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兰州一中2014-2015学年高二下期中考试数学试题(文)及答案


甘肃兰州一中 2014—2015 学年度下学期期中考试

高二数学文试题
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 100 分,考试时间 100 分钟.答案写在答题卷(卡)上,交卷时只交答题卷(卡).

第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1.平面几何

中的三角形在立体几何中类比的对象是 A.三棱柱 B.三棱台 C.三棱锥 D.正方体 ( C )

2.有一段“三段论”推理是这样的:
( 0, +? ) 因为指数函数 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 在 上是增函数, y=( 1 ) x 是指数函数,所以

2

1 ( 0, +? ) 上是增函数.以上推理中 y=( ) x 在 2

( A ) D.结论正确 ( C. x sin x D. ?x cos x B )

A.大前提错误

B.小前提错误

C.推理形式错误

3.函数 y ? x cos x ? sin x 的导数为 A. x cos x B. ? x sin x

4 .观 察下 列等 式, 13 ? 23 ? 32 , 13 ? 23 ? 33 ? 62 , 13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 102 根 据上 述规 律,
13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 53 ? 63 ?

( C ) C. 212 D. 22 2 ( B )

A. 19 2

B. 20 2

5.已知函数 f ( x) 的导函数为 f ' ( x) ,且满足 f ? x ? ? 2xf ' (1) ? ln x ,则 f ' (1) 等于 A. ?e
x

B.-1

C.1

D. e ( D ) D. e 2

6.曲线 y ? e 2 在点 (4, e 2 ) 处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为

9 A. e 2 2

B. 4 e 2

C. 2 e 2

7.如果圆柱轴截面的周长 l 为定值,则其体积的最大值为

( A )

l A. ( ) 3 ? 6
8.已知函数 f ( x) ? 是 A. (0,1)

l B. ( )3 ? 3

l C. ( )3 ? 4

l D. ( )3 ? 2

1 ? ln x 2 在区间 (a, a ? ) ( a ? 0 )上存在极值,则实数 a 的取值范围 x 3
( D )

2 B. ( ,1) 3

1 C. ( ,1) 2

1 D. ( ,1) 3
( B )

9.函数 y ? x ? cos x 的大致图象是(图中虚线是直线 y ? x )

A

B

C

D

10.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (4) ? 1 , f ' ( x) 为 f ( x) 的导函数,已知 y ? f ' ( x) 的图象如 右图所示,若两个正数 a , b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则 A. (-∞, -3) C. ( 1 ,3)
2

b?2 的取值范围是 a?2
y

( C )

B.(-∞, 1 )∪(3,+∞)
2

D. ( 1 , 1 )
3 2

x

第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11.用反证法证明命题“若 x 2 ? 1 ? 0 ,则 x =-1 或 x =1 ”时,应假设 x ? -1且x ? 1. 12.函数 y ? 13.曲线 y ?
1

1 在 x ? 4 处的导数是 - . 16 x

x 在点 (1, ?1) 处的切线方程为 2x+y-1=0. x?2 a 14.函数 g (x) ? ax3 ? 2(1-a) x2 ? 3ax(a ? 0) 在区间 内单调递减, ( -? , ) 3 则 a 的取值范围是 (-∞,-1].

三、解答题(本大题共 5 小题,共 44 分) 15.(本小题 8 分)全国人民代表大会在北京召开,为了搞好对外宣传工作,会务组选聘了 16 名男记者和 14 名女记者担任对外翻译工作.调查发现,男、女记者中分别有 10 人和 6 人会俄语. (1)根据以上数据完成以下 2 ? 2 列联表: 解: 男 女 总计 会俄语 10 6 16 不会俄语 6 8 14 总计 16 14 30

(2)能否在犯错的概率不超过 0.10 的前提下认为性别与会俄语有关? 解:假设:是否会俄语与性别无关.由已知数据可求得
K2 ? 30 ? (10 ? 8 ? 6 ? 6)2 ? 1.1575 ? 2.706 . (10 ? 6)(6 ? 8)(10 ? 6)(6 ? 8)

所以在犯错的概率不超过 0.10 的前提下不能判断会俄语与性别有关 16. (本小题 8 分)已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3 在 x ? 1 处取得极值, 且在点 (0, ?3) 处的切 线与直线 2 x ? y ? 0 平行. (1)求函数 g ( x) ? xf ( x) ? 4 x 的单调递增区间; (2)求函数 g ( x) ? xf ( x) ? 4 x 在 x ? ?0, 2? 的最值.
? f ?(1) ? 0 解:(1) 由 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3 ,可得 f ?( x) ? 2ax ? b .由题设可得 ? ? f ?(0) ? ?2 ? 2a ? b ? 0 即? .解得 a ? 1 , b ? ?2 .所以 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 . ?b ? ?2

由题意得 g ( x) ? xf ( x) ? 4 x ? x3 ? 2 x2 ? x 所以 g ?( x) ? 3x2 ? 4x ? 1 ? (3x ? 1)( x ? 1) .

