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2015高考数学(文)一轮总复习(人教新课标·广东专用)课件:第四章 第三节 平面向量的数量积


新课标 ·文科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

第三节

平面向量的数量积

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

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新课

标 ·文科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

1.平面向量的数量积

(1)定义:已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则
|a|· |b|cosθ 叫做a与b的数量积(或内积).规定:零向量 数量___________ 与任一向量的数量积为____ 0 .

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(2) 几何意义:数量积 a·b 等于 a 的长度 |a| 与 b 在 a 方向上 b|cosθ 的投影|__________ 的乘积.
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2.平面向量数量积的运算律
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(1)交换律:a·b=b·a; λ(a·b) =_________ a·(λb) ; (2)数乘结合律:(λa)·b=________ (3)分配律:a·(b+c)=_____________ a·b+a·c .

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3.平面向量数量积的性质及其坐标表示
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设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ=〈a,b〉.

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2 x2 1+ y1

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1.若a·b=b·c,则a=c吗? 【提示】 不一定.b=0时就不成立.

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2.(a·b)c=a(b·c)一定成立吗? 【提示】 不 一 定 成 立 . (a·b)c 是 与 c 平 行 的 向 量 ,
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a(b·c) 是与 a 平行的向量.而 a 与 c 关系不确定,故 (a·b)c =

a(b·c)不一定成立.





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【解析】
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向量a、b满足|a |=1,|b|=4,且a· b=2, π a· b 1 设a与b的夹角为θ,则cos θ= = ,∴θ= . |a |· |b | 2 3

【答案】

C

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2.已 知 向 量 a,b和实数λ, 下 列 选 项 中 错 误 的 是( ) A.|a|= a· a B.|a·b|=|a |· | b| C.λ (a· b)=λa· b D.|a·b|≤|a|·|b |

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【解析】
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|a·b|=|a||b||cos θ|,故B错误.

【答案】

B

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3.(2012· 福建高考)已知向量a=(x-1,2),b=(2, 1),则a⊥b的充要条件是( ) 1 A.x=- B.x=-1 2 C.x=5 D.x=0

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【解析】
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∵a=(x-1,2),b=(2,1),∴a·b=2(x-

1)+2×1=2x.又a⊥b
【答案】 D

a· b=0,∴2x=0,∴x=0.
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4.2 (0 1 3· 深圳质检)若 平 面 向 量 α,β满足|α|= 1,|β|≤1,且以向量α,β为 邻 边 的 平 行 四 边 形 的 面 1 积为 ,则α与β的夹角θ的 取 值 范 围 是 ________. 2

【 解 析 】 θ,

由题意知S=|α||β|s n i

1 θ= ≤n s i 2

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π 5 ∵θ∈[0,π],∴θ∈[ , π]. 6 6
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1 () 2 (0 1 2 ·

浙 江 高 考

)在△ A B C 中,M是BC的中

→ ·AC → = ________. 点, AM= 3,BC= 10,则AB 2 () 2 (0 1 2 · 北 京 高 考 )已 知 正 方 形 A B C D 的边长为 1,点 E是 AB边 上 的 动 点 , 则 → · CB → 的值为 DE ________. → ·DC →的 ________;DE 最 大 值 为

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【 思 路 点 拨 】 → 表示; MC

→ , AC → 用 AM → , MB → 或 1 ( ) 把 AB

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2 () 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , 把 向 量 用 坐 标 表 示.
菜 单

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【 尝 试 解 答 】

1 ( ) 如 图 所 示 ,

→ = AM → + AB

→ ,AC → =AM → +MC → =AM → -MB →, MB

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→ ·AC → =(AM → +MB →( → -MB →) ∴AB · ) AM
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→ 2-MB → 2=|AM → |2-|MB → |2=9-25=-16. =AM

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(2) 如图所示,以 AB , AD 所在的直线
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分别为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系,由
于正方形边长为 1 ,故 B(1 , 0) , C(1 , 1) , D(0,1). 又 E 在 AB 边 上 , 故 设 E(t , 0)(0≤t≤1).

