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第2章 2.4 2.4.1 等比数列的定义及通项公式


2.4

等比数列

2.4.1 等比数列的定义及通项公式

1.掌握等比数列的定义,理解等比中项的概念. 2.掌握等比数列的通项公式及推导过程.

3.能应用等比数列的定义及通项公式解决问题.

1.等比数列的定义.
2 如果一个数列从第______ 项起,每一项与它

的前一项的 比 等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列;这个常数 ______ 公比 ,通常用字母 q(q≠0)表示. 叫做等比数列的______ 2.等比数列的递推公式和通项公式.
an q n≥2);通项公式:an=______( a1qn-1 n≥2). 递推公式: =___( an-1

3.等比中项的定义. 等比 数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中 如果 a,G,b 成______

ab 或者表示成____________ G=± ab 项,有 G2=______ .

1.常数列一定为等比数列吗?
答案:不一定,当常数列为非零数列时,才是等比数列,

否则不是.
2.若 G2=ab,则 a,G,b 一定成等比数列吗? 答案:不一定,若a=G=b=0,则G2=ab成立,但a,G,

b 不成等比数列.

题型1

等比数列的基本概念

5 例 1:在等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=4,求 a4 的值.

思维突破:要求a4 可以先求an,这样求基本量a1 和q 的值

就成了关键,结合条件考虑运用方程思想解决.

自主解答:设此数列的公比为 q,由已知,得 ?a1+a1q2=10, ?a1?1+q2?=10, ① ? ? ? 3 ?? 3 5 5 5 2 a1q +a1q =4 a1q ?1+q ?=4.② ? ? ? ? 由 a1≠0,1+q2≠0,②÷ ①,得 1 1 q =8?q=2?a1=8.
3

1 a4=a1q =8×8=1.
3

本题在求基本量a1 和q 时,运用方程思想把两 个方程相除达到消元的目的,此法应重视.

【变式与拓展】 1.(2010 年重庆)在等比数列{an}中,a2 010=8a2 007 ,则公

比 q 的值为( A )
A.2 C.4 B.3 D.8

2.(2011 年广东广州调研)已知等比数列{an}的公比是 2, 12 . a3=3,则 a5 的值是________

题型2

等比数列的通项公式

例2:在等比数列{an}中,a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求 an.

自主解答:a1+a2+a3=7?a1(1+q+q2)=7.
3 a1a2a3=8?a3 q 1 =8?a1q=2. 2 ? ?a1?1+q+q ?=7, 则? ? ?a1q=2.

① ②

1+q+q2 7 1 由①÷ ②,得 =2,解得q=2或q=2. q 1 当q=2时,a1=1;当q=2时,a1=4. ?1? - n -1 ? ?n 1=2-n+3. 故an=2 或an=4· ?2?

求等比数列的通项公式关键是确定等比数列的 首项和公比. 【变式与拓展】 3.(2010 年福建)在等比数列{an}中,若公比为 q=4,且前 4n -1 3 项的和等于 21,则该数列的通项公式 an=______.

题型3

等比数列的判定

例3:在各项为负数的数列{an}中,已知:2an=3an+1,且 8 a2· a5=27.

(1)求证:{an}是等比数列,并求出通项; 16 (2)试问:- 是这个等比数列中的项吗?如果是,指明是 81 第几项;如果不是,说明理由.

an+1 2 自主解答:(1)因为 2an=3an+1,所以 = . an 3 2 故数列{an}是公比 q= 的等比数列. 3
? ? ?2?3 8 8 4 2 2 5 ? ? =? ? . 又 a2· a5= ,则 a1q· a1q = ,即 a1· 27 27 ?3? ?3?

3 由于数列各项均为负数,则 a1=-2.
?2?n-2 3 ?2?n-1 所以 an=-2×?3? =-?3? . ? ? ? ?

16 (2)设 an=- ,由等比数列的通项公式,得 81
?2?n-2 ?2? ?2?n-2 16 4 - =-? ? ,即? ? =? ? . 81 ?3? ?3? ?3?

根据指数函数的性质,有 4=n-2,即 n=6. 16 因此- 是这个等比数列的第 6 项. 81

判断一个数列是等比数列的常用方法: an+1 (1)定义法: a =q(q为常数且不为零)?{an}为等比数 n 列.
* (2)等比中项法:a 2 n+1 =anan+2(n∈N 且an≠0)?{an}为等比

数列. (3)通项公式法:an=a1qn-1(an≠0且q≠0)?{an}为等比数 列.

【变式与拓展】 4.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.

(1)求证:数列{an+1}是等比数列;
(2)求{an}的通项公式.
an+1+1 (1)证明:方法一:∵an+1=2an+1,∴ =2. an+1 ∴{an+1}是首项为a1+1=2,公比为2的等比数列. an+1+1 2an+1+1 2?an+1? 方法二:an+1=2an+1,∴ = = =2. a n +1 an+1 an+1 ∴{an+1}是首项为a1+1=2,公比为2的等比数列. (2)解:由(1)知:an+1=(a1+1)qn-1=2· 2n-1=2n, ∴an=2n-1.

例4:已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等

13 a1+a3+a9 16 . 的值为________ 比数列,则 a2+a4+a10
2 试解:a1· a9=a2 ? a ( a + 8 d ) = ( a + 2 d ) ?a1=d, 3 1 1 1

a1+a3+a9 3a1+10d 13d 13 则 = =16d=16. a2+a4+a10 3a1+13d

易错点评:没有分清等差数列与等比数列.

1.要注意利用等比数列的定义解题,在很多时候紧扣定义 是解决问题的关键.

2.注意基本量法:在用等比数列通项公式时,以首项 a1,
公比 q 为基本量,其他量用这两个量表示出来,再寻求条件与

结论的联系,往往使很多问题更容易解决. 3.等比中项在题目中会经常出现,因此要掌握好.


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