1 令 g ?( x) ? 0 ,得 x1 ? , x2 ? 1 . 3

当 x 变化时, g ?( x ) , g ( x) 变化情况如下表:

单调递增

4/27

单调递减

0

单调递增

所以函数 g ( x) 的单调递增区间为 (??, ) , (1, ??) . (2)因为在 x2 ? 1 时函数 g ( x) 有极小值为 0.在 x1 ? 又 g (0) ? 0, g (2) ? 2 , 所以函数 g ( x) 的最大值为 2,最小值为 0. 17.(本小题 8 分)机器按照模具生产的产品也会有缺陷,我们将有缺陷的产品称为次品,每 小时出现的次品数随机器运转速度的不同而变化.下表为某机器生产过程的数据: 速度 ( x 百转/秒) 每小时生产次品 30 数 y(个) (1)求机器运转速度与每小时生产的次品数之间的回归方程; (2)若实际生产所允许的每小时生产的次品数不超过 75 件,那么机器的速度(百转/ 秒)不超过多少?(写出满足题目的整数解) 解:(1) x ? 40 50 60 70 2 4 5 6 8

1 3

1 4 时函数 g ( x) 有极大值 . 3 27

1 1 ? 2 ? 4 ? 5 ? 6 ? 8? ? 5 , y ? ?30 ? 40 ? 50 ? 60 ? 70? ? 50 , 5 5
? 22 ? 42 ? 52 ? 62 ? 82 ? 145 ? 2 ? 30 ? 4 ? 40 ? 5 ? 50 ? 6 ? 60 ? 8 ? 70 ? 1390 ,

?x
i ?1 5 i ?1

5

2 i

?x y
i

i

∴ b?

1390 ? 5 ? 5 ? 50 ? 7 , a ? y ? bx ? 50 ? 7 ? 5 ? 15 , 145 ? 5 ? 52

∴ 回归直线方程为 y ? 7 x ? 15 .

? ? 75 . (2)若实际生产所允许的每小时生产有缺点的产品数不超过 75 件,则 y
即 7 x ? 15 ? 75 解得 x ? 8.57 ∴ 实际生产所允许的每小时生产有缺点的产品数不超过 75 件,那么机器的速每秒

不超过 8 百转

4 18.(本小题 10 分)若函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? 4 ,当 x ? 2 时,函数 f ( x) 有极值 ? . 3
(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若方程 f ( x) ? k 有 3 个不同的实根,求实数 k 的取值范围. 解:f′(x)=3ax2-b. f(x)= ? 4 3 1 ? ?a=3, 1 解得? 故 f(x)= x3-4x+4. 3 ? ?b=4,

(1)由题意得 f′(2)=0

(2)由(1)可得 f′(x)=x2-4=(x-2)(x+2),令 f′(x)=0,得 x=2 或 x=-2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,-2) + -2 0 28 3 (-2,2) - 2 0 - 4 3 (2,+∞) +

28 因此,当 x=-2 时,f(x)有极大值 , 3 4 当 x=2 时,f(x)有极小值- , 3 1 所以函数 f(x)= x3-4x+4 的图象大致如图所示 . 3 若 f(x)=k 有 3 个不同的根,则直线 y=k 与函数 f(x)的图象有 3 个交点, 所以 4 28 - <k< . 3 3

19.(本小题 10 分)已知 f ( x) ? ax2 (a ? R) , g ( x) ? 2ln x . (1)讨论函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调性; (2)是否存在实数 a ,使得 f ( x) ≥ g ( x)+2( x ? 0) 恒成立,若不存在,请说明理由;若 存在,求出 a 的取值范围; (3)若方程 f ( x) ? g ( x) 在区间 [ 2, e] 上有两个不相等的实数根,求 a 的取值范围. 解: (1) F ( x) ? ax 2 ? 2ln x, 其定义域为(0, ??) ? F ?( x) ? 2ax ? ? (i)当 a>0 时,由 ax2-1>0 得 x ?
1 , a
2 x 2(ax 2 ? 1) ( x ? 0) x 1 . a

由 ax2-1<0 得 0 ? x ?

故当 a>0 时,F(x)的递增区间为 (

1 1 , ??) ,递减区间为 (0, ). a a

(ii)当 a ? 0时, F ?( x) ? 0 ( x ? 0) 恒成立故当 a ? 0时, F ( x)在(0, ??) 上单调递减. (2)即使 F ( x) ? 2在x ? 0 时恒成立. (i)当 a≤0 时,由(1)知当 x ? ??, 则F ( x) ? ??.
F ( x) ? 2在x ? 0 时不可能恒成立., ∴

(ii)当 a>0 时,由(1)可知 Fmin ( x) ? F (
? 只须1 ? ln 1 ? 2 即可 , ?ln a ? 1?a ? e a

1 1 1 ) ? 1 ? 2ln ? 1 ? ln a a a

故存在这样的 a 的值,使得 f ( x) ? g ( x) ? 2( x ? R ? )恒成立 a 的取值范围是[e,+∞] (3)等价于方程 a ?
? ?( x) ? ∵
2ln x ? ? ( x) 在区间 [ 2, e] 上有两个不等解, x2

2ln x 2 x(1 ? 2ln x) ? x2 x4 1 , e

? ( x ) 在区间 ( 2, e ) 上为增函数,在 ( e , e) 上为减函数, ? ( x)max ? ? ( e ) ?

? (e) ?

2 2ln 2 ln 2 ln 2 ? ? (2) ? ? ? ? ( 2) , ? ( x)min ? ? ( 2) ? e2 4 2 2 ln 2 1 , ) 2 e

所以 a 的取值范围是 [


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