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→ = (t,- 1),CB → =(0,-1).故DE → ·CB → = 1. 则DE
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→ = (1, 0), 又DC → ·DC → = (t,- 1)· ∴DE (1, 0)= t.且 0≤ t≤ 1. → ·DC → 的最大值为 1. ∴DE

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【答案】

(1)-16

(2)1;1

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已知△A B C 为 等 边 三 角 形 , 3 =- ,则λ= ( 2 1 A. 2 1± 10 C. 2

AB= 2.设点P, Q

→ = λAB → ,AQ → = (1-λ)AC → , λ∈ R.若BQ → ·CP → 满足AP ) 1± 2 B. 2 -3 ± 2 D. 2 2

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→ ·CP → =(BA → +AQ → )· → +AP → )= 【解析】 BQ (CA
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3 → → → → [ BA +(1-λ) AC ]· ( CA +λ AB )=- ,所以4λ2-4λ 2 1 +1=0,所以λ= . 2
【答案】 A

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(1)(2012· 安徽高考 ) 设向量 a = (1 , 2m) , b = (m + 1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=________.

(2)(2013· 珠海调研 ) 已知 a 与 b 为两个不共线的单位向
量 , k 为 实 数 , 若 向 量 a + b 与 向 量 ka - b 垂 直 , 则 k = ________.

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【思路点拨】 0求出m;

(1)求出a+c的坐标后,利用(a+c)·b=
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(2)利用向量垂直的充要条件和数量积的定义建立关于k
的方程,进而解方程求k的值.
菜 单

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【 尝 试 解 答 】 1 ( ) a+c=(1,2 m ) +(2,m)= (3,3 m ) . ∵(a+c)⊥b, ∴(a+c)· b=(3,3 m m ( · ) +1,1)=6m+3=0, 1 ∴m=- . 2 ∴a=(1,-1),∴|a|= 2.

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(2)∵a与b是不共线的单位向量,∴|a|=|b|=1.
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又ka-b与a+b垂直,

∴(a+b)·(ka-b)=0,
即ka2+ka·b-a·b-b2=0. ∴k-1+ka·b-a·b=0. 因此k-1+kcos θ-cos θ=0.(θ为a与b的夹角)

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∴(k-1)(1+cos θ)=0. 又a与b不共线,∴cos θ≠-1,∴k=1.
【答案】 (1) 2 (2)1

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(2012· 江西高考 ) 设单位向量 m = (x , y) , b = (2 ,- 1).若m⊥b,则|x+2y|=________.
【解析】 设单位向量 m=(x,y),则x2+y2=1, 若m⊥ b,则m· b=0,即2x-y=0, 1 5 2 解得 x = ,所以|x|= , 5 5 因此 |x+ 2y|=5|x|= 5.
【答案】 5

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已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b2 ( · ) a+b)=61, 1 () 求a与b的夹角θ; 2 () 求|a+b|; → =a,BC → =b,求△A 3 () 若AB B C 的面积.

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【 尝 试 解 答 】 1 ( ) ∵(2a-3b2 ( · ) a+b)=61, ∴4|a|2-4a· b-3|b|2=61. 又|a|=4,|b|=3, ∴64-4a· b-27=61,∴a·b=-6. ∴c o s -6 a· b 1 θ= = =- . |a ||b| 4×3 2

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2π 又0≤θ≤π,∴θ= . 3
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2 () 可 先 平 方 转 化 为 向 量 的 数 量 积 . |a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a b · +|b|2 =42+2×(-6)+32=13, ∴|a+b|= 13.

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2π → → 3 () 由1 () 知,AB与BC的 夹 角 θ= , 3 2π π ∴∠A B C =π- = . 3 3 → |=|a|=4,|BC → |=|b|=3, 又|AB ∴S△ A B C 3 3. 1 → → = |AB || BCn s i| 2 1 3 ∠A B C = ×4×3× = 2 2

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【 解 析 】 1 ( 2 ) a+ b= 2 1 ( ,2 ) + (1,- 1)=(3, 3), a- b= (1, 2)- (1,- 1)=(0, 3), (2a+ b)· (a- b)= 9,且 |2a+ b|= 3 2, |a- b|= 3. 9 2 设所求两向量夹角为α,则 cos α= = , 3 2× 3 2 π ∴α= . 4
菜 单

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2 () ∵ a, b的夹角为 45°, |a |= 1, 2 ∴ a· b= |a |· | b |c o 4 s 5 °= |b |, 2 2 2 |2a- b| = 4- 4× |b |+ |b |2= 10, 2 ∴ |b|= 3 2.
【 答 案 】 1 () C 2 ( 3 ) 2

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两个非零向量垂直的充要条件:a⊥b

a· b=0.

