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2018版高考数学大一轮复习第十章统计与统计案例10.2统计图表用样本估计总体教师用书文北师大版


2018 版高考数学大一轮复习 第十章 统计与统计案例 10.2 统计图 表、用样本估计总体教师用书 文 北师大版

1.统计图表 统计图表是表达和分析数据的重要工具,常用的统计图表有条形统计图、扇形统计图、折线 统计图、茎叶图等. 2.数据的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 众数:在一组数据中,出现次数最多的数据叫作这组数据的众数. 中位数: 将一组数据按大小依次排列, 把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平 均数)叫作这组数据的中位数. 1 平均数:样本数据的算术平均数,即 x = (x1+x2+?+xn).

n

在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等. (2)样本方差、标准差 标准差 s= 1 2 2 2 [?x1- x ? +?x2- x ? +?+?xn- x ? ],

n

其中 xn 是样本数据的第 n 项,n 是样本容量, x 是平均数. 标准差是刻画数据的离散程度的特征数,样本方差是标准差的平方.通常用样本方差估计总 体方差,当样本容量接近总体容量时,样本方差很接近总体方差. 3.用样本估计总体 (1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种,一种是用样本的频率分布估计总体的频率分 布,另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征. 频率 (2)在频率分布直方图中, 纵轴表示 , 数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示, 组距 各小长方形的面积总和等于 1. (3)在频率分布直方图中,按照分组原则,再在左边和右边各加一个区间.从所加的左边区间 的中点开始,用线段依次连接各个矩形的顶端中点,直至右边所加区间的中点,就可以得到
1

一条折线,称之为频率折线图. (4)当样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好,它没有信息的缺失,而且可以随时记 录,方便表示与比较. 【知识拓展】 1.频率分布直方图的特点 频率 频率 (1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距,纵坐标表示 ,频率=组距× . 组距 组距 (2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为 1, 因为在频率分布直方图中组距是一个固定 值,所以各小长方形高的比也就是频率比. (3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式,前者准确,后者直观. 2.平均数、方差的公式推广 (1)若数据 x1,x2,?,xn 的平均数为 x ,那么 mx1+a,mx2+a,mx3+a,?,mxn+a 的平均 数是 m x +a. (2)数据 x1,x2,?,xn 的方差为 s . ①数据 x1+a,x2+a,?,xn+a 的方差也为 s ; ②数据 ax1,ax2,?,axn 的方差为 a s . 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.( √ ) (2)一组数据的众数可以是一个或几个,那么中位数也具有相同的结论.( × ) (3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容, 把数据表示成直方图后, 原有的具体数据信息 就被抹掉了.( √ ) (4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写, 右侧的叶按从小到大的顺序写, 相同的数据可 以只记一次.( × ) (5)在频率分布直方图中,最高的小长方形底边中点的横坐标是众数.( √ ) (6)在频率分布直方图中,众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.( × )
2 2 2 2

1.(教材改编)若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位 数和平均数分别是( )

2

A.91.5 和 91.5 C.91 和 91.5 答案 A

B.91.5 和 92 D.92 和 92

解析 这组数据由小到大排列为 87,89,90,91,92,93,94,96, 91+92 ∴中位数是 =91.5, 2 87+89+90+91+92+93+94+96 平均数 x = =91.5. 8 2.(2015·陕西)某中学初中部共有 110 名教师,高中部共有 150 名教师,其性别比例如图所 示,则该校女教师的人数为( )

A.93 B.123 C.137 D.167 答案 C 解析 由题干扇形统计图可得该校女教师人数为 110×70%+150×(1-60%)=137.故选 C. 3.一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下: [11.5,15.5)2;[15.5,19.5)4;[19.5,23.5)9; [23.5,27.5)18;[27.5,31.5)11;[31.5,35.5)12; [35.5,39.5)7;[39.5,43.5)3. 根据样本的频率分布估计,数据落在[31.5,43.5)的概率约是( A. 1 1 B. 6 3 1 C. 2 2 D. 3 )

答案 B 解析 由已知,样本容量为 66,而落在[31.5,43.5)内的样本数为 12+7+3=22,故所求概 22 1 率为 = . 66 3 4.(2016·江苏)已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是________. 答案 0.1 解析

x=

4.7+4.8+5.1+5.4+5.5 =5.1, 5

3

1 2 2 2 2 2 2 则方差 s = [(4.7-5.1) +(4.8-5.1) +(5.1-5.1) +(5.4-5.1) +(5.5-5.1) ]=0.1. 5 5.为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中 60 株树木的底部周长(单位:cm),所 得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的 60 株树木中,有 ________株树木的底部周长小于 100 cm.

