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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 概念辨析正弦、余弦的诱导公式例题讲解素材 北师大版必修4


正弦、余弦的诱导公式概念辨析
公式二: sin(180?+ ? )=-sin ? cos(180?+ ? )=-cos ? 用弧度制可表示如下: sin(π + ? )=-sin ? cos(π + ? )=-cos ? 它刻画了角 180?+ ? 与角 ? 的正弦值(或余弦值)之间的关系,这个关系是:以角 ? 终 边的反向延长线为终边的角的正弦值(或余弦值)与角 ?

的正弦值(或余弦值)是一对相 反数.这是因为若设 ? 的终边与单位圆交于点 P( x,y),则角 ? 终边的反向延长线,即 180 ?+ ? 角的终边与单位圆的交点必为 P?(-x,-y)(如图 4-5-1) .由正弦函数、余弦函数的定 义,即可得 sin ? =y, cos ? =x, sin(180?+ ? )=-y, cos(180?+ ? )=-x,
P(x,y) M y

∴sin(180?+ ? )=-sin ? ,cos(180?+ ? )=-cos ? .

180 ? ? ?

?

M′ x P′(-x, -y)

O

公式三: sin(- ? )= -sin ? cos(- ? )= cos ? 它说明角- ? 与角 ? 的正弦值互为相反数,而它们的余弦值相等.这是因为,若没 ? 的 终边与单位圆交于点 P(x,y),则角- ? 的终边与单位圆的交点 必为 P?(x,-y)(如图 4-5-2) .由正弦函数、余弦函数的定义, 即可得 sin ? =y, cos ? =x,
M
O

(4-5-1)

y P(x,y)

?
??
x

sin(- ? )=-y, cos(- ? )=x, 所以:sin(- ? )= -sin ? , cos(- ? )= cosα 公式二、三的获得主要借助于单位圆及正弦函数、余弦函数
P′(x, -y)

(4-5-2)

的定义.根据点 P 的坐标准确地确定点 P?的坐标是关键,这里充分利用了对称的性质.事 实上,在图 1 中,点 P?与点 P 关于原点对称,而在图 2 中,点 P?与点 P 关于 x 轴对称.直 观的对称形象为我们准确写出 P?的坐标铺平了道路,体现了数形结合这一数学思想的优越

1

性. 2.关于公式四和公式五 公式四是: cos(180?- ? )=-cos ? 用弧度制可表示如下: cos(π - ? )=-cos ? 公式五是: cos(360?- ? )=cos ? 用弧度制可表示如下: cos(2π - ? ) =cos ? 这两组公式均可由前面学过的诱导公式直接推出(公式四可由公式二、三推出,公式五 可由公式一、三推出) ,体现了把未知问题化为已知问题处理这一化归的数学思想.公式的 推导并不难,然而推导中的化归意识和策略是值得我们关注的. 3.关于用一句话概括五组诱导公式的问题 五组诱导公式可概括为:? +k·360?(k∈Z) ,- ? ,180?± ? ,360?- ? 的三角函数值, 等于 ? 的同名函数值,前面加上一个把 ? 看成锐角时原函数值的符号. 这里的“同名三角函数值”是指等号两边的三角函数名称相同; “把 ? 看成锐角”是指 “前面加上一个??符号”是指 ? 的同名函 ? 原本是任意角,这里只是把它视为锐角处理; 数值未必就是最后结果,前面还应添上一个符号(正号或负号,主要是负号,正号可省略) , 而这个符号是把任意角 ? 视为锐角情况下的原角原函数的符号. 教学时应注意讲清这句话中每一词语的含义,特别要讲清为什么要把任意角α 看成锐 角.建议通过实例分析说明. sin(2π - ? )=-sin ? sin(360?- ? )=-sin ? sin(π - ? )=sin ? sin(180?- ? )=sin ?

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