71828? ) (05 年辽宁卷第 22 题)
例 6 已知 a1 ? 1, an ?1 ? (1 ?

( II ) 结合第 ( I ) 问结论及所给题设条件 ln(1 ? x) ? x ( x ? 0 )的结构特征,可得放缩思路: 1 1 1 1 a n ?1 ? (1 ? 2 ? n )a n ? ln a n ?1 ? ln(1 ? 2 ? ) ? ln a n ? n ?n 2 n ? n 2n 1 1 1 1 ? ln a n ? 2 ? n 。于是 ln a n ?1 ? ln a n ? 2 ? n, n ?n 2 n ?n 2
解析
n ?1 i ?1

?

(ln ai ?1 ? ln ai ) ? ?
i ?1

n ?1

1 1 1 ( 2 ? i ) ? ln a n ? ln a1 ? 1 ? ? n i ?i 2

1 1 ? ( ) n ?1 1 1 2 ? 2 ? ? n ? 2. 1 n 2 1? 2



ln an ? ln a1 ? 2 ? an ? e 2 .

注:题目所给条件 ln(1 ? x) ? x ( x ? 0 )为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;

当然,本题还可用结论 2 n ? n(n ? 1)(n ? 2) 来放缩: 1 1 1 a n ?1 ? (1 ? )a n ? ? a n ?1 ? 1 ? (1 ? )(a n ? 1) ? n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) 1 1 ln(a n ?1 ? 1) ? ln(a n ? 1) ? ln(1 ? )? . n(n ? 1) n(n ? 1) n ?1 n ?1 1 1 ? ?[ ln(ai ?1 ? 1) ? ln(ai ? 1)] ? ? ? ln(a n ? 1) ? ln(a 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 , i ( i ? 1 ) n i ?2 i ?2 即 ln(an ? 1) ? 1 ? ln 3 ? an ? 3e ?1 ? e 2 . 例 7 已知不等式

1 1 1 1 ? ? ? ? ? [log 2 n], n ? N ? , n ? 2.[log 2 n] 表示不超过 log2 n 的最大整数。设 2 3 n 2
2

正数数列 {an } 满足: a1 ? b(b ? 0), an ? 求证 a n ?

nan?1 , n ? 2. n ? an?1

2b , n ? 3. (05 年湖北卷第(22)题) 2 ? b[log2 n]

简析 当 n ? 2 时 an ?

??
k ?2

n

nan?1 1 1 1 1 n ? an?1 1 1 ? ? ? ? ? ? ,即 a n a n ?1 n n ? an?1 an an?1 an?1 n n 1 1 1 1 1 1 2b ( ? ) ? ? . 于是当 n ? 3 时有 ? ? [log2 n] ? a n ? . a k ak ?1 a n a1 2 2 ? b[log2 n] k ?2 k

注:①本题涉及的和式 1 ? 1 ? ? ? 1 为调和级数,是发散的,不能求和;但是可以利用所给题设结论 2 3 n 1 1 1 1 ? ? ? ? ? [log 2 n] 来进行有效地放缩; 2 3 n 2 ②引入有用结论在解题中即时应用,是近年来高考创新型试题的一个显著特点,有利于培养学生的 学习能力与创新意识。

1 n ) ,求证:数列 {an } 单调递增且 a n ? 4. n 解析 引入一个结论:若 b ? a ? 0 则 b n?1 ? a n?1 ? (n ? 1)b n (b ? a) (证略)
例 8 设 a n ? (1 ?

1 1 整 理 上 式 得 a n?1 ? b n [(n ? 1)a ? nb]. ( ? ) , 以 a ? 1? ,b ? 1? 代 入 ( ? ) 式 得 n ?1 n 1 n ?1 1 (1 ? ) ? (1 ? ) n . 即 {an } 单调递增。 n ?1 n 1 n 1 1 1 以 a ? 1, b ? 1 ? 代入( ? )式得 1 ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) 2 n ? 4. 2n 2 2n 2n 1 n 此式对一切正整数 n 都成立,即对一切偶数有 (1 ? ) ? 4 ,又因为数列 {an } 单调递增,所以对一切 n 1 正整数 n 有 (1 ? ) n ? 4 。 n

1 n ) ? 3. 简证如下: n 1 1 1 1 2 n 1 利用二项展开式进行部分放缩: a n ? (1 ? ) n ? 1 ? C n ? ? Cn ? 2 ? ? ? Cn . n n n nn 1 1 只取前两项有 a n ? 1 ? C n ? ? 2. 对通项作如下放缩: n 1 n n ?1 n ? k ?1 1 1 1 k 1 Cn ? ? ? ?? ? ? ? k ?1 . k k! n n n k! 1 ? 2 ? 2 2 n 1 1 1 1 1 ? (1 / 2) n ?1 故有 a n ? 1 ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? 2 ? ? ? 3. 2 2 2 1 ? 1/ 2 2 ② 上述数列 {an } 的极限存在,为无理数 e ;同时是下述试题的背景: 已知 i, m, n 是正整数,且
注:①上述不等式可加强为 2 ? (1 ?
n m i i i i 1 ? i ? m ? n. (1)证明 n Am ? m An ; (2)证明 (1 ? m) ? (1 ? n) . (01 年全国卷理科第 20 题)
1 n