答案 24 解析 底部周长在[80,90)的频率为 0.015×10=0.15, 底部周长在[90,100)的频率为 0.025×10=0.25, 样本容量为 60,所以树木的底部周长小于 100 cm 的株数为(0.15+0.25)×60=24.

题型一 频率分布直方图的绘制与应用 例1 (2016·北京)某市居民用水拟实行阶梯水价,每人月用水量中不超过 w 立方米的部分

按 4 元/立方米收费,超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费.从该市随机调查了 10 000 位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:

(1)如果 w 为整数,那么根据此次调查,为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/立方米,

w 至少定为多少?
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当 w=3 时,估计该市居民该月的人 均水费. 解 (1)如图所示, 用水量在[0.5,3)的频率的和为(0.2+0.3+0.4+0.5+0.3)×0.5=0.85.
4

∴用水量小于等于 3 立方米的频率为 0.85,又 w 为整数, ∴为使 80%以上的居民在该月的用水价格为 4 元/立方米,w 至少定为 3. (2)当 w=3 时,该市居民该月的人均水费估计为 (0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3)×4+0.15×3×4+[0.05×(3.5- 3) +0.05×(4-3)+0.05×(4.5-3)]×10=7.2+1.8+1.5=10.5(元). 即该市居民该月的人均水费估计为 10.5 元. 思维升华 (1)明确频率分布直方图的意义, 即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间 上的频率,所有小矩形的面积和为 1. (2)对于统计图表类题目,最重要的是认真观察图表,从中提炼有用的信息和数据. (2015·课标全国Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别 随机调查了 40 个用户, 根据用户对产品的满意度评分, 得到 A 地区用户满意度评分的频率分 布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表.

A 地区用户满意度评分的频率分布直方图

图①

B 地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评 [50,60) 分分组 频数 2 8 14 [60,70) [70,80) ) 10 6 [80,90 [90,100]

(1)在图②中作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图, 并通过直方图比较两地区满意度 评分的平均数及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可).

B 地区用户满意度评分的频率分布直方图

5

图② (2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由. 解 (1)如图所示.通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B 地区用户满意 度评分的平均数高于 A 地区用户满意度评分的平均数; B 地区用户满意度评分比较集中, 而A 地区用户满意度评分比较分散.

(2)A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 记 CA 表示事件:“A 地区用户的满意度等级为不满意”;CB 表示事件:“B 地区用户的满意 度等级为不满意”. 由直方图得 P(CA) 的估计值为 (0.01 + 0.02 +0.03)×10= 0.6 , P(CB) 的估计值为 (0.005 + 0.02)×10=0.25. 所以 A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 题型二 茎叶图的应用 例2 (1)(2015·山东)为比较甲、乙两地某月 14 时的气温情况,随机选取该月中的 5 天,

将这 5 天中 14 时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论:

6

①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温; ②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温; ③甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差; ④甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ )

(2)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).

已知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 16.8,则 x,y 的值分别为( A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8 答案 (1)B (2)C 解析 (1)甲地 5 天的气温为 26,28,29,31,31, 26+28+29+31+31 其平均数为 x 甲= =29; 5 1 2 2 2 2 2 2 方差为 s甲= [(26-29) +(28-29) +(29-29) +(31-29) +(31-29) ]=3.6; 5 标准差为 s 甲= 3.6. 乙地 5 天的气温为 28,29,30,31,32, 28+29+30+31+32 其平均数为 x 乙= =30; 5 1 2 2 2 2 2 2 方差为 s乙= [(28-30) +(29-30) +(30-30) +(31-30) +(32-30) ]=2; 5 标准差为 s 乙= 2. ∴ x 甲< x 乙,s 甲>s 乙.

