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2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(广东.文)含详解 (2)


2009 年普通高等学校招生全国统一考试(广东 A 卷) 数学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填 写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答 题卡右上角“条形码粘贴处” 。 2. 选择

题每小题选出答案后,用 2B 铅笔将答题卡上对应题目悬想的答案信息点涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3. 费选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡个项目指定区域内相应 位置上;如需改动,先花掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。 4. 作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,在作答。漏涂、错涂、多 涂的,答案无效。 5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式: 锥体的体积公式 V= S h ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高。
3 1

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知全集 U=R,则正确表示集合 M={—1,0,1}和 N={ x x ? 1 ? 0 }关系的韦恩(Venn)
2

图是

2.下列 n 的取值中,使 in =1(i 是虚数单位)的是 A.n=2 B.n=3 C.n=4 D.n=5

3.已知平面向量 a =(x,1),b =(—x,x2 ),则向量 a+b A.平行于 x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线

C.平行于 y 轴

D.平行于第二、四象限的角平分线

4.若函数 y= f ( x ) 是函数 y= a x ? a> 0, 且 a ? 1 ? 的反函数,且 f (2)=1 ,则 f ( x )= A. lo g 2 x B.
1 2
x

C. log 1 x
2

D. 2 x ? 2

5.已知等比数列 ? a n ? 的公比为正数,且 a 3 ? a 9 ? 2 a 5 , a 2= 1 ,则 a1=
2

A.

1 2

B.

2 2

C.

2

D. 2

6.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。 其中,为真命题的是 A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④

7 . 已 知 ? A B C 中 , ? A, ? B, ? C 的 对 边 分 别 为 a , b , c 。 若 a= c= 6+ 2 , 且
? A= 75 ,则 b =
?

A.2

B. 4+ 2 3
x

C. 4- 2 3

D. 6- 2

8.函数 f ( x ) ? ( x ? 3) e 的单调递增区间是 A. ? ?? , 2 ? 9.函数 y ? 2 cos ? x ?
2

B. (0,3)
? ?

C. (1,4)

D. ? 2, ?? ?

? ?

? ?1是 4?

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为
?
2

B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为
?
2

的奇函数

的偶函数

10.广州 2010 年亚运会火炬传递在 A,B,C,D,E 五个城市之间进行,各城市之间的路线距 离(单位:百公里)见右表。若以 A 为起点,E 为终点,每个城市经过且只经过一次,那么火 炬传递的最短路线距离是

A.20.6

B.21

C.22

D.23

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 (一)必做题(11~13 题) 11.某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示:

图 1 是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图,则图中判断框应填 ,输出的 s = 。

(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“ ? ”或“:=”) 12.某单位 200 名职工的年龄分布情况如图 2,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽样
? 196~200 法, 将全体职工随机按 1~200 编号, 并按编号顺序平均分为 40 组(1~5 号, 6~10 号, ,

号)。若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是 则 40 岁以下年龄段应抽取 人。

。若用分层抽样方法,

13.以点(2,-1)为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是_______________________。 (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选作一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)若直线 { y ? 2 ? 3 t . ( t 为参数)与直线 则常数 k =________。
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

x ?1? 2 t ,

4 x ? ky ? 1 垂直,

o 15.(几何证明选讲选做题)如图 3,点 A,B,C 是圆 O 上的点,且 A B ? 4 , ? ACB ? 30 ,

则圆 O 的面积等于__________________。

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16. (本小题满分 12 分)
? ? ? 已知向量 a= ? sin ? ,- 2 ? 与 b= ?1, ? ? 互相垂直,其中 ? = ? 0, ? . cos ? 2?

(1) 求 sin ? 和 co s ? 的值; (2) 若 5 co s ? ? - ? ? = 3 5 co s ? , 0< ? <
?
2

,求 cos ? 的值。

17. (本小题满分 13 分) 某高 速 公 路收 费 站入 口 处 的 安 全标 识 墩 如图 4 所示 。 墩 的上 半 部分 是 正 四 棱锥
P ? E F G H ,下半部分是长方体 A B C D ? E F G H 。图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视

图和俯视图。 (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图; (2)求该安全标识墩的体积; (3)证明:直线 B D ? 平面 P E G .
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

18. (本小题满分 13 分) 随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm) ,获得身高数据 的茎叶图如图 7。

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;

w.w.w.k.s.5.u.c. o. m

(2)计算甲班的样本方差; (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身高为 176cm 的同学被抽中的概率。
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 G 的中心在坐标原点, 长轴在 x 轴上, 离心率为
2 2

