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直线和平面垂直的判定和性质(习题课)


直线和平面垂直的判 定和性质(习题课)

一、概念回顾:
1、直线和平面垂直的定义:如果直线和平面内的所有 直线都垂直,则就说这条直线和这个平面垂直。 2、直线和平面垂直的判定:如果直线和平面内的两条 相交直线都垂直,则这条直线和这个平面垂直。 3、直线和平面垂直的性质: (1)如果直线和平面垂直,则这条直线和这个平面内 的所有直线都垂直。 (2)垂直于同一平面的两条直线互相平行。 4、唯一性定理: (1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。 (2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。

例1、已知直角△ABC所在平面外有一点P,且 PA=PB=PC,D是斜边AB的中点,

求证:PD⊥平面ABC.

P C D B

证明:PA=PB,D为AB中点 ∴ PD⊥AB,连接CD, ∵D为Rt△ABC斜边的中点 ∴ CD=AD, 又PA=PC,PD=PD ∴ △PAD≌△PCD 而PD⊥AB ∴ PD⊥CD, CD∩AB = D ∴PD⊥平面ABC

A

例2、如图 平面α、β相交于PQ, 线段OA、OB分别垂直平面α、β, 求证:PQ⊥AB Q 证明:∵OA⊥α PQ?α ∴ OA⊥PQ OB⊥β, PQ?β ∴ OB⊥PQ 又OA∩OB=0 ∴PQ⊥平面OAB 而AB?平面OAB ∴ PQ⊥AB A O

B

P

例3、如图 空间四边形ABCD中, CD⊥BD 、CD⊥AD ,△ABC的 平面内有一点P,过P在平面ABC 内画一直线与CD垂直,应如何画? 说明理由. 解:过P作EF∥AB即可, ∵由已知可证CD⊥平面ABD 而AB?平面ABD, ∴CD⊥AB, 又EF∥AB ∴EF⊥CD

D

A

P

C

B

例4、PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,M、N分别是 AB、PC的中点. 求证:AB⊥MN P 证明:连AC,取AC中点O, 连MO和NO N A D ∵ ABCD是矩形 M ∴AB⊥MO O B 又∵PA⊥平面ABCD C AB?平面ABCD ∴ PA⊥AB 又由NO∥PA ∴AB⊥NO ∴AB⊥平面MON 又MN?平面MON ∴AB⊥MN

例5、正方体AC1的棱长为a (1)求证:BD⊥平面ACC1A1 (2)设P为D1D中点,求P到平面ACC1A1的距离. 证明:(1)AA1⊥AB AA1⊥AD AB∩AD=A D ∴AA1⊥平面ABCD C 又BD?平面ABCD ∴ AA1⊥BD B 又AC⊥BD AA1∩AC=A A P BD⊥平面ACC1A1 (2)DD1∥AA1 D1 C1 DD1∥平面AA1CC1, AA1 ?平面AA1CC1 B1 A1 ∴DD1∥平面AA1CC1 ∴P到平面ACC1A1的距离即为直线DD1到面ACC1A1的距 离, 也就是D到平面ACC1A1的距离,设AC∩BD=O,则即 为DO的长度,∴P到平面ACC1A1的距离为 2 a
2

例6、如图:ABCD是矩形,AB=a,BC=b(a>b), 沿对角线AC把△ADC折起,使AD⊥BC (1)求证:BD是异面直线AD与BC的公垂线 (2)求BD的长 D C 证明: (1)∵AD⊥CD,AD⊥BC CD∩BC=C, B A ∴AD⊥平面BCD ∴AD⊥BD 且AD∩BD=D D 同理可证:BC⊥BD C 又BC∩BD=B, ∴BD是AD与BC的公垂线. (2)∵AD=b, AB=a, A B 2 2 在 Rt△ABD中, BD= a ? b

例7、如图,在四棱锥P—ABCD中,侧面PCD是边长 等于2cm的等边三角形,底面ABCD是面积为2 3 cm2 的菱形,∠ADC是锐角. 求证:PA⊥CD 证明:设∠ADC=θ, 则:由SABCD=2 3 , CD=BC=AB=AD=2, 易得θ=60° ∴△ACD是等边三角形, 取CD中点E连AE、PE, 则AE⊥CD,PE⊥CD AE⊥CD,PE⊥CD ∴CD⊥平面PAE ∴CD⊥PA P A D E C B


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