)

9+15+10+y+18+24 (2)由茎叶图及已知得 x=5, 又乙组数据的平均数为 16.8, 即 =16.8, 5 解得 y=8. 引申探究 1.本例(2)中条件不变,试比较甲、乙两组哪组成绩较好? 解 由原题可知 x=5,

7

9+12+15+24+27 则甲组平均数为 =17.4. 5 而乙组平均数为 16.8,所以甲组成绩较好. 2.在本例(2)条件下:①求乙组数据的中位数、众数;②求乙组数据的方差. 解 ①由茎叶图知,乙组中五名学生的成绩为 9,15,18,18,24. 故中位数为 18,众数为 18. 1 2 2 2 2 2 ②s = [(9-16.8) +(15-16.8) +(18-16.8) ×2+(24-16.8) ]=23.76. 5 思维升华 茎叶图的优缺点 由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况,这一点同频率分布直方图类似.它优于频率分布 直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据,没有任何信息损失,第二点是茎叶图便于记 录和表示.其缺点是当样本容量较大时,作图较烦琐. (1)某学校随机抽取 20 个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的 茎叶图如图所示,以组距为 5 将数据分组成[0,5),[5,10),?,[30,35),[35,40]时,所作 的频率分布直方图是( )

(2)将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分,去掉 1 个最低分,7 个剩余分数的平均分为 91.现 场作的 9 个分数的茎叶图后来有 1 个数据模糊,无法辨认,在图中以 x 表示:

8

则 7 个剩余分数的方差为( A. 116 36 B. 9 7 6 7 C.36 D. 7

)

答案 (1)A (2)B 解析 (1)由于频率分布直方图的组距为 5,排除 C、D,又[0,5),[5,10)两组各一人,排除 B,应选 A. 87+94+90+91+90+90+x+91 1 2 2 (2)由题意知 =91,解得 x=4.所以 s = [(87-91) +(94 7 7 -91) +(90-91) +(91-91) +(90-91) +(94-91) +(91-91) ] 1 36 = (16+9+1+0+1+9+0)= . 7 7 题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征 例 3 (1)抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位:环),结果如下: 运动员 甲 乙 第1次 87 89 第2次 91 90 第3次 90 91 第4次 89 88 第5次 93 92
2 2 2 2 2 2

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________. 答案 2 解析 1 5

x 甲= (87+91+90+89+93)=90,

1 5

x 乙= (89+90+91+88+92)=90,
2 2 2 2 2 s2 甲= [(87-90) +(91-90) +(90-90) +(89-90) +(93-90) ]=4,

1 5 1 5

2 2 2 2 2 s2 乙= [(89-90) +(90-90) +(91-90) +(88-90) +(92-90) ]=2.

(2)甲、乙二人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图.

9

①分别求出两人得分的平均数与方差; ②根据图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出评价. 解 ①由图像可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲:10 分,13 分,12 分,14 分,16 分; 乙:13 分,14 分,12 分,12 分,14 分.

x 甲= x 乙=
1 5 1 5

10+13+12+14+16 =13; 5 13+14+12+12+14 =13, 5

2 2 2 2 2 s2 甲= [(10-13) +(13-13) +(12-13) +(14-13) +(16-13) ]=4;

2 2 2 2 2 s2 乙= [(13-13) +(14-13) +(12-13) +(12-13) +(14-13) ]=0.8.

②由 s甲>s乙,可知乙的成绩较稳定. 从折线图看,甲的成绩基本呈上升状态,而乙的成绩上下波动,可知甲的成绩在不断提高, 而乙的成绩则无明显提高. 思维升华 平均数与方差都是重要的数字特征,是对总体的一种简明的描述,它们所反映的 情况有着重要的实际意义,平均数、中位数、众数描述其集中趋势,方差和标准差描述其波 动大小. (2016·全国乙卷)某公司计划购买 1 台机器, 该种机器使用三年后即被淘汰. 机 器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使 用期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损 零件, 为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数, 得以下柱状图:

2

2

10

记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示 1 台机器在购买易损零件上 所需的费用(单位:元),n 表示购机的同时购买的易损零件数. (1)若 n=19,求 y 与 x 的函数解析式; (2)若要求“需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于 0.5,求 n 的最小值; (3)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件, 或每台都购买 20 个易损零件, 分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买 1 台 机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件? 解 (1)当 x≤19 时,y=3 800; 当 x>19 时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700. 所以 y 与 x 的函数解析式为

y=?