3 2

, 两个焦点分别为 F

1

和 F2 ,

椭圆 G 上一点到 F1 和 F 2 的距离之和为 12。 C k :x ? y ? 2 ky ? 4 y ? 21 ? 0( k ? R ) 的圆心 圆 为点 Ak 。 (1)求椭圆 G 的方程; (2)求 ? Ak F1 F2 面积; (3)问是否存在圆 C k 包围椭圆 G?请说明理由。
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

20. (本小题满分 14 分)
x 已知点 (1, ) 是函数 f ( x ) ? a ( a ? 0, 且 a ? 1) 的图像上一点。等比数列 ? a n ? 的前 n 项和

1

3

为 f (n) ? c 。 数列 ? bn ? ( bn ? 0) 的首项为 c, 且前 n 项和 s n 满足 s n ? s n ?1 ? (1)求数列 ? a n ? 和 ? bn ? 的通项公式;
w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

sn ?

s n ? 1 ( n≥ 2)

? 1 ? 1000 (2)若数列 ? 的最小正整数 n 是多少? ? 的前 n 项和为 T n ,问满足 T n > 2009 ? bn bn ? 1 ?

21. (本小题满分 14 分)

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

已知二次函数 y ? g ( x )

的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g ( x ) 在 x ? ? 1 处
g (x) x

取得极小值 m ? 1( m ? 0) 。设函数 f ( x ) ?



w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

(1)若曲线 y ? f ( x ) 上的点 p 到点 Q (0, 2) 的距离的最小值为 2 ,求 m 的值; (2) k ( k ? R ) 如何取值时,函数 y ? f ( x ) ? kx 存在零点,并求出零点。

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科) 参考答案
一、选择题 1-10 BCCAB DADAB

1、 【解析】由 N= { x |x 2 +x=0} { ? 1, 0} 得 N ? M ,选 B. 2、 【解析】因为 i 4 ? 1 ,故选 C.
2 3、 【解析】 a ? b ? (0,1 ? x ) ,由 1 ? x 2 ? 0 及向量的性质可知,C 正确.

4、 【解析】函数 y ? a( a >0, 且 a ? 1) 的反函数是 f ( x ) ? log a x ,又 f (2) ? 1 ,即 log a 2 ? 1 ,
x

所以, a ? 2 ,故 f ( x ) ? log 2 x ,选 A. 5、 【解析】设公比为 q ,由已知得 a1 q ? a1 q ? 2 ? a1 q
2 8 4

?

2

,即 q ? 2 ,因为等比数列 { a n } 的公比为
2

正数,所以 q ?

2 ,故 a1 ?

a2 q

?

1 2

?

2 2

,选 B

6、 【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选 D 7、 【解析】 sin A ? sin 75 ? sin(30 ? 45 ) ? sin 30 cos 45 ? sin 45 cos 30 ?
0 0 0 0 0 0 0

2? 4

6

由 a=c= 6 ?

2 可知, ? C ? 75 ,所以 ? B ? 30 , sin B ?
0 0

1 2

由正弦定理得 b ?

a sin A

? sin B ?

2? 2? 4

6 6

?

1 2

? 2 ,故选 A

? 8、 【解析】 f ?( x ) ? ( x ? 3) ?e x ? ( x ? 3) ? e x ? ? ( x ? 2) e x ,令 f ?( x ) ? 0 ,解得 x ? 2 ,故选 D

9、 【解析】因为 y ? 2 cos ( x ?
2

?

2? ? ? ? ? ? ,所以选 ) ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x 为奇函数, T ? 2 4 2? ?

A. 10、 【解析】由题意知,所有可能路线有 6 种: ① A? B?C ? D ? E ,② A? B? D ? C ? E ,③ A?C ? B? D ? E ,④
A ? C ? D ? B ? E ,⑤ A ? D ? B ? C ? E ,⑥ A ? D ? C ? B ? E ,

其中, 路线③ A ? C ? B ? D ? E 的距离最短, 最短路线距离等于 4 ? 9 ? 6 ? 2 ? 2 1 ,

故选 B. 二、填空题 11、 【答案】 i ? 6 , a1 ? a 2 ? ? ? a 6 【解析】顺为是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图,所图中判 断框应填 i ? 6 ,输出的 s= a1 ? a 2 ? ? ? a 6 . 12、 【答案】37, 20 【解析】由分组可知,抽号的间隔为 5,又因为第 5 组抽出的号码为 22,所以第 6 组抽出的号码 为 27,第 7 组抽出的号码为 32,第 8 组抽出的号码为 37. 40 岁以下年龄段的职工数为 2 0 0 ? 0 .5 ? 1 0 0 ,则应抽取的人数为 13、 【解析】将直线 x ? y ? 6 化为 x ? y ? 6 ? 0 ,圆的半径 r ?
25
w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

40 200

? 100 ? 20 人.

| 2 ?1? 6 | 1?1

?