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1.若a·b>0,能否说明a和b的夹角为锐角?
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2.若a·b<0,能否说明a和b的夹角为钝角?

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1.数 量 积 运 算 不 满 足 消 去 律 , 若 向 量 a,b,c 满足a· b=a· c(a≠0), 则 不 一 定 有 b=c. 2.数 量 积 运 算 不 满 足 结 合 律 , 即 (a· b)c≠a(b· c), 这 是 由 于 (a· b)c表示一个与c共线的 向量,a(b· c)表 示 一 个 与 a共 线 的 向 量 , 而 a与c不一 定 共 线 . 3.领 会 向 量 夹 角 的 概 念 , 比 如 正 三 角 形 A B C → 与BC →的 中,AB 夹 角 应 为 120°, 而 不 是 60°.

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思想方法之九
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转化思想在数量积计算中的应用
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2 (0 1 2 · 江西高考)在 直 角 三 角 形 A B C 中,点D是 斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则 P |A | +P |B | P |C | 2 A.2
2 2

=( B.4

) C.5 D.10

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【 解 析 】
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→ =CA → -CP →, ∵PA
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→ |2=CA → 2-2CP → ·CA → +CP → 2. ∴|PA → =CB → -CP → ,∴|PB → |2=CB → 2-2CP → ·CB → +CP → 2. ∵PB → |2+|PB → |2=(CA → 2+ CB → 2)-2CP → ·(CA → +CB → )+ ∴|PA → 2=AB → 2-2CP → ·2CD → +2CP → 2. 2CP

→ 2=16CP → 2,CD → =2CP →, 又AB
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代 入 上 式 整 理 得 P |A | 所以
【答案】
菜 单

→ |2+|PB → |2=10|CP → |2. |PA
2

+P |B | P |C | 2
D

2

=10.

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易 错 提 示 : 1 () 转 化 与 化 归 思 想 意 识 不 强 , 难 以 入 手 , 盲 目 求 解 , 无 果 而 终 . → =2 CP → , AB → 2= 2 () 运 算 过 程 中 , 对 隐 含 条 件 CD → 2挖 16CP 掘 不 够 , 无 法 正 确 解 答 本 题 .

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防范措施: (1) 树立转化与化归意识,在平面向量数量
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积的计算过程中,对模和夹角均未知的向量一般是利用平面 向量的加减和数乘运算,把未知向量转化为已知向量. (2) 在直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半.本 题中出现斜边的中线这一条件,稍加联想不难发现隐含条 件.

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1 . (2012· 辽宁高考 ) 已知两个非零向量 a , b 满足 |a + b|

=|a-b|,则下面结论正确的是(
A.a∥b C.|a|=|b|

)
B.a⊥b D.a+b=a-b

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【解析】

因为|a+b|=|a-b|,
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所以(a+b)2=(a-b)2,a·b=0,故a⊥b. 【答案】 B





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广东高考 )对 任 意 两 个 非 零 的 平 面 向 α β · 量 α和 β,定义α β = .若 两 个 非 零 的 平 面 向 量 β · π π a, b满足 a与 b的夹角θ∈( , ),且 a 4 2 n 都 在 集 合 { |n∈Z}中 , 则 a b= ( ) 2 5 3 1 A. B. C.1 D. 2 2 2 b和 b a

2.2 (0 1 2 ·

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a· b |a ||b |cos θ |a |cos θ 【解析】 a b= = = , 2 b· b |b | |b | ① b· a |b ||a |cos θ |b |cos θ b a= = = . ② a· a |a |2 |a | π π 2 ∵θ∈ ( , ),∴ 0<cos θ < . 4 2 2 1 2 ①×②得(a b)(b a)= cos θ∈ (0, ). 2 n 而 a b和 b a都在集合 { |n∈ Z}中,结合选项 A、 2 B、 C、 D分析可知,只有 D符合.

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【答案】

D





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课后作业(二十七)

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