? ?3 800,x≤19, ?500x-5 700,x>19 ?

(x∈N).

(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46,不大于 19 的频率为 0.7,故 n 的最小值为 19. (3)若每台机器在购机的同时都购买 19 个易损零件, 则这 100 台机器中有 70 台在购买易损零 件上的费用为 3 800 元,20 台的费用为 4 300 元,10 台的费用为 4 800 元,因此这 100 台机 器在购买易损零件上所需费用的平均数为 1 (3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元), 100 若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件,则这 100 台机器中有 90 台在购买易损零件上 的费用为 4 000 元,10 台的费用为 4 500 元,因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用 的平均数为 1 (4 000×90+4 500×10)=4 050(元). 100 比较两个平均数可知,购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件.

9.高考中频率分布直方图的应用

考点分析 频率分布直方图是高考考查的热点,考查频率很高,题型有选择题、填空题,也 有解答题,难度为低中档.用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布
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直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布;难点是频率分布表和频率分布直方图的理解 及应用.在计数和计算时一定要准确,在绘制小矩形时,宽窄要一致.通过频率分布表和频 率分布直方图可以对总体作出估计. 频率分布直方图的纵坐标为频率/组距, 每一个小长方形 的面积表示样本个体落在该区间内的频率;条形图的纵坐标为频数或频率,把直方图视为条 形图是常见的错误. 典例 (12 分)(2016·四川)我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案, 对居民用水情况进行了调查, 通过抽样, 获得了某年 100 位居民每人的月均用水量(单位: 吨), 将数据按照[0,0.5),[0.5,1),?,[4,4.5]分成 9 组,制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求直方图中 a 的值; (2)设该市有 30 万居民,估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数,说明理由; (3)估计居民月均用水量的中位数. 规范解答 解 (1)由频率分布直方图可知,月均用水量在[0,0.5)的频率为 0.08×0.5=0.04. 同理,在 [0.5,1) , [1.5,2) , [2,2.5) , [3,3.5) , [3.5,4) , [4,4.5] 等组的频率分别为 0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.[3 分] 由 1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a, 解得 a=0.30.[5 分] (2)由(1)知, 100 位居民月均用水量不低于 3 吨的频率为 0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样 本的频率分布,可以估计 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 300 000×0.12=36 000.[8 分] (3)设中位数为 x 吨. 因为前 5 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5. 而前 4 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5. 所以 2≤x<2.5.
12

由 0.50×(x-2)=0.5-0.48,解得 x=2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为 2.04 吨.[12 分]

1.(2017·铁岭月考)在某次测量中得到的 A 样本数据如下:42,43,46,52,42,50,若 B 样本 数据恰好是 A 样本数据每个都减 5 后所得数据, 则 A, B 两样本的下列数字特征对应相同的是 ( ) B.标准差 D.中位数

A.平均数 C.众数 答案 B

解析 由 B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都减 5 后所得数据,可得平均数、众数、中位数 分别是原来结果减去 5,即与 A 样本不相同,标准差不变,故选 B. 2.(2016·山东)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的 频率分布直方图, 其中自习时间的范围是[17.5,30], 样本数据分组为[17.5,20), [20,22.5), [22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是( )

A.56 B.60 C.120 D.140 答案 D 解析 设所求人数为 N,则 N=2.5×(0.16+0.08+0.04)×200=140,故选 D. 3.(2017·北京西城区质检)下图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量(单位:台)的茎 叶图,则数据落在区间[22,30)内的频率为( )

13

A.0.2 B.0.4 C.0.5 D.0.6 答案 B 4 解析 10 个数据落在区间[22,30)内的数据有 22,22,27,29,共 4 个,因此,所求的频率为 10 =0.4.故选 B. 4.(2016·西安模拟)某公司 10 位员工的月工资(单位:元)为 x1,x2,?,x10,其平均数和 方差分别为 x 和 s ,若从下月起每位员工的月工资增加 100 元,则这 10 位员工下月工资的 平均数和方差分别为( A. x ,s +100 C. x ,s 答案 D 解析
2 2 2 2