5 2

,所以圆的方程

为 ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ?
2 2

2

14、 【答案】 ? 6 【解析】将 ?
? x ? 1 ? 2t ? y ? 2 ? 3t

化为普通方程为 y ? ?

3 2

x?

7 2

,斜率 k 1 ? ?
? ?

3 2

,

当 k ? 0 时,直线 4 x ? ky ? 1 的斜率 k 2 ? ? 当 k ? 0 时,直线 y ? ? 综上可知, k ? ? 6 . 15、 【答案】 1 6 ?
3 2 x? 7 2

4 k

,由 k1 k 2 ? ? ?

3? ? 4? ? ? ? ? ? ? ?1 得 k ? ?6 ; 2? ? k ?

与直线 4 x ? 1 不垂直.

【解析】 连结 AO,OB,因为 ? ACB ? 30 ,所以 ? AOB ? 60 , ? A O B 为等边三角形,故圆 O 的半
o o 2 径 r ? O A ? A B ? 4 ,圆 O 的面积 S ? ? r ? 16? .

三、解答题 16、 【解析】 (1) Q a ? b ,? a gb ? sin ? ? 2 cos ? ? 0 ,即 sin ? ? 2 co s ? 又∵ sin ? ? cos ? ? 1 ,
2 2 2 ∴ 4 cos ? ? cos ? ? 1 ,即 co s ?
2

v

v

v v

1 5

,∴ sin ? ?
2

4 5



? ? (0,

?
2

) ? sin ? ?

2 5 5

, cos ? ?

5 5

(2) ∵ 5 cos(? ? ? ) ? 5(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ?
2 2 2

5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos ?
2

? cos ? ? sin ? ,? cos ? ? sin ? ? 1 ? cos ? ,即 co s ? ?

1 2

又 0?? ?

?
2

, ∴ cos ? ?

2
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

2

17、 【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

(2)该安全标识墩的体积为: V ? V P ? E F G H ? V A B C D ? E F G H
? 1 3 ? 40 ? 60 ? 40 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000
2 2

? cm ?
2

(3)如图,连结 EG,HF 及 BD,EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知, P O ? 平面 EFGH , ? P O ? H F ? H F ? 平面 PEG 又 EG ? HF 又 BD P HF
? B D ? 平面 PEG;
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

18、 【解析】 由茎叶图可知: (1) 甲班身高集中于 1 6 0 : 1 7 9 之间, 而乙班身高集中于 1 7 0 : 1 8 0 之间。因此乙班平均身高高于甲班; (2) x ?
158 ? 162 ? 163 ? 168 ? 168 ? 170 ? 171 ? 179 ? 179 ? 182 10 ? 170

甲班的样本方差为
? ?1 7 0? 1 7 0 ? ? ?
2

1 10

[(158 ? 170) ? ?162 ? 170 ? ? ?163 ? 170 ? ? ?168 ? 170 ? ? ?168 ? 170 ?
2 2 2 2

2

171 ?

0 ? 1 7??
2

?79 1 ?

2

? 1?7 0

?? 1 7? 9 ? 1 7 0 ? =57 2 ? 18
2 2

170

]

(3)设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A; 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有: (181,173) (181,176) (181,178) (181,179) (179,173) (179,176) (179,178) (178,173) (178, 176) (176,173)共 10 个基本事件,而事件 A 含有 4 个基本事件;
? P ? A? ? 4 10 ? 2 5


x a
2 2

19、 【解析】 (1)设椭圆 G 的方程为:

?

y b

2 2

?1

( a ? b ? 0 )半焦距为 c;

? 2a ? 12 ? a?6 ? ? 则? c , 解得 ? , ? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 36 ? 27 ? 9 3 ?c ? 3 3 ? ? ? 2 ?a

所求椭圆 G 的方程为: (2 )点 A K 的坐标为 ? ? K , 2 ?
S V AK F1 F2 ? 1 2 ? F1 F 2 ? 2 ? 1 2

x

2

?

y

2

?1.

