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高三数学导数与三角函数和数列 2


题型三:导数与三角函数综合
【例1】 设函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4t sin 2

x 3 ? t ? 3t ( x ? R) ,其中 | t |≤1 ,将 f ( x) 的最小值记为 g (t ) ,则 2


函数 g (t ) 在下面哪个区间上单调递增( A. (??, ? ) ? (1, ?

?)

【例2】 将函数 y ? 4 ? 6 x ? x 2 ? 2 ? x ? ? 0 ,6?? 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角 ? ? 0 ≤ ? ≤ ? ? ,得

1 3

B. [?1, ? ]

1 3

C. ( , ??)

1 3

D. [ ,1]

1 3

到曲线 C .若对于每一个旋转角 ? ,曲线 C 都是一个函数的图像,则 ? 的最大值为
【例3】 已知函数 f ( x) ?
a ? 2cos x ? π? 在 ? 0 , ? 内是增函数,求 a 的取值范围. 3sin x ? 2?



1 【例4】 求证:方程 x ? sin x ? 0 只有一个根 x ? 0 . 2

【例5】 设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(?π ? ? ? 0) , y ? f ( x) 图象的一条对称轴是直线 x ?

π . 8

⑴求 ? ;⑵求函数 y ? f ( x) 的单调增区间; ⑶证明直线 5x ? 2 y ? c ? 0 与函数 y ? f ( x) 的图象不相切.
? ? ? ? x ? x π ?? ? ? ? x π? ? x π ?? 【例6】 已知向量 a ? ? 2cos , tan ? ? ? ? , b ? ? 2 sin ? ? ? , tan ? ? ? ? ,令 f ( x) ? a ? b ,是否存在 2 ? 2 4 ?? ?2 4? ? 2 4 ?? ? ?

实数 x ?[0 , .若存在,则求出 x 的值;若 π] ,使 f (x) ? f ? (x) ? 0 (其中 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数) 不存在,则证明之.
【例7】 设 f ? x ? ? e x ? ax 2 ? x ? 1? ,且曲线 y ? f ? x ? 在 x ? 1 处的切线与 x 轴平行.

⑴ 求 a 的值,并讨论 f ? x ? 的单调性; ⑵ 证明:当 ? ? ?0 , ? 时, f ? cos? ? ? f ? sin? ? ? 2 . 2? ?
【例8】 已知:在函数 f ( x) ? mx3 ? x 的图象上,以 N (1 , n) 为切点的切线的倾斜角为
π . 4
? π?

⑴求 m , n 的值; ⑵是否存在最小的正整数 k ,使得不等式 f ( x) ≤ k ? 1994 对于 x ?[?1, 3] 恒成立?如果存在, 请求出最小的正整数 k ;如果不存在,请说明理由. ⑶求证: | f (sin x) ? f (cos x) |≤ 2 f ? t ?
? ? 1? . ? ( x?R , t ? 0 ) 2t ?

【例9】 已知函数 f ( x) ? e x ? (ax2 ? 2 x ? 2) , a ? R 且 a ? 0 .

⑴若曲线 y ? f ( x) 在点 P(1,f (1)) 处的切线垂直于 y 轴,求实数 a 的值; ⑵当 0 ? a ≤ 2 时,求函数 f (| cos x |) 的最大值和最小值. ⑶当 a ? 2 时,求函数 f (| cos x |) 的最大值和最小值.
【例10】 设函数 f ( x) ? x sin x ( x ? R) .

⑴证明 f ( x ? 2kπ) ? f ( x) ? 2kπ sin x ,其中为 k 为整数; ⑵设 x0 为 f ( x) 的一个极值点,证明 [ f ( x0 )]2 ?
x0 4 ; 1 ? x0 2

⑶设 f ( x) 在 (0 , a2 , ?, an , ?, ? ?) 内的全部极值点按从小到大的顺序排列 a1 , 证明:
π ? an?1 ? an ? π (n ? 1, 2, ?) 2
1

【例11】 已知函数 f ? x ? ? 4 x3 ? 3x2 cos? ?

3 cos? ,其中 x ? R , ? 为参数,且 0 ≤? ≤ 2π . 16 ⑴当 cos? ? 0 时,判断函数 f ? x ? 是否有极值;

⑵要使函数 f ? x ? 的极小值大于零,求参数 ? 的取值范围; ⑶若对⑵中所求的取值范围内的任意参数 ? ,函数 f ? x ? 在区间 ? 2a ? 1, a ? 内都是增函数,求 实数 a 的取值范围.
【例12】 已知函数 f ( x) ? 4 x3 ? 3x 2 cos? ?
1 π ,其中 x ? R , ? 为参数,且 0 ≤? ≤ . 32 2 ⑴当 cos? ? 0 时,判断函数 f ( x) 是否有极值;

⑵要使函数 f ( x) 的极小值大于零,求参数 ? 的取值范围; ⑶若对⑵中所求的取值范围内的任意参数 ? ,函数 f ( x) 在区间 (2a ? 1, a) 内都是增函数,求 实数 a 的取值范围.

题型四:导数与数列综合
【例13】 已知函数 f ( x) ? x ? sin x ,数列 ?an ? 满足: 0 ? a1 ? 1 , an ?1 ? f (an ) , n ? 1, 2, 3, ?.
1 3 证明:⑴ 0 ? an ?1 ? an ? 1 ; ⑵ an ?1 ? an . 6 【例14】 已知数列 {an } 的通项 an ? 8n2 ? n3 , n ? N? ,求数列 {an } 的最大项.

【例15】 共有 50 项的数列 {an } 的通项 an ?

79 ? n 80 ? n

,求该数列中最大项与最小项.

【例16】 设数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 ? ? n(n ? N? ) , 且 {an } 满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ? ? , 求实数 ?

的取值范围.
3 【例17】 已知数列 {an } 满足: 2an ?1 ? ?an ? 3an , n ? N? ,且 a1 ? (0 , 1) ,求证: 0 ? an ? 1 .

【例18】 各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,函数 f ( x) ?

1 2 px ? ( p ? q) x ? q ln x , 2

2Sn )(n ? N? ) (其中 p 、q 均为常数, 且 p?q?0) , 当 x ? a1 时, 函数 f ( x) 取得极小值, 点 (an ,

q 均在函数 y ? 2 px2 ? ? f ?( x) ? q 的图象上, (其中 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数) x ⑴求 a1 的值;

⑵求数列 {an } 的通项公式; ⑶记 bn ?
4Sn ? q n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . n?3

【例19】 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 5 ,前 n 项和为 S n ,且 Sn?1 ? 2Sn ? n ? 5(n ? N* )

⑴证明数列 ?an ? 1? 是等比数列; ⑵ 令 f ( x) ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n , 求 函 数 f ( x) 在 点 x ? 1 处 的 导 数 f ?(1) , 并 比 较 2 f ? (1)与
23n2 ? 13n 的大小.

【例20】 已知 a 是给定的实常数, 设函数 f ( x) ? ( x ? a)2 ( x ? b)e x ,b ? R ,x ? a 是 f ( x) 的一个极大值点.

⑴求 b 的取值范围; ⑵设 x1 , x2 , x3 是 f ( x) 的 3 个极值点,问是否存在实数 b ,可找到 x4 ? R ,使得 x1 , x2 , x3 , x4 的某种排列 xi , xi , xi , xi (其中 {i1 , i2 , i3 , i4 } ? {1, 2, 3, 4} )依次成等差数列?若存
1 2 3 4

在,求所有的 b 及相应的 x4 ;若不存在,说明理由.

2


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