简析 对第(2)问:用 1 / n 代替 n 得数列 {bn } : bn ? (1 ? n) 是递减数列;借鉴此结论可有如下简捷证
n m 法:数列 {(1 ? n) } 递减,且 1 ? i ? m ? n, 故 (1 ? m) ? (1 ? n) , 即 (1 ? m) ? (1 ? n) 。当然,本题每 小题的证明方法都有 10 多种,如使用上述例 4 所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题” 概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决!详见文[1]。

1 n

1 m

1 n

二 部分放缩
3

1 1 1 ? a ? ? ? a , a ? 2. 求证: a n ? 2. a 3 n 2 1 1 1 1 1 1 解析 a n ? 1 ? a ? a ? ? ? a ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 . 又 k 2 ? k ? k ? k (k ? 1), k ? 2 (只将其中一个 k 变 3 n 2 3 n 2 1 1 1 1 成 k ? 1 ,进行部分放缩) ,? 2 ? ? ? , k (k ? 1) k ? 1 k k 1 于是 a n ? 1 ? 12 ? 12 ? ? ? 12 ? 1 ? (1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? ( 1 ? 1 ) ? 2 ? ? 2. n 2 2 3 n ?1 n 2 3 n 2 例 10 设数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? nan ? 1?n ? N ? ? ,当 a1 ? 3 时证明对所有 n ? 1, 有 (i)an ? n ? 2 ;
例 9 设 an ? 1 ?

(ii)

1 1 1 1 ? ??? ? (02 年全国高考题) 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an 2
解析 (i ) 用数学归纳法:当 n ? 1 时显然成立,假设当 n ? k 时成立即 ak ? k ? 2 ,则当 n ? k ? 1 时

ak ?1 ? ak (ak ? k ) ? 1 ? ak (k ? 2 ? k ) ? 1 ? (k ? 2) ? 2 ? 1 ? k ? 3 ,成立。 (ii ) 利 用 上 述 部 分 放 缩 的 结 论 ak ?1 ? 2ak ? 1 来 放 缩 通 项 , 可 得 1 1 ak ?1 ? 1 ? 2(ak ? 1) ? a k ? 1 ? ? ? 2 k ?1 (a1 ? 1) ? 2 k ?1 ? 4 ? 2 k ?1 ? ? k ?1 . ak ? 1 2 1 1? ( ) n n n 1 1 1 2 ? 1. ? ? i ?1 ? ? ? 1 4 2 2 i ?1 1 ? a i i ?1 1? 2 注: 上述证明 (i ) 用到部分放缩, 当然根据不等式的性质也可以整体放缩: ak ?1 ? (k ? 2)(k ? 2 ? k ) ? 1 ? k ? 3 ; 证明 (ii ) 就直接使用了部分放缩的结论 ak ?1 ? 2ak ? 1 。

三 添减项放缩
上述例 4 之法 2 就是利用二项展开式进行减项放缩的例子。 8 例 11 设 n ? 1, n ? N ,求证 ( 2 ) n ? . 3 (n ? 1)(n ? 2)
n n n 简析 观察 ( ) 的结构,注意到 ( ) ? (1 ? ) ,展开得

1 1 1 n n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2) ? 6 , 1 1 2 3 (1 ? ) n ? 1 ? C n ? ? Cn ? 2 ? Cn ? 3 ?? ? 1? ? ? 2 2 2 8 8 2 2 1 ( n ? 1 )( n ? 2 ) 即 (1 ? ) n ? ,得证.
2 8

2 3

3 2

1 2

例 12 设数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?1 ? an ? (Ⅱ)令 bn ?
an n

1 (n ? 1,2,?). (Ⅰ)证明 an ? 2n ? 1 对一切正整数 n 成立; an

(n ? 1,2,?) ,判定 bn 与 bn ?1 的大小,并说明理由(04 年重庆卷理科第(22)题)

简析 本题有多种放缩证明方法,这里我们对(Ⅰ)进行减项放缩,有
2 法 1 用数学归纳法(只考虑第二步) a 2 k ?1 ? ak ?2?

1 ? 2k ? 1 ? 2 ? 2(k ? 1) ? 1 ; 2 ak

法2

2 a 2 n ?1 ? a n ?2?

1 2 2 2 ,2,?, n ? 1. ? an ? 2 ? ak ?1 ? ak ? 2, k ? 1 2 an

2 2 则 an ? a12 ? 2(n ? 1) ? an ? 2n ? 2 ? 2n ? 1 ? an ?

2n ? 1

4


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