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

36

9

?6 3?2 ? 6 3

2 2 (3)若 k ? 0 ,由 6 ? 0 ? 12 k ? 0 ? 21 ? 5 ? 12 k f 0 可知点(6,0)在圆 C k 外,

2 2 若 k ? 0 ,由 ( ? 6) ? 0 ? 12 k ? 0 ? 21 ? 5 ? 12 k f 0 可知点(-6,0)在圆 C k 外;

? 不论 K 为何值圆 C k 都不能包围椭圆 G.

20、 【解析】 (1) Q f ? 1 ? ? a ?
a1 ? f ? 1 ? ? c ? 1

1

?1? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ?3?

x
w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

2 ? c , a 2 ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? f ?1 ? ? c ? ? ? , ? ? ? ? 3 9 2 a3 ? ? f ? 3 ? ? c ? ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? . ? ? ? ? 27

4

又数列 ? a n ? 成等比数列, a1 ?

a

2 2

?

a3

81 ? ? 2 ? 1 ? c ,所以 c ? 1 ; 2 3 3 ? 27
n ?1

又公比 q ?

a2 a1

?

1 3

,所以 a n ? ?

2?1? ? ? 3?3?

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n

n? N

*



Q S n ? S n ?1 ?

?

Sn ?

S n ?1

??

Sn ?

S n ?1 ?

?

Sn ?

S n ?1

?n ? 2?

又 bn ? 0 , S n ? 0 , ? 数列

Sn ?

S n ?1 ? 1 ;
2

?

S n 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列, S n ? 1 ? ? n ? 1 ? ? 1 ? n , S n ? n
2

?

2 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1 ? ? 2 n ? 1 ;

? bn ? 2 n ? 1 ( n ? N );
*

(2) T n ?

1 b1b 2

?

1 b 2 b3

?

1 b3 b 4 1 ? 3

?L ?

1 bn bn ?1

?

1 1? 3

?

1 3? 5

?

1 5?7

?K ?

1 (2 n ? 1) ? ? 2 n ? 1 ?

?

1? 1? 1 ? ?1 ? ? ? ? 2? 3? 2 ?

?1 ?? ?5

?1 1 ? 1 ? ? ??K ? ?2 5 ? 7

1 ? 1 ? 1 ? ? ? 2 ? ? n ? 2 n1 ?2

1

?

1? 1 ? n ; ?1 ? ?? 2? 2n ? 1 ? 2n ? 1

w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

由 Tn ?

n 2n ? 1

?

1000 2009

得n ?
2

1000 9

,满足 T n ?

1000 2009

的最小正整数为 112.

21、 【解析】 (1)设 g ? x ? ? ax ? bx ? c ,则 g ? ? x ? ? 2 ax ? b ; 又 g ? ? x ? 的图像与直线 y ? 2 x 平行 又 g ? x ? 在 x ? ? 1 取极小值,
? g ? ?1 ? ? a ?b ?c 1? 2 ?
f ?x? ? g ? x? x m x
2

? 2a ? 2

a ?1

?

b 2

? ? 1



b?2

? c

? ,? m 1

c?m;

? x?

?2,

设 P ? xo , y o ?
2

则 PQ

2

? x ? ? y0 ? 2 ?
2 0

2 ? m m ? 2 2 ? 2 x0 ? 2 ? 2 ? 2 2 m ? 2 ? x ? ? x0 ? ? x0 x0 ? ?

2 0

?2

2m

2

? 2? 4

m ??
m x

2 2



w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

(2)由 y ? f ? x ? ? kx ? ? 1 ? k ? x ? 得

?2? 0,

?1 ? k ? x 2 ? 2 x ? m ? 0
m 2

?*?
,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ?
m 2

当 k ? 1 时,方程 ? * ? 有一解 x ? ?



当 k ? 1 时,方程 ? * ? 有二解 ? ? ? 4 ? 4 m ?1 ? k ? ? 0 ,若 m ? 0 , k ? 1 ? 函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ?
?2 ? 4 ? 4 m ?1 ? k ? 2 ?1 ? k ? ?2 ? 1? 1 ? m ?1 ? k ? k ?1 1?

1 m



?

;若 m ? 0 ,

k ? 1?

1 m

,函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ?

4 ? 4 m ?1 ? k ? 2 ?1 ? k ?

?

1 ? m ?1 ? k ? k ?1



当 k ? 1 时 , 方 程 ? * ? 有 一 解 ? ? ? 4 ? 4m ? 1 k ? ? ?
y ? f? x? ? k有一零点 x ? x
1 k ?1
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

0,

k ? 1?

1 m

, 函数


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