) B. x +100,s +100 D. x +100,s
2 2 2

x1+x2+?+x10
10

= x ,yi=xi+100,所以 y1,y2,?,y10 的平均数为 x +100,方差

不变,故选 D. 5.如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中 m 为数 字 0~9 中的一个),去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为

a1、a2,则一定有(

)

A.a1>a2 B.a2>a1 C.a1=a2 D.a1,a2 的大小与 m 的值有关 答案 B 解析 去掉一个最高分和一个最低分后,甲选手叶上的数字之和是 20,乙选手叶上的数字之 和是 25,故 a2>a1.故选 B. 6.(2016·北京朝阳区期末)在一段时间内有 2 000 辆车通过高速公路上的某处,现随机抽取 其中的 200 辆进行车速统计,统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定 正常行驶速度为 90 km/h~120 km/h,试估计 2 000 辆车中,在这段时间内以正常速度通过

14

该处的汽车约有(

)

A.30 辆 C.170 辆 答案 D

B.300 辆 D.1 700 辆

解析 以正常速度通过该处的汽车频率为 1-(0.01+0.005)×10=0.85, 所以以正常速度通 过该处的汽车约有 0.85×2 000=1 700(辆). 7.样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3.若该样本的平均数为 1,则样本方差为 ________. 答案 2 解析 由题意可知样本的平均数为 1, 所以

a+0+1+2+3
5

=1,

解得 a=-1,所以样本的方差为 1 2 2 2 2 2 [(-1-1) +(0-1) +(1-1) +(2-1) +(3-1) ]=2. 5 8. 从某小学随机抽取 100 名学生, 将他们的身高(单位: 厘米)数据绘制成频率分布直方图(如 图).由图中数据可知 a=____________.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三 组内的学生中,用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生 中选取的人数应为________.

答案 0.030 3 解析 ∵小矩形的面积等于频率,∴除 [120,130)外的频率和为 0.700,∴a = 1-0.700 = 10

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0.030.由题意知,身高在[120,130),[130,140),[140,150]内的学生分别为 30 人,20 人, 18 3 10 人,∴由分层抽样可知抽样比为 = , 60 10 ∴在[140,150]中选取的学生应为 3 人. 9.若样本数据 x1,x2,?,x10 的标准差为 8,则数据 2x1-1,2x2-1,?,2x10-1 的标准差 为________. 答案 16 解析 若 x1,x2,?,xn 的标准差为 s,则 ax1+b,ax2+b,?,axn+b 的标准差为 as.由题 意 s=8,则上述标准差为 2×8=16. 10.某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率 分布直方图(如图), 其中, 上学所需时间的范围是[0,100], 样本数据分组为[0,20), [20,40), [40,60),[60,80),[80,100].则

(1)图中的 x=________; (2)若上学所需时间不少于 1 小时的学生可申请在学校住宿,则该校 600 名新生中估计有 ________名学生可以申请住宿. 答案 (1)0.012 5 (2)72 解析 (1)由频率分布直方图知 20x=1-20×(0.025+0.006 5+0.003+0.003),解得 x= 0.012 5. (2)上学时间不少于 1 小时的学生的频率为 0.12, 因此估计有 0.12×600=72(人)可以申请住 宿. 11.某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为 100 分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不 同程度的破坏,但可见部分如图,据此解答下列问题:

16

(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数; (2)求分数在[80,90]之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高. 解 (1)分数在[50,60]的频率为 0.008×10=0.08. 由茎叶图知,分数在[50,60]之间的频数为 2, 2 所以全班人数为 =25. 0.08 (2)分数在[80,90]之间的频数为 25-2-7-10-2=4,频率分布直方图中[80,90]间的矩形 4 的高为 ÷10=0.016. 25 12.从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果 得到如下频数分布表: 质量指标值 分组 频数 [75,85 ) 6 [85,95 [95,105) ) 26 38 22 8 [105,115) [115,125]

(1)作出这些数据的频率分布直方图;

(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的 产品至少要占全部产品的 80%”的规定? 解 (1)如图所示:

17

(2) 质 量 指 标 值 的 样 本 平 均 数 为 x = 80×0.06 + 90×0.26 + 100×0.38 + 110×0.22 + 120×0.08=100. 质量指标值的样本方差为

s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100,方差的估计值为 104. (3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值小于 0.8, 故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产 品至少要占全部产品的 80%”的规定.

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