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例析数列通项求法论文


例析数列通项的若干求法 求数列通项的方法与技巧,在数列的学习与运用中有着十分重 要的地位.在学习中观察归纳法、定义公式法、由? a ? n ? s ? b 和的关系求 a ? n、累加法、累乘法等都是常用方法.现一一例 析如下.? 1.观察归纳法.根据给出数列的前几项观察分析得出规律,从而 总结出数列的通项公式.? 例 1. 根据给出数列的前几项, 写出下列各数列的一个通项公式. ? (1)? 1-12,12-13,13-14,14-15,……;?(2)?-2-32, 4-34,-8-38,16-316,……?? 分析: (1)每一项按序号观察,可以看出此数列每一项都与相应 序号有关,? a ? n=1n-1n+1=1n(n+1)?; (2)该数列奇数项都是 负项,偶数项都是正项,这与符号因子?(-1)? n ?有关.各项的 分母依次是 2 ? 1,2 ? 2,2 ? 3,2 ? 4,……,分子依次是 2 ? 1-3,2 ? 2-3,2 ? 3-3,2 ? 4-4,…….因此,? a ? n=(-1) ? n2 ? n-32 ? n ?.? 2.定义公式法.如果告诉数列?{a ? n}?是一个等差或等比数 列, 或者根据数列的特点, 可以判定该数列是一个等差或等比数列, 则直接利用等差或等比数列的通项公式写出所求的数列的通项.? 例 2. (1)若数列?{a ? n}?中? a ? 1=1,3a ?? n+1 ?=3a ? n+1 ?,求数列?{a ? n}?的通项公式; (2)若数列?{a ? n} ?中,? a ?{a ? n}? 1=1,a ? 2=2,且 a ?? n+1 ??=a ? na ?? n+2 ?,求数列{a ? n}的通项公式.? 分析: (1)数列{a ? n}中 3a ?? n+1 ?,变形可得 a ?? n+1 ?=a ? n=31(常数) ,所以数列{a ? n}是等差数列,a ? na=13(n-1)=n+23; (2)数列{a ? n}中,由 a ? 2 ?? n+1 ?=a ? na ?? n+2 ??数列{a ? n}是等比数列, 又公比 q=a ? 2q ? 1. 因 此,a ? n=2 ?? n+1 ?.? 3.由 a ? n 和 s ? n 的关系求 a ? n.由 s ? n 求 a ? n 时,需 分和两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的解析式表 示.若不能,则用分段函数的形式表示为? 例 3.已知数列{a ? n}的前 n 项和 s ? n3 ? n-2,求数列{a ? n}的通项公式.? 分析:当 n=1 得 a ? 1=s ? 1=1;当 n≥2 时 a ? n=s ? n-s ?? n-1 ?得 a ? n=2×3 ?? n-1 ?.若 n-1=? a ? n=2×3 ?? n-1 ?=2≠a ? 1.因此, .? 4.累加法.对形如? a ?? n+1 ?-a ? n=f(n)?的递推公式求 通项公式, 只要对? f(n)?求和, 便可利用累加的方法求其通项. ? 例 4. 已知数列{a ? n}满足? a ?? n+1 ?=a ? n+3n+2 ?且? a ? 1=2 ?,求数列的通项公式.? 分析:由题? a ?? n+1 ?-a ? n=3n+2(n≥1)?意得,a ? 2-a ? 1=3×1+2,a ? 3-a ? 2=3×2+2…a ? n-a ?? n-1 ?=3× (n-1)+2,累加得 a ? n-a ? 1=3[1+2+3+…(n-1)]+2(n-